proporción de plata

⁠${\displaystyle \sigma }$es la unidad fundamental del campo cuadrático real${\displaystyle K=\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)}$con discriminante${\displaystyle \Delta _ {k}=8.}$Los números enteros${\displaystyle \mathbb {Z} [\sigma ]{\text{ de }}K}$son los números${\displaystyle \xi =a+b\sigma {\text{ }}(a,b\in \mathbb {Z} ),}$con conjugado${\displaystyle {\overline {\xi }}=(a+2b)-b\sigma ,}$norma${\displaystyle \xi {\overline {\xi }}=(a+b)^{2}-2b^{2}}$y rastrear${\displaystyle \xi +{\overline {\xi }}=2(a+b).}$^{[ 7 ]} Los primeros números positivos que aparecen como norma son 1, 2, 4, 7, 8, 9, 14, 16, 17, 18, 23, 25. ^{[ 8 ]} Aritmética en elanillo${\displaystyle O_{k}=\mathbb {Z} [\sigma]}$se asemeja a la de los enteros racionales, es decir, los elementos de ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} .}$La factorización prima es única salvo por el orden y los factores unitarios.${\displaystyle \pm \sigma ^{\pm n}(n=0,1,2,\ldots ),}$y hay una función euclidiana sobre el valor absoluto de la norma. ^{[ 9 ]} Los primos de ⁠${\displaystyle O_{k}}$Son de tres tipos:

• ⁠${\displaystyle \sigma -1}$con norma​${\displaystyle 2,}$el único número primo racional que divide _a Δk ,
• los factores${\displaystyle a+b\sigma }$de primos racionales${\displaystyle p=8n\pm 1}$con norma${\displaystyle p,}$[ ^{10 ]​}
• los primos racionales${\displaystyle p=8n\pm 3}$con norma​${\displaystyle p^{2},}$[ ^{11 ]​}

y cualquiera de estos números multiplicado por una unidad. ^{[ 12 ]}

La proporción áurea puede utilizarse como base de un sistema numérico , aquí denominado escala sigmaria . ^{[ b ]} Todo número real x en [0,1] puede representarse como una serie convergente.$${\displaystyle x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{\sigma ^{n}}},}$$con pesas​${\displaystyle a_{n}\in [0,1,2].}$⁠

Las expansiones de Sigmary no son únicas. Debido a las identidades $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{n+1}&=2\sigma ^{n}+\sigma ^{n-1}\\\sigma ^{n+1}+\sigma ^{n-1}&=2\sigma ^{n}+2\sigma ^{n-1},\end{aligned}}}$$ bloques de dígitos${\displaystyle 21_{\sigma }{\text{ y }}22_{\sigma }}$llevar a la siguiente potencia de ⁠${\displaystyle \sigma ,}$⁠ resultando en${\displaystyle 100_{\sigma }{\text{ y }}101_{\sigma }.}$El número uno tiene representaciones finitas e infinitas.${\displaystyle 1.0_{\sigma },0.21_{\sigma }}$y${\displaystyle 0.{\overline {20}}_{\sigma},0.1{\overline {2}}_{\sigma},}$donde el primero de cada par está en forma canónica . El número algebraico${\displaystyle 2(3\sigma -7)}$Se puede escribir${\displaystyle 0.101_{\sigma},}$o de forma no canónica como${\displaystyle 0.022_{\sigma}.}$El número decimal${\displaystyle 10=111,12_{\sigma},}$${\displaystyle 7\sigma +3=1100_{\sigma }\,}$y${\displaystyle {\tfrac {1}{\sigma -1}}=0.{\overline {1}}_{\sigma }.}$

Propiedades de las expansiones sigmarias canónicas, con coeficientes${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z}$ :}

• Cada entero algebraico${\displaystyle \xi =a+b\sigma {\text{ en }}K}$tiene una expansión finita. ^{[ 13 ]}
• Cada número racional${\displaystyle \rho ={\tfrac {a+b\sigma }{c}}{\text{ en }}K}$tiene una expansión puramente periódica. ^{[ 14 ]}
• Todos los números que no se encuentran en ⁠${\displaystyle K}$Tienen expansiones caóticas.

