Plasticidad de la masa rocosa

En ingeniería geotécnica , la plasticidad de la masa rocosa es el estudio de la respuesta de las rocas a cargas que superan el límite elástico . Históricamente, la creencia convencional sostiene que la roca es frágil y falla por fractura , mientras que la plasticidad ( deformación irreversible sin fractura) se identifica con materiales dúctiles como los metales . En masas rocosas a escala de campo, existen discontinuidades estructurales en la roca que indican que se ha producido una falla . Dado que la roca no se ha desintegrado, contrariamente a lo que se esperaría de un comportamiento frágil, es evidente que la teoría de la elasticidad no es la última palabra. ^{[ 1 ]}

Teóricamente, el concepto de plasticidad de las rocas se basa en la plasticidad del suelo, que difiere de la plasticidad de los metales. En la plasticidad de los metales, por ejemplo en el acero, el tamaño de una dislocación es del orden de los granos, mientras que en el suelo se trata del movimiento relativo de granos microscópicos. La teoría de la plasticidad del suelo se desarrolló en la década de 1960 en la Universidad de Rice para contemplar efectos inelásticos no observados en los metales. Entre los comportamientos típicos observados en las rocas se incluyen el ablandamiento por deformación , la plasticidad perfecta y el endurecimiento por trabajo .

La aplicación de la teoría del continuo es posible en rocas fracturadas debido a la continuidad de las tensiones a través de las juntas, incluso cuando los desplazamientos son discontinuos. La diferencia entre un agregado con juntas y un sólido continuo radica en el tipo de ley constitutiva y los valores de los parámetros constitutivos.

Los experimentos suelen realizarse con el objetivo de caracterizar el comportamiento mecánico de la roca en términos de resistencia . La resistencia es el límite del comportamiento elástico y delimita las regiones donde se aplica la teoría de la plasticidad. Las pruebas de laboratorio para caracterizar la plasticidad de la roca se dividen en cuatro categorías superpuestas: pruebas de presión de confinamiento , pruebas de presión de poros o tensión efectiva, pruebas dependientes de la temperatura y pruebas dependientes de la velocidad de deformación . El comportamiento plástico se ha observado en rocas utilizando todas estas técnicas desde principios del siglo XX. ^{[ 2 ]}

Los experimentos de Boudinage ^{[ 3 ]} muestran que se observa plasticidad localizada en ciertas muestras de roca que han fallado por cizallamiento. Otros ejemplos de roca que muestran plasticidad se pueden ver en el trabajo de Cheatham y Gnirk. ^{[ 4 ]} Las pruebas usando compresión y tensión muestran estrangulamiento de muestras de roca, mientras que las pruebas usando penetración de cuña muestran formación de labios. Las pruebas llevadas a cabo por Robertson ^{[ 5 ]} muestran plasticidad que ocurre a altas presiones de confinamiento. Resultados similares son observables en el trabajo experimental llevado a cabo por Handin y Hager, ^{[ 6 ]} Paterson, ^{[ 7 ]} y Mogi. ^{[ 8 ] A partir de estos resultados parece que la transición del comportamiento elástico al plástico también puede indicar la transición del ablandamiento al endurecimiento. Robinson [ 9 ]} y Schwartz presentan más evidencia . ^{[ 10 ]} Se observa que cuanto mayor es la presión de confinamiento, mayor es la ductilidad observada. Sin embargo, la deformación hasta la ruptura permanece aproximadamente igual en alrededor de 1.

El efecto de la temperatura en la plasticidad de las rocas ha sido explorado por varios equipos de investigadores. ^{[ 11 ]} Se observa que la tensión máxima disminuye con la temperatura. Los ensayos de extensión (con presión de confinamiento mayor que la tensión de compresión) muestran que la tensión principal intermedia, así como la velocidad de deformación, tienen un efecto en la resistencia. Los experimentos sobre el efecto de la velocidad de deformación realizados por Serdengecti y Boozer ^{[ 12 ]} muestran que aumentar la velocidad de deformación hace que la roca sea más resistente, pero también la hace parecer más frágil. Por lo tanto, la carga dinámica puede causar que la resistencia de la roca aumente sustancialmente. El aumento de la temperatura parece aumentar el efecto de la velocidad en el comportamiento plástico de las rocas.

