Rigidez estructural

En geometría y mecánica discretas , la rigidez estructural es una teoría combinatoria para predecir la flexibilidad de conjuntos formados por cuerpos rígidos conectados por enlaces o bisagras flexibles .

La rigidez es la propiedad de una estructura que le impide doblarse o flexionarse bajo la acción de una fuerza. Lo opuesto a la rigidez es la flexibilidad . En la teoría de la rigidez estructural, las estructuras se forman mediante conjuntos de objetos que son cuerpos rígidos, a menudo representados con formas geométricas simples como varillas rectas (segmentos de línea), con pares de objetos conectados por bisagras flexibles. Una estructura es rígida si no puede flexionarse; es decir, si no existe un movimiento continuo de la estructura que preserve la forma de sus componentes rígidos y el patrón de sus conexiones en las bisagras.

Existen dos tipos de rigidez esencialmente diferentes. La rigidez finita o macroscópica implica que la estructura no se flexionará, plegará ni doblará en una cantidad positiva. La rigidez infinitesimal implica que la estructura no se flexionará ni siquiera en una cantidad demasiado pequeña para ser detectada, incluso en teoría. (Técnicamente, esto significa que ciertas ecuaciones diferenciales no tienen soluciones distintas de cero). La importancia de la rigidez finita es evidente, pero la rigidez infinitesimal también es crucial, ya que la flexibilidad infinitesimal en teoría corresponde a una flexión minúscula en el mundo real y, por consiguiente, al deterioro de la estructura.

Un grafo rígido es una incrustación de un grafo en un espacio euclidiano que es estructuralmente rígido. ^{[ 1 ]} Es decir, un grafo es rígido si la estructura formada al reemplazar las aristas por varillas rígidas y los vértices por bisagras flexibles es rígida. Un grafo que no es rígido se llama flexible . Más formalmente, una incrustación de grafo es flexible si los vértices se pueden mover continuamente, preservando las distancias entre vértices adyacentes, con el resultado de que las distancias entre algunos vértices no adyacentes se alteran. ^{[ 2 ]} Esta última condición excluye las congruencias euclidianas como la simple traslación y rotación.

También es posible considerar problemas de rigidez para grafos en los que algunas aristas representan elementos de compresión (capaces de estirarse, pero no de contraerse) y otras representan elementos de tensión (capaces de contraerse, pero no de estirarse). Un grafo rígido con aristas de este tipo constituye un modelo matemático de una estructura de tensegridad .

Además, la rigidez también puede definirse mediante restricciones de ángulos internos entre aristas en lugar de distancias en las aristas, una propiedad conocida como rigidez angular . En el plano, los marcos mínimamente y triangularmente rígidos en ángulo se caracterizan por L-trigrafos , que satisfacen una condición de escasez que requiere que el número de triángulos sea exactamente dos menos que el número de vértices, junto con una propiedad hereditaria análoga para todas las subestructuras inducidas. De hecho, la condición de L-trigrafo está inspirada en la condición de grafo de Laman, que desempeñan roles similares en la rigidez angular y la rigidez de distancia, respectivamente. ^{[ 3 ]}

El problema fundamental radica en cómo predecir la rigidez de una estructura mediante análisis teórico, sin necesidad de construirla. Entre los resultados clave en este ámbito se incluyen los siguientes:

• En cualquier dimensión, la rigidez de los mecanismos de varilla y bisagra se describe mediante un matroide . Las bases del matroide de rigidez bidimensional (los gráficos mínimamente rígidos en el plano) son los gráficos de Laman .
• El teorema de Cauchy establece que un poliedro convexo tridimensional construido con placas rígidas en sus caras, conectadas por bisagras a lo largo de sus aristas, forma una estructura rígida.
• Los poliedros flexibles , poliedros no convexos que no son rígidos, fueron construidos por Raoul Bricard , Robert Connelly y otros. La conjetura del fuelle , ahora demostrada, afirma que todo movimiento continuo de un poliedro flexible conserva su volumen .
• En el problema del arriostramiento de la cuadrícula , donde el marco que se va a rigidizar es una cuadrícula cuadrada con diagonales añadidas como arriostramiento transversal , la rigidez de la estructura se puede analizar traduciéndola a un problema sobre la conectividad de un grafo bipartito subyacente . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Sin embargo, en muchas otras situaciones sencillas, aún no se sabe cómo analizar matemáticamente la rigidez de una estructura, a pesar de la existencia de una considerable cantidad de teoría matemática.

Uno de los fundadores de la teoría matemática de la rigidez estructural fue el físico James Clerk Maxwell . A finales del siglo XX se produjo un florecimiento de la teoría matemática de la rigidez, que continúa vigente en el siglo XXI.

"[Una] teoría del equilibrio y las deflexiones de las estructuras sometidas a la acción de fuerzas actúa sobre la dureza de la calidad... en los casos en que la estructura... se refuerza con piezas de conexión adicionales... en los casos de tres dimensiones, por el método regular de ecuaciones de fuerzas, cada punto tendría tres ecuaciones para determinar su equilibrio, de modo que daría 3s ecuaciones entre e cantidades desconocidas, si s es el número de puntos y e el número de conexiones[sic]. Sin embargo, hay seis ecuaciones de equilibrio del sistema que deben cumplirse necesariamente por las fuerzas, debido a la igualdad de acción y reacción en cada pieza. Por lo tanto, si e = 3s −  6  , el efecto de cualquier fuerza externa será definido al producir tensiones o presiones en las diferentes piezas; pero si e > 3s − 6, estas fuerzas serán indeterminadas... " ^{[ 6 ]}      

• criterio de Chebychev-Grübler-Kutzbach
• Confiar en los marcos de trabajo
• Teorema de universalidad de Kempe

• Alfakih, Abdo Y. (2007), "Sobre la rigidez dimensional de estructuras de barras y juntas", Matemáticas Aplicadas Discretas , 155 (10): 1244– 1253, doi : 10.1016/j.dam.2006.11.011 , MR 2332317 .
• Connelly, Robert (1980), "La rigidez de ciertos marcos cableados y la rigidez de segundo orden de superficies convexas trianguladas arbitrariamente", Advances in Mathematics , 37 (3): 272–299 , doi : 10.1016/0001-8708(80)90037-7 , MR 0591730 .
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• Whiteley, Walter (1988), "La unión de matroides y la rigidez de los marcos", SIAM Journal on Discrete Mathematics , 1 (2): 237– 255, doi : 10.1137/0401025 , MR 0941354