Prisma triangular

Cuando todos los lados tienen la misma longitud, sus bases y sus caras laterales son equiláteras y cuadradas , respectivamente. Por lo tanto, el prisma triangular es semirregular . Un prisma semirregular significa que el número de lados de su base poligonal es igual al número de sus caras cuadradas. ^{[ 8 ]} De manera más general, el prisma triangular es uniforme . Esto significa que un prisma triangular tiene caras regulares y una simetría que mapea dos vértices cualesquiera, conocida como isogonal . ^{[ 9 ]} El ángulo diedro entre dos caras cuadradas adyacentes es el ángulo interno de un triángulo equilátero π /3 = 60° , y el que existe entre un cuadrado y un triángulo es π /2 = 90° . ^{[ 10 ]}

El volumen de cualquier prisma es el producto del área de la base y la distancia entre las dos bases. ^{[ 11 ]} En el caso de un prisma triangular, su base es un triángulo. El área de un triángulo es el semiproducto de su base b y su altura h , formulado como ⁠ 1 / 2 ⁠ bh . Dado que el prisma triangular tiene una distancia l entre dos bases triangulares, la fórmula general para su volumen es: ^{[ 12 ]}$${\displaystyle V={\frac {1}{2}}bh\cdot l.}$$ En el caso de un prisma triangular recto, donde todos sus lados tienen la misma longitud l , su volumen se puede calcular como el producto del área del triángulo equilátero y la distancia entre las bases: ^{[ 13 ]}$${\displaystyle V_{\text{uniform}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}l^{2}\cdot l={\frac {\sqrt {3}}{4}}l^{3}\approx 0.433\,l^{3}}$$

El grupo de simetría tridimensional de un prisma triangular es la simetría prismática D _{3 h} de orden 12: su apariencia no cambia si el prisma triangular se rota un ángulo y dos tercios de un ángulo completo alrededor de su eje de simetría que pasa por la base del centro y se refleja sobre un plano horizontal. ^{[ 10 ]} El poliedro dual de cualquier prisma es una bipirámide , un poliedro formado por la fusión de dos pirámides base con base. En el caso de un prisma triangular, su dual es una bipirámide triangular , ambas con un grupo de simetría tridimensional común. ^{[ 1 ]}

Dos prismas triangulares, donde la cara cuadrada de uno de ellos está unida girada un cuarto de vuelta, producen un girobifastigio , que recubre un panal prismático triangular girado.

El teselado cuacuaversal

El prisma triangular uniforme es un plesioedro , un poliedro que llena el espacio y que puede definirse como la celda de Voronoi de un conjunto de Delone simétrico para crear un panal . El panal prismático triangular es un ejemplo donde los prismas triangulares son los únicos prototiles . ^{[ 18 ]} Los otros panales con una celda de prisma triangular y otros poliedros son el panal cúbico alternado giroelongado (con octaedros y tetraedros regulares), el panal cúbico alternado alargado (con octaedros y tetraedros regulares), el panal prismático cuadrado truncado , el panal prismático triangular-hexagonal , el panal prismático hexagonal truncado , el panal prismático rombitriangular-hexagonal , el panal prismático triangular-hexagonal truncado y el panal prismático triangular alargado . ^{[ 19 ]}

En 1998, John Horton Conway y Charles Radin introdujeron el teselado cuaquaversal , un teselado tridimensional no periódico . Los prototeselados son los prismas triangulares rectos 30-60-90 , algunos de los cuales están rotados π /3 y otros π /2 en dirección perpendicular. ^{[ 20 ]}

Más allá de la bipirámide triangular como su poliedro dual, muchos otros poliedros están relacionados con el prisma triangular. Un sólido de Johnson es un poliedro convexo con caras regulares, y esta definición a veces omite poliedros uniformes como los sólidos de Arquímedes , los sólidos de Catalan , los prismas y los antiprismas . ^{[ 21 ]} Hay seis sólidos de Johnson cuya construcción involucra el prisma triangular:

• La pirámide triangular alargada y la bipirámide triangular alargada se forman uniendo un tetraedro a la base de un prisma triangular. ^{[ 22 ]}
• El prisma triangular aumentado , el prisma triangular biaumentado y el prisma triangular triaumentado se construyen uniendo pirámides cuadradas equiláteras a la cara cuadrada del prisma. ^{[ 22 ]}
• El girobifastigio se construye uniendo un prisma triangular girado un cuarto de vuelta a lo largo de cualquier cara cuadrada de otro. ^{[ 22 ]} Puede teselar un espacio de panal prismático triangular girado . ^{[ 23 ]} A diferencia del prisma triangular, que es un plesioedro, el girobifastigio es un estereoedro , porque los puntos en los centros de las celdas de su teselado cara a cara (donde se ven obligados a ir por simetría) tienen celdas de Voronoi de forma diferente. Si el girobifastigio tiene triángulos rectángulos isósceles y rectángulos plateados , entonces es un plesioedro.

Se puede cortar una parte de un prisma triangular en ángulo oblicuo. El resultado tiene dos bases que no son paralelas, de modo que cada distancia entre esas bases tiene una longitud de arista diferente. Si las aristas que conectan las bases son perpendiculares a una de sus bases, este prisma puede tener una versión de un prisma triangular recto. Dado que A es el área de la base del prisma triangular, y las tres alturas h ₁ , h ₂ , y h ₃ , su volumen se puede determinar con la siguiente fórmula: ^{[ 24 ]}$${\displaystyle V={\frac {A(h_{1}+h_{2}+h_{3})}{3}}.}$$

El poliedro de Schönhardt es otro poliedro construido a partir de un prisma triangular con bases triangulares equiláteras. De esta manera, una de sus bases gira alrededor del eje central del prisma y divide las caras cuadradas en polígonos oblicuos . Cada cara cuadrada puede ser retriangulada con dos triángulos para formar un ángulo diedro no convexo. ^{[ 25 ]} Como resultado, el poliedro de Schönhardt no puede ser triangulado mediante una partición en tetraedros. Además, el poliedro de Schönhardt no tiene diagonales internas. ^{[ 26 ]} Recibe su nombre del matemático alemán Erich Schönhardt , quien lo describió en 1928, aunque el artista Karlis Johansons exhibió una estructura relacionada en 1921. ^{[ 27 ]}

El prisma triangular se puede rectificar a partir de la envoltura convexa de las aristas de sus puntos medios. La construcción resultante produce tres caras cuadradas en los mismos planos que las caras cuadradas del prisma, dos caras triangulares equiláteras en los planos de los extremos triangulares del prisma y seis caras triangulares isósceles más. Al generar un grafo , su dual forma otro poliedro convexo llamado eneaedro de Herschel . ^{[ 28 ]}

El compuesto de prismas triangulares

El número de prismas triangulares que comparten un centro común se puede componer. Cuatro compuestos uniformes de prismas triangulares son: compuesto de cuatro prismas triangulares , compuesto de ocho prismas triangulares , compuesto de diez prismas triangulares y compuesto de veinte prismas triangulares . ^{[ 29 ]}

El prisma triangular es el primero de una serie dimensional de politopos semirregulares . Cada politopo uniforme progresivo se construye a partir de la figura del vértice del politopo anterior. Thorold Gosset identificó esta serie en 1900 como la que contiene todas las facetas de politopos regulares , incluyendo todos los símplexes y ortoplexos ( triángulos equiláteros y cuadrados en el caso del prisma triangular). En la notación de Coxeter _{, el prisma triangular se representa} ^con el símbolo −121 . ^[ 30 ^]