solucionador Roe

Un sistema no lineal de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas que representa un conjunto de leyes de conservación en una dimensión espacial se puede escribir de la forma

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {U}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {U}})}{\partial x}}=0.}$

Aplicando la regla de la cadena al segundo término obtenemos el sistema hiperbólico cuasilineal.

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {U}}}{\partial t}}+A({\boldsymbol {U}}){\frac {\partial {\boldsymbol {U}}}{\partial x}}=0,}$

dónde${\displaystyle A}$es la matriz jacobiana del vector de flujo${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {U}})}$.

El método Roe consiste en encontrar una matriz${\displaystyle {\tilde {A}}({\boldsymbol {U}}_{i},{\boldsymbol {U}}_{i+1})}$Se supone que es constante entre dos celdas. El problema de Riemann se puede resolver entonces como un sistema hiperbólico verdaderamente lineal en cada interfaz de celda. La matriz de Roe debe cumplir las siguientes condiciones:

• Diagonalizable con valores propios reales: garantiza que el nuevo sistema lineal sea verdaderamente hiperbólico.
• Consistencia con el jacobiano exacto: cuando${\displaystyle {\boldsymbol {U}}_{i}, {\boldsymbol {U}}_{i+1}\rightarrow {\boldsymbol {U}}}$exigimos que${\displaystyle {\tilde {A}}({\boldsymbol {U}}_{i},{\boldsymbol {U}}_{i+1})=A({\boldsymbol {U}})}$
• Conservación:${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{i+1}-{\boldsymbol {F}}_{i}={\tilde {A}}({\boldsymbol {U}}_{i+1}-{\boldsymbol {U}}_{i})}$

Phil Roe introdujo un método de vectores de parámetros para encontrar dicha matriz para algunos sistemas de leyes de conservación. ^{[ 1 ]}

Una vez hallada la matriz de Roe correspondiente a la interfaz entre dos células, el flujo intercelular se obtiene resolviendo el sistema cuasilineal como un sistema verdaderamente lineal.