Sorprendentemente, lo mismo se cumple mutatis mutandis para todos los números de Pisot cuadráticos que satisfacen la ecuación general .${\displaystyle x^{2}=nx+1,}$con entero n > 0. ^{[ 15 ]} Se sigue por sustitución repetida de${\displaystyle x=n+{\frac {1}{x}}}$que todas las soluciones positivas${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(n+{\sqrt {n^{2}+4{\vphantom {/}}}}\right)}$tener una expansión en fracción continua puramente periódica$${\displaystyle \sigma _{n}=n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}$$Vera de Spinadel describió las propiedades de estos irracionales e introdujo el término medios metálicos . ^{[ 16 ]}

La proporción de plata está relacionada con los números centrales de Delannoy .${\displaystyle D_{n}}$⁠ = 1, 3, 13, 63, 321, 1683, 8989,... que cuentan el número de "recorridos del rey" entre un par de esquinas opuestas de una red cuadrada n × n . La secuencia tiene función generadora ^{[ 17 ]} $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-6x+x^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }D_{n}x^{n}{\text{ para }}\vert x\vert <{\tfrac {1}{\sigma ^{2}}},}$$ de las cuales se obtiene la representación integral ^{[ 18 ]} $${\displaystyle D_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{\sigma ^{-2}}^{\sigma ^{2}}{\frac {\mathrm {d} t}{{\sqrt {(t-\sigma ^{-2})(\sigma ^{2}-t)}}\;t^{n+1}}}}$$ y fórmula asintótica ^{[ 19 ]} $${\displaystyle D_{n}\sim {\frac {\sigma ^{2n+1}}{2{\sqrt {\pi (\sigma -1)\,n}}}}\left(1-{\frac {11-3\sigma }{32\,n}}+{\frac {221-36\sigma ^{2}}{(32\,n)^{2}}}+{\mathcal {O}}{\bigl (}n^{-3}{\bigr )}\right).}$$

Para una aplicación de la escala sigmaria, consideremos el problema de escribir un posible coeficiente de tercer orden c en términos de la razón de plata. El valor decimal de c es aproximadamente 0,006865233, que se puede encontrar con el método de balance dominante utilizando la relación de recurrencia para los números centrales de Delannoy,${\displaystyle n\,D_{n}=(6n-3)D_{n-1}-(n-1)D_{n-2},}$^{[ 20 ]} con${\displaystyle D_{-1}=D_{0}=1,n_{max}=10^{5}.}$"Todos los coeficientes se encuentran en ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)}$y tienen denominadores iguales a alguna potencia del número primo .${\displaystyle {\sqrt {2}}\,\mathbb {Z} [\sigma ].}$⁠ " ^{[ 21 ]} Eligiendo el denominador d = 32768, el numerador aproximado dc tiene una expansión sigmaria ⁠${\displaystyle 1001201.010201012000000110..._{\sigma }}$y se trunca a un entero cuadrático eliminando todos los dígitos de orden${\displaystyle k<-9.}$Escribe las potencias restantes .${\displaystyle \sigma ^{k}}$En forma lineal con los números de Pell como coeficientes (véase la siguiente sección), tome la suma ponderada y simplifique, obteniendo el término${\displaystyle -{\frac {4123-309\sigma ^{3}}{(32\,n)^{3}}}.}$Sin embargo, aún se desconoce un valor certificado para c .

Un rectángulo ISO 216 tiene lados con longitudes en proporción de Lichtenberg √2 ∶ 1. ^{[ d ]} Se puede crear a partir de un trozo de papel cuadrado con una secuencia de plegado de origami . Considerada una proporción de gran armonía en la estética japonesa — Yamato-hi (大和比) — la proporción se conserva si el rectángulo √2 se pliega por la mitad, paralelo a los lados cortos. El rabatment produce un rectángulo con lados en proporción de plata (según ⁠ 1 / σ ⁠ = √2 − 1 ).

• Dobla una hoja de papel cuadrada por la mitad, creando un pliegue diagonal descendente (que biseca un ángulo de 90°), y luego desdóblala.
• Dobla el borde derecho sobre el pliegue diagonal (bisectando un ángulo de 45°).
• Dobla el borde superior por la mitad, hacia la parte posterior (reduce el ancho en ⁠ 1 / σ + 1 ⁠ ), y desdobla el triángulo. El resultado es un rectángulo de √2 .
• Dobla el borde inferior sobre el borde izquierdo (reduce la altura en 1 / σ − 1 ) . La parte horizontal superior es un rectángulo plateado.

