Rosa (matemáticas)

Rosas especificadas por la sinusoide $r = cos(kθ)$ para varios valores racionales de la frecuencia angular $k = ⁠ n / d ⁠$ . Para un análisis matemático adecuado, $k$ debe expresarse en forma irreducible.

En matemáticas , una curva de rosa o rodonea es una sinusoide definida por las funciones coseno o seno , sin ángulo de fase , que se representa en coordenadas polares . Las curvas de rosa o "rodoneas" fueron denominadas así por el matemático italiano Guido Grandi , quien las estudió entre los años 1723 y 1728. ^[¹^]

Descripción general

Especificación

Una rosa es el conjunto de puntos en coordenadas polares especificado por la ecuación polar ^{[ 2 ].}

r=a\cos(k\theta )

o en coordenadas cartesianas utilizando las ecuaciones paramétricas

{\begin{aligned}x&=r\cos(\theta )=a\cos(k\theta )\cos(\theta )\\y&=r\sin(\theta )=a\cos(k\theta )\sin(\theta )\end{aligned}}

Las rosas también se pueden especificar usando la función seno. ^{[ 3 ]} Dado que

\sin(k\theta )=\cos \left(k\theta -{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos \left(k\left(\theta -{\frac {\pi }{2k}}\right)\right)

.

Así, la rosa especificada por $r = a sin(kθ)$ es idéntica a la especificada por $r = a cos(kθ)$ rotada en sentido contrario a las agujas del reloj por $⁠$ $π$ $/$ $2$ $k$ $⁠$ radianes, que es un cuarto del período de cualquiera de las sinusoides.

Dado que se especifican mediante la función coseno o seno, las rosas se suelen expresar como gráficas en coordenadas polares (en lugar de $coordenadas$ cartesianas ) de sinusoides que tienen una frecuencia angular k y una amplitud a $que$ determinan la coordenada radial $r$ dado el ángulo polar $θ$ (aunque cuando $k$ es un número racional , una curva de rosa se puede expresar en coordenadas cartesianas ya que estas se pueden especificar como curvas algebraicas ^[⁴^] ).

Propiedades generales

Representación artística de rosas con diferentes configuraciones de parámetros.

Las rosas están directamente relacionadas con las propiedades de las funciones sinusoidales que las definen.

Pétalos

Las gráficas de rosas están compuestas de pétalos . Un pétalo es la forma que crea la gráfica de un semiciclo de la sinusoide que define la rosa. (Un ciclo es una porción de una sinusoide de un período T = 2π / k de longitud y consta de un semiciclo positivo, el conjunto continuo de puntos donde r ≥ 0 y tiene una longitud T / 2 = π / k , y un semiciclo negativo, que es la otra mitad donde r ≤ 0 ) .
- La forma de cada pétalo es la misma porque las gráficas de los semiciclos tienen la misma forma. La forma viene dada por el semiciclo positivo con cresta en $(a, 0) especificado por r = a cos(kθ) (que está acotado por el intervalo angular -T/4 \leq θ \leq$ $T / 4$ ) $. El pétalo es simétrico respecto$ al $eje polar . Todos los demás pétalos son rotaciones de este$ pétalo alrededor del polo, $incluyendo aquellos$ $para$ rosas especificados por la función seno con los mismos valores para $a$ y $k$ . ^{[ 5 ]}
- De acuerdo con las reglas para trazar puntos en coordenadas polares, un punto en un semiciclo negativo no puede trazarse en su ángulo polar porque su coordenada radial $r$ es negativa. El punto se traza sumando $π$ radianes al ángulo polar con una coordenada radial $| r |$ . Por lo tanto, los semiciclos positivos y negativos pueden coincidir en el gráfico de una rosa. Además, las rosas están inscritas en el círculo $r = a$ .
- Cuando el período $T de la$ $sinusoide$ es menor o igual a $4π$ , la forma del pétalo es un único bucle cerrado. Se forma un único bucle porque el intervalo angular para un diagrama polar es $2π y la anchura$ $angular$ del semiciclo es menor o igual a $2π$ . Cuando $T > 4π ($ o $| k | < 1/2)$ $, el diagrama de un semiciclo puede verse como$ $una espiral que$ $se$ extiende desde el polo en más de un circuito alrededor del polo hasta que el diagrama alcanza el círculo inscrito donde vuelve en espiral al polo, intersecándose a sí mismo y formando uno o más bucles en el camino $.$ $En consecuencia, cada$ pétalo forma dos bucles cuando $4π$ $< T \leq 8π ($ $o$ 1/4 $\leq$ $|$ $k$ $|$ $<$ $1/2$ $)$ $,$ $tres$ bucles cuando $8π$ $<$ $T$ $\leq 12π$ $($ $o$ 1/6 $\leq$ $|$ $k$ $|$ $<$ $1/4$ $)$ $,$ $etc.$ $Se$ $observan$ $rosas$ $con$ $un$ solo $pétalo$ con $múltiples$ $bucles$ $para$ $k$ $=$ $1/3$ $,$ $1/5$ $,$ $1/7$ $,$ $etc.$ $($ $Véase$ $la$ $figura$ $en$ $la$ $sección$ $de$ $introducción$ $)$ $.$
- Los pétalos de una rosa no se cruzarán entre sí cuando la frecuencia angular $k$ sea un número entero distinto de cero; de lo contrario, los pétalos se cruzarán entre sí.

Simetría

Todas las rosas presentan una o más formas de simetría debido a las propiedades simétricas y periódicas subyacentes de las funciones sinusoidales.

Una rosa especificada como $r = a cos(kθ)$ es simétrica con respecto al eje polar (la línea $θ = 0$ ) debido a la identidad $a cos(kθ) = a cos(- kθ)$ que hace que las rosas especificadas por las dos ecuaciones polares coincidan.

Una rosa especificada como $r = a sin(kθ)$ es simétrica con respecto a la línea vertical $θ = ⁠ π / 2 ⁠$ debido a la identidad $a sin(kθ) = a sin(π - kθ)$ que hace que las rosas especificadas por las dos ecuaciones polares coincidan.

Solo ciertas rosas son simétricas respecto al eje.

Los pétalos individuales son simétricos respecto a la línea que pasa por el polo y el vértice del pétalo, lo que refleja la simetría del semiciclo de la sinusoide subyacente. Las rosas compuestas por un número finito de pétalos son, por definición, simétricas rotacionalmente, ya que cada pétalo tiene la misma forma y los pétalos sucesