Complejo de Vietoris-Rips

En topología , el complejo de Vietoris-Rips , también llamado complejo de Vietoris o complejo de Rips , es una forma de construir un espacio topológico a partir de distancias en un conjunto de puntos. Es un complejo simplicial abstracto que se puede definir a partir de cualquier espacio métrico M y distancia δ, formando un simplex para cada conjunto finito de puntos cuyo diámetro no sea mayor que δ. Es decir, es una familia de subconjuntos finitos de M , en la que consideramos que un subconjunto de k puntos forma un simplex de dimensión ( k - 1) (una arista para dos puntos, un triángulo para tres puntos, un tetraedro para cuatro puntos, etc.); si un conjunto finito S tiene la propiedad de que la distancia entre cada par de puntos en S es como máximo δ, entonces incluimos S como un simplex en el complejo.  

El complejo de Vietoris-Rips se denominó originalmente complejo de Vietoris, en honor a Leopold Vietoris , quien lo introdujo como un medio para extender la teoría de la homología desde complejos simpliciales a espacios métricos. ^{[ 1 ]} Después de que Eliyahu Rips aplicara el mismo complejo al estudio de grupos hiperbólicos , su uso fue popularizado por Mikhail Gromov ( 1987 ) , quien lo denominó complejo de Rips. ^{[ 2 ]} El nombre "complejo de Vietoris-Rips" se debe a Jean-Claude Hausmann ( 1995 ) . ^{[ 3 ]}  

El complejo de Vietoris-Rips está estrechamente relacionado con el complejo de Čech (o nervio ) de un conjunto de bolas , que posee un símplex para cada subconjunto finito de bolas con intersección no vacía. En un espacio geodésicamente convexo Y , el complejo de Vietoris-Rips de cualquier subespacio X  ⊂ Y para una distancia δ tiene los mismos puntos y aristas que el complejo de Čech del conjunto de bolas de radio δ/2 en Y centradas en los puntos de X. Sin embargo, a diferencia del complejo de Čech, el complejo de Vietoris-Rips de X depende únicamente de la geometría intrínseca de X , y no de ninguna incrustación de X en un espacio mayor. 

Como ejemplo, consideremos el espacio métrico uniforme M₃ _{, que consta de tres puntos, cada uno a una} distancia unitaria del otro. El complejo de Vietoris-Rips de _M₃ , para δ = 1, incluye un símplex para cada subconjunto de puntos en M₃ , incluyendo un triángulo para _{el propio} M₃ . Si incrustamos M₃ como un triángulo equilátero en el plano euclidiano , entonces el complejo de Čech de las bolas de radio 1/2 centradas en los puntos de M₃ contendría todos _{los demás símplexes del complejo de Vietoris-Rips ,} pero no contendría este triángulo, ya que ningún punto del plano está contenido en las tres bolas. Sin embargo, si _M₃ se incrusta en un espacio métrico que contiene un cuarto punto a una distancia 1/2 de cada uno de los tres puntos de _M₃ , el complejo de Čech de las bolas de radio 1/2 en este espacio contendría el triángulo. Así, el complejo de Čech de bolas de radio fijo centradas en M ₃ difiere dependiendo del espacio mayor en el que se pueda insertar M _{3 , mientras que el complejo de Vietoris-Rips permanece inalterado.}  

Si cualquier espacio métrico X está incrustado en un espacio métrico inyectivo Y , el complejo de Vietoris-Rips para distancia δ y X coincide con el complejo de Čech de las bolas de radio δ/2 centradas en los puntos de X en Y. Por lo tanto, el complejo de Vietoris-Rips de cualquier espacio métrico M es igual al complejo de Čech de un sistema de bolas en el espacio generado por M.

Equipado con la métrica de palabra relativa a un conjunto generador , un grupo finitamente generado G es un espacio métrico. El complejo de Vietoris-Rips asociado es un complejo simplicial localmente finito de dimensión finita sobre el cual G actúa geométricamente , es decir , de forma discontinua propia y con cociente compacto. Esta acción es fiel, con estabilizadores finitos. Además, si G es libre de torsión, la acción es libre.

Cuando G es hiperbólico , para δ suficientemente grande el complejo de Vietoris-Rips asociado es contraíble . Esto implica que el grupo es de tipo F _∞ , está finitamente presentado y tiene dimensión cohomológica finita ^{[ 4 ]} .

El complejo de Vietoris-Rips para δ  =  1 contiene una arista para cada par de puntos que están a distancia unitaria o menor en el espacio métrico dado. Como tal, su 1- esqueleto es el grafo de disco unitario de sus puntos. Contiene un símplex para cada clique en el grafo de disco unitario, por lo que es el complejo de clique o complejo de banderas del grafo de disco unitario. ^{[ 5 ]} De manera más general, el complejo de clique de cualquier grafo G es un complejo de Vietoris-Rips para el espacio métrico que tiene como puntos los vértices de G y tiene como distancias las longitudes de los caminos más cortos en G.

Si M es una variedad riemanniana cerrada , entonces para valores suficientemente pequeños de δ el complejo de Vietoris-Rips de M , o de espacios suficientemente cercanos a M , es homotópicamente equivalente a M mismo. ^{[ 6 ]}

Chambers, Erickson y Worah (2008) describen algoritmos eficientes para determinar si un ciclo dado es contraíble en el complejo de Rips de cualquier conjunto finito de puntos en el plano euclidiano .

Al igual que con los grafos de disco unitario, el complejo de Vietoris-Rips se ha aplicado en informática para modelar la topología de redes de comunicación inalámbricas ad hoc . Una ventaja del complejo de Vietoris-Rips en esta aplicación es que se puede determinar solo a partir de las distancias entre los nodos de comunicación, sin tener que inferir sus ubicaciones físicas exactas. Una desventaja es que, a diferencia del complejo de Čech, el complejo de Vietoris-Rips no proporciona directamente información sobre las brechas en la cobertura de comunicación, pero este defecto se puede mitigar intercalando el complejo de Čech entre dos complejos de Vietoris-Rips para diferentes valores de δ. ^{[ 7 ]} Una implementación de los complejos de Vietoris-Rips se puede encontrar en el paquete TDAstats de R. ^{[ 8 ]}

Los complejos de Vietoris-Rips también se han aplicado para la extracción de características en datos de imágenes digitales; en esta aplicación, el complejo se construye a partir de un espacio métrico de alta dimensión en el que los puntos representan características de imagen de bajo nivel. ^{[ 9 ]}

La colección de todos los complejos de Vietoris-Rips es una construcción comúnmente aplicada en homología persistente y análisis de datos topológicos , y se conoce como filtración de Rips . ^{[ 10 ]}