Si se despliega el papel, los pliegues coinciden con las secciones diagonales de un octágono regular . Los dos primeros pliegues dividen el cuadrado en un gnomon plateado con ángulos en proporción 5  :2  :1, entre dos triángulos rectángulos con ángulos en proporción 4 :  2  :2 (izquierda) y 4  :3  :1 ( derecha ). El ángulo unitario es igual a 22 + 1/2 grados .

Si el octágono tiene longitud de arista ⁠${\displaystyle 1,}$Su área es${\displaystyle 2\sigma }$y las diagonales tienen longitudes${\displaystyle {\sqrt {\sigma +1{\vphantom {/}}}},\;\sigma }$y${\displaystyle {\sqrt {2(\sigma +1){\vphantom {/}}}}.}$Las coordenadas de los vértices vienen dadas por las 8 permutaciones de${\displaystyle \left(\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {\sigma }{2}}\right).}$^{[ 26 ]} El cuadrado de papel tiene una longitud de lado⁠${\displaystyle \sigma -1}$y área​${\displaystyle 2.}$Los triángulos tienen áreas${\displaystyle 1,{\frac {\sigma -1}{\sigma }}}$y${\displaystyle {\frac {1}{\sigma }};}$Los rectángulos tienen áreas${\displaystyle \sigma -1{\text{ y }}{\frac {1}{\sigma }}.}$

Divide un rectángulo con lados en proporción 1  :2 en cuatro triángulos rectángulos congruentes con catetos de igual longitud y dispónlos en forma de un rectángulo plateado, encerrando un rectángulo similar que esté escalado por un factor .${\displaystyle {\tfrac {1}{\sigma }}}$y girado alrededor del centro por${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}.}$Al repetir la construcción a escalas sucesivamente más pequeñas, se obtienen cuatro secuencias infinitas de triángulos rectángulos contiguos, que trazan un remolino de rectángulos plateados convergentes. ^{[ 27 ]}

La espiral logarítmica que pasa por los vértices de triángulos adyacentes tiene pendiente polar.${\displaystyle k={\frac {4}{\pi }}\ln(\sigma ).}$El paralelogramo entre el par de triángulos grises de los lados tiene diagonales perpendiculares en proporción ⁠${\displaystyle \sigma }$⁠ , por lo tanto es un rombo de plata .

Si los triángulos tienen catetos de longitud ⁠${\displaystyle 1}$⁠ entonces cada espiral discreta tiene longitud${\displaystyle {\frac {\sigma }{\sigma -1}}=\sum _{n=0}^{\infty }\sigma ^{-n}.}$Las áreas de los triángulos en cada región espiral suman${\displaystyle {\frac {\sigma }{4}}={\tfrac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\sigma ^{-2n};}$Los perímetros son iguales a${\displaystyle \sigma +2}$( gris claro) y${\displaystyle 2\sigma -1}$( regiones plateadas).

Al disponer las baldosas con las cuatro hipotenusas hacia adentro , se obtiene la forma de diamante en un cuadrado. El arquitecto romano Vitruvio recomendó la proporción ad quadratura implícita como una de las tres para dimensionar el atrio de una casa de ciudad . El factor de escala es${\displaystyle {\tfrac {1}{\sigma -1}},}$y la iteración en la longitud del borde 2 da como resultado una espiral angular de longitud${\displaystyle \sigma +1.}$⁠

La media plateada tiene conexiones con los siguientes sólidos arquimedianos con simetría octaédrica ; todos los valores se basan en una longitud de arista = 2.

• rombicuboctaedro

Las coordenadas de los vértices vienen dadas por 24 permutaciones distintas de${\displaystyle (\pm \sigma ,\pm 1,\pm 1),}$Así, tres rectángulos de plata mutuamente perpendiculares tocan seis de sus caras cuadradas. El radio medio es${\displaystyle {\sqrt {2(\sigma +1){\vphantom {/}}}},}$El radio central de las caras cuadradas es${\displaystyle \sigma .}$[ ^{28 ]​}

• Cubo truncado

Coordenadas: 24 permutaciones de${\displaystyle (\pm \sigma ,\pm \sigma ,\pm 1).}$Radio medio :${\displaystyle \sigma +1,}$Radio central de las caras del octágono :${\displaystyle \sigma .}$[ ^{29 ]​}

• cuboctaedro truncado

Coordenadas: 48 permutaciones de${\displaystyle (\pm (2\sigma -1),\pm \sigma ,\pm 1).}$ Radio medio:${\displaystyle {\sqrt {6(\sigma +1){\vphantom {/}}}},}$radio central de las caras cuadradas :${\displaystyle \sigma +2,}$Para las caras octogonales :${\displaystyle 2\sigma -1.}$[ ^{30 ]​}

Véase también los sólidos catalanes duales.