Tras estas primeras exploraciones sobre el comportamiento plástico de las rocas, se ha llevado a cabo una cantidad considerable de investigación sobre el tema, principalmente por parte de la industria petrolera. A partir de la evidencia acumulada, queda claro que la roca exhibe una plasticidad notable bajo ciertas condiciones y que la aplicación de una teoría de la plasticidad a la roca es apropiada.

Las ecuaciones que rigen la deformación de las rocas fracturadas son las mismas que se utilizan para describir el movimiento de un continuo : ^{[ 13 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\rho }}+\rho ~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} &=0&&\qquad {\text{Balance de masa}}\\\rho ~{\dot {\mathbf {v} }}-{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}-\rho ~\mathbf {b} &=0&&\qquad {\text{Balance de momento lineal}}\\{\boldsymbol {\sigma }}&={\boldsymbol {\sigma }}^{T}&&\qquad {\text{Balance de momento angular}}\\\rho ~{\dot {e}}-{\boldsymbol {\sigma }} }}:({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} )+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} -\rho ~s&=0&&\qquad {\text{Balance de energía.}}\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)}$es la densidad de masa , ${\displaystyle {\dot {\rho }}}$es la derivada temporal material de${\displaystyle \rho }$,${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)={\dot {\mathbf {u} }}(\mathbf {x} ,t)}$es la velocidad de la partícula ,${\displaystyle \mathbf {u} }$es el desplazamiento de la partícula ,${\displaystyle {\dot {\mathbf {v} }}}$es la derivada temporal material de${\displaystyle \mathbf {v} }$,${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {x} ,t)}$es el tensor de tensiones de Cauchy ,${\displaystyle \mathbf {b} (\mathbf {x} ,t)}$es la densidad de fuerza del cuerpo ,${\displaystyle e(\mathbf {x} ,t)}$es la energía interna por unidad de masa,${\displaystyle {\dot {e}}}$es la derivada temporal material de${\displaystyle e}$,${\displaystyle \mathbf {q} (\mathbf {x} ,t)}$es el vector de flujo de calor ,${\displaystyle s(\mathbf {x} ,t)}$es una fuente de energía por unidad de masa,${\displaystyle \mathbf {x} }$es la ubicación del punto en la configuración deformada, y t es el tiempo.

Además de las ecuaciones de balance, se necesitan condiciones iniciales , condiciones de contorno y modelos constitutivos para que un problema esté bien planteado . Para cuerpos con discontinuidades internas, como la roca fracturada, el balance de momento lineal se expresa de forma más conveniente en forma integral, también llamada principio del trabajo virtual :

${\displaystyle \int _{\Omega }[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla {\mathbf {w} }-\rho \,\mathbf {b} \cdot \mathbf {w} +\rho \,{\dot {\mathbf {v} }}\cdot \mathbf {w} ]\,{\text{dV}}=\int _{\partial \Omega }\mathbf {t} \cdot \mathbf {w} \,{\text{dS}}}$

dónde${\displaystyle \Omega }$representa el volumen del cuerpo y${\displaystyle \partial \Omega }$es su superficie (incluidas las discontinuidades internas),${\displaystyle \mathbf {w} }$es una variación admisible que satisface las condiciones de contorno de desplazamiento (o velocidad), el teorema de la divergencia se ha utilizado para eliminar las derivadas del tensor de tensión, y${\displaystyle \mathbf {t} }$son tracciones superficiales en las superficies${\displaystyle \partial \Omega }$. Las condiciones de salto a través de discontinuidades de tensión interna estacionarias requieren que las tracciones a través de estas superficies sean continuas, es decir,

${\displaystyle \mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}^{+}+\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}^{-1}=\mathbf {0} \qquad {\text{or}}\qquad \mathbf {n} \cdot [[{\boldsymbol {\sigma }}]]=\mathbf {0} }$

dónde${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{+},{\boldsymbol {\sigma }}^{-}}$son las tensiones en los subcuerpos${\displaystyle \Omega ^{+},\Omega ^{-}}$, y${\displaystyle \mathbf {n} }$es la normal a la superficie de discontinuidad.

Relaciones constitutivas

Para pequeñas deformaciones , la magnitud cinemática que se utiliza para describir la mecánica de las rocas es el tensor de pequeñas deformaciones. ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{T}\right]\,.}$ Si se ignoran los efectos de la temperatura, se suelen utilizar cuatro tipos de relaciones constitutivas para describir las deformaciones de pequeñas tensiones en las rocas. Estas relaciones abarcan el comportamiento elástico , plástico , viscoelástico y viscoplástico , y tienen las siguientes formas:

1. Material elástico :${\displaystyle \,\,{\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {H}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}\,\,}$o${\displaystyle \,\,\sigma _{ij}=H_{ijkl}\,\varepsilon _{kl}\,\,}$Para un material elástico lineal e isotrópico, esta relación toma la forma${\displaystyle \,\,{\boldsymbol {\sigma }}=2\mu \,{\boldsymbol {\varepsilon }}+\lambda \,{\text{tr}}({\boldsymbol {\varepsilon }})\,{\boldsymbol {I}}\,\,}$o${\displaystyle \,\,\sigma _{ij}=2\mu \varepsilon _{ij}+\lambda \varepsilon _{kk}\delta _{ij}}$Las cantidades${\displaystyle \mu ,\lambda }$son los parámetros de Lamé .
2. Fluido viscoso : Para materiales isotrópicos,${\displaystyle \,\,{\boldsymbol {\sigma }}=-p\,{\boldsymbol {I}}+2\mu \,{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}+\lambda \,{\text{tr}}({\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}})\,{\boldsymbol {I}}\,\,}$o${\displaystyle \,\,\sigma _{ij}=-P\,\delta _{ij}+2\mu {\dot {\varepsilon }}_{ij}+\lambda {\dot {\varepsilon }}_{kk}\delta _{ij}}$dónde${\displaystyle \mu }$es la viscosidad de corte y${\displaystyle \lambda }$es la viscosidad global .
3. Material no lineal : Las relaciones de materiales no lineales isotrópicos toman la forma ${\displaystyle \,\,{\boldsymbol {\sigma }}=2\mu \,{\boldsymbol {\varepsilon }}+\lambda \,{\text{tr}}({\boldsymbol {\varepsilon }})\,{\boldsymbol {I}}+\lambda '\,{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}\,\,}$o${\displaystyle \,\,\sigma _{ij}=2\mu \varepsilon _{ij}+\lambda \varepsilon _{kk}\delta _{ij}+\lambda '\,\varepsilon _{ik}\,\varepsilon _{kj}}$Este tipo de relación se utiliza normalmente para ajustar datos experimentales y puede incluir comportamiento inelástico.
4. Materiales cuasilineales : Las relaciones constitutivas para estos materiales se expresan típicamente en forma de tasa , por ejemplo,${\displaystyle \,\,{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}={\mathsf {H}}({\boldsymbol {\sigma }}):{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}\,\,}$o${\displaystyle \,\,{\dot {\sigma }}_{ij}=H_{ijkl}(\sigma _{mn})\,{\dot {\varepsilon }}_{kl}\,\,}$.

Un criterio de falla o superficie de fluencia para la roca puede expresarse entonces en la forma general.

${\displaystyle F({\boldsymbol {\sigma }},{\dot {\boldsymbol {\sigma }}},{\boldsymbol {\varepsilon }},{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}},\mathbf {x} ,t)=0\,.}$

Las relaciones constitutivas típicas para las rocas suponen que el proceso de deformación es isotérmico, que el material es isotrópico, cuasilineal y homogéneo, que sus propiedades no dependen de la posición al inicio del proceso de deformación, que no existe efecto viscoso y, por lo tanto, no hay escala de tiempo intrínseca, que el criterio de falla es independiente de la velocidad y que no hay efecto de tamaño . Sin embargo, estas suposiciones se hacen solo para simplificar el análisis y deben abandonarse si es necesario para un problema particular.

Superficies de fluencia para rocas

El diseño de estructuras mineras y civiles en roca generalmente implica un criterio de falla cohesivo-friccional. Este criterio se utiliza para determinar si un estado de tensión en la roca conducirá a un comportamiento inelástico, incluyendo la falla frágil . Para rocas sometidas a altas tensiones hidrostáticas , la falla frágil está precedida por deformación plástica, y el criterio de falla se utiliza para determinar el inicio de dicha deformación. Por lo general, se asume plasticidad perfecta más allá del límite elástico . Sin embargo, también se han utilizado relaciones de endurecimiento y ablandamiento por deformación con inelasticidad no local y daño . Los criterios de falla y las superficies de fluencia a menudo se complementan con un límite máximo para evitar situaciones irreales en las que estados de tensión hidrostática extremos no conducen a falla o deformación plástica.

Dos de los criterios de falla/superficie de fluencia más utilizados para rocas son el modelo de Mohr-Coulomb y el modelo de Drucker-Prager . También se utiliza el criterio de falla de Hoek-Brown , a pesar de los graves problemas de inconsistencia que presenta. La característica principal de estos modelos es que predicen la falla por tracción a bajas tensiones. Por otro lado, a medida que el estado de tensión se vuelve cada vez más compresivo, la falla y la fluencia requieren valores de tensión cada vez mayores.

Las ecuaciones de gobierno, los modelos constitutivos y las superficies de fluencia analizados anteriormente no son suficientes para calcular las tensiones y los desplazamientos en un cuerpo rocoso sometido a deformación plástica. Se requiere una suposición cinemática adicional: que la deformación en el cuerpo se puede descomponer aditivamente (o multiplicativamente en algunos casos) en una parte elástica y una parte plástica. La parte elástica de la deformación se puede calcular a partir de un modelo constitutivo elástico lineal. Sin embargo, la determinación de la parte plástica de la deformación requiere una regla de flujo y un modelo de endurecimiento .

Las teorías típicas de plasticidad de flujo (para plasticidad perfecta de pequeña deformación o plasticidad con endurecimiento) se desarrollan sobre la base de los siguientes requisitos:

1. La roca tiene un rango elástico lineal.
2. La roca tiene un límite elástico definido como la tensión a la que comienza la deformación plástica, es decir,${\displaystyle \sigma =\sigma _{0}}$.
3. Más allá del límite elástico, el estado de tensión siempre permanece en la superficie de fluencia, es decir,${\displaystyle \sigma =\sigma _{y}}$.
4. La carga se define como la situación bajo la cual los incrementos de tensión son mayores que cero, es decir,${\displaystyle d\sigma >0}$. Si la carga lleva el estado de tensión al dominio plástico, entonces el incremento de la deformación plástica siempre es mayor que cero, es decir,${\displaystyle d\varepsilon _{p}>0}$.
5. La descarga se define como la situación bajo la cual los incrementos de tensión son menores que cero, es decir,${\displaystyle d\sigma <0}$El material es elástico durante la descarga y no se acumula ninguna deformación plástica adicional.
6. La deformación total es una combinación lineal de las partes elástica y plástica, es decir,${\displaystyle d\varepsilon =d\varepsilon _{e}+d\varepsilon _{p}}$La parte de plástico no se puede recuperar, mientras que la parte elástica es totalmente recuperable.
7. El trabajo realizado en un ciclo de carga y descarga es positivo o cero, es decir,${\displaystyle d\sigma \,d\varepsilon =d\sigma \,(d\varepsilon _{e}+d\varepsilon _{p})\geq 0}$Esto también se conoce como el postulado de estabilidad de Drucker y elimina la posibilidad de un comportamiento de ablandamiento por deformación.

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