• trisoctaedro tetragonal
• Trisoctaedro
• Octaedro de Hexakis

El triángulo isósceles agudo formado al conectar dos vértices adyacentes de un octágono regular por su centro, se denomina aquí triángulo de plata . Se identifica de forma única por sus ángulos en proporciones .${\displaystyle 2:3:3.}$El ángulodel vértice mide${\displaystyle 360/8=45,}$cada ángulo base​​${\displaystyle 67{\tfrac {1}{2}}}$grados . De ello se deduce que larelación altura -base es${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\tan(67{\tfrac {1}{2}})={\tfrac {\sigma }{2}}.}$

Al trisecar uno de sus ángulos de la base, el triángulo plateado se divide en un triángulo semejante y un gnomon plateado obtuso . La trisectriz es colineal con una diagonal media del octágono. Compartiendo el vértice del triángulo padre, el gnomon tiene ángulos de${\displaystyle 67{\tfrac {1}{2}}/3=22{\tfrac {1}{2}},45{\text{ y }}112{\tfrac {1}{2}}}$grados en las proporciones${\displaystyle 1:2:5.}$Según la ley de los senos , sus bordes están en proporciones.${\displaystyle 1:{\sqrt {\sigma +1}}:\sigma .}$

El triángulo plateado similar se obtiene igualmente escalando el triángulo original en proporción de base a lado .${\displaystyle 2\cos(67{\tfrac {1}{2}})}$⁠ , acompañado de un ⁠${\displaystyle 112{\tfrac {1}{2}}}$Rotación de grados. Al repetir el proceso a escalas decrecientes, se obtiene una secuencia infinita de triángulos plateados que converge en el centro de rotación . Se asume, sin demostración, que el centro de rotación es el punto de intersección de las líneas medianas secuenciales que unen los lados correspondientes y los vértices de la base. ^{[ 31 ]} Esta suposición se verifica mediante construcción, como se muestra en la imagen vectorial.

El centro de rotación tiene coordenadas baricéntricas.$${\displaystyle \left({\tfrac {\sigma +1}{\sigma +5}}:{\tfrac {2}{\sigma +5}}:{\tfrac {2}{\sigma +5}}\right)\sim \left({\tfrac {\sigma +1}{2}}:1:1\right),}$$ Las tres espirales de gnomones apilados tienen áreas en proporciones $${\displaystyle \left({\tfrac {\sigma +1}{2}}\right)^{2}:{\tfrac {\sigma +1}{2}}:1.}$$

La espiral logarítmica que pasa por los vértices de todos los triángulos anidados tiene pendiente polar.$${\displaystyle k={\frac {4}{5\pi }}\ln \left({\tfrac {\sigma }{\sigma -1}}\right),}$$ o una tasa de expansión de ⁠${\displaystyle {\tfrac {\sigma +1}{2}}}$por cada​${\displaystyle 225}$grados de rotación.

Las diagonales larga, mediana y corta del octágono regular coinciden respectivamente en el vértice, el circuncentro y el ortocentro de un triángulo plateado.

Supongamos que se ha construido un rectángulo plateado como se indica arriba, con altura 1 , longitud ⁠${\displaystyle \sigma }$y longitud diagonal​${\displaystyle {\sqrt {\sigma ^{2}+1}}}$. Los triángulos en la diagonal tienen alturas${\displaystyle 1/{\sqrt {1+\sigma ^{-2}}}\,;}$Cada pie perpendicular divide la diagonal en proporción${\displaystyle \sigma ^{2}.}$⁠

Si se traza una línea horizontal a través del punto de intersección de la diagonal y el borde interno de un cuadrado de rebaja , el rectángulo plateado original y las dos copias escaladas a lo largo de la diagonal tienen áreas en las proporciones${\displaystyle \sigma ^{2}:2:1\,,}$Los rectángulos opuestos a la diagonal tienen áreas iguales${\displaystyle {\tfrac {2}{\sigma +1}}.}$^{[ 32 ]}

Con respecto al vértice A , las coordenadas en pies de las altitudes U y V son $${\displaystyle \left({\tfrac {\sigma }{\sigma ^{2}+1}},{\tfrac {1}{\sigma ^{2}+1}}\right){\text{ y }}\left({\tfrac {\sigma }{1+\sigma ^{-2}}},{\tfrac {1}{1+\sigma ^{-2}}}\right).}$$

Si el diagrama se subdivide aún más mediante líneas perpendiculares que pasan por U y V , las longitudes de la diagonal y sus subsecciones se pueden expresar como funciones trigonométricas de argumento${\displaystyle \alpha =67{\tfrac {1}{2}}}$grados, el ángulo base del triángulo plateado:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {AB}}={\sqrt {\sigma ^{2}+1}}&=\sec(\alpha )\\{\overline {AV}}=\sigma ^{2}/{\overline {AB}}&=\sigma \sin(\alpha )\\{\overline {UV}}=2/{\overline {AS}}&=2\sin(\alpha )\\{\overline {SB}}=4/{\overline {AB}}&=4\cos(\alpha )\\{\overline {SV}}=3/{\overline {AB}}&=3\cos(\alpha )\\{\overline {AS}}={\sqrt {1+\sigma ^{-2}}}&=\csc(\alpha )\\{\overline {h}}=1/{\overline {AS}}&=\sin(\alpha )\\{\overline {US}}={\overline {AV}}-{\overline {SB}}&=(2\sigma -3)\cos(\alpha )\\{\overline {AU}}=1/{\overline {AB}}&=\cos(\alpha ),\end{aligned}}}$$

con​${\displaystyle \sigma =\tan(\alpha ).}$⁠

Tanto las longitudes de las secciones diagonales como los valores trigonométricos son elementos de un campo numérico bicuadrático.${\displaystyle K=\mathbb {Q} \left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right).}$

El rombo plateado con borde${\displaystyle 1}$⁠ tiene longitudes diagonales iguales a ⁠${\displaystyle {\overline {UV}}}$y​​${\displaystyle 2{\overline {AU}}.}$⁠ El octágono regularcon arista ⁠${\displaystyle 2}$⁠ tiene diagonales largas de longitud ⁠${\displaystyle 2{\overline {AB}}}$que lo dividen en ocho triángulos plateados. Dado que el octágono regular se define por la longitud de su lado y los ángulos del triángulo plateado, se deduce que todas las medidas pueden expresarse en potencias de σ y los segmentos diagonales del rectángulo plateado, como se ilustra arriba, pars pro toto en un solo triángulo.

La relación entre la pierna y la base${\displaystyle {\overline {AB}}/2\approx 1.306563}$Ha sido denominada proporción cordobesa por el arquitecto español Rafael de la Hoz Arderius. Según sus observaciones, es una medida notable en la arquitectura y las intrincadas decoraciones de la Mezquita medieval de Córdoba , Andalucía . ^{[ 33 ]}

Una espiral plateada es una espiral logarítmica que se ensancha por un factor de ⁠${\displaystyle \sigma }$por cada cuarto de vuelta. Se describe mediante la ecuación polar .${\displaystyle r(\theta )=a\exp(k\theta ),}$con radio inicial${\displaystyle a}$y parámetro${\displaystyle k={\frac {2}{\pi }}\ln(\sigma ).}$Si se dibuja sobre un rectángulo plateado, la espiral tiene su polo en la base de la altura de un triángulo en la diagonal y pasa por los vértices de cuadrados emparejados que están alineados perpendicularmente y escalados sucesivamente por un factor .${\displaystyle \sigma ^{-1}.}$⁠

La proporción de plata aparece prominentemente en el teselado de Ammann-Beenker , un teselado no periódico del plano con simetría octogonal, construido a partir de un cuadrado y un rombo de plata con lados de igual longitud. Descubierto por Robert Ammann en 1977, sus propiedades algebraicas fueron descritas por Frans Beenker cinco años después. ^{[ 34 ]} Si los cuadrados se cortan en dos triángulos, el factor de inflación para los teselados A5 de Ammann es ⁠${\displaystyle \sigma ^{2},}$el valor propio dominantede la matriz de sustitución$${\displaystyle M={\begin{pmatrix}3&2\\4&3\end{pmatrix}}.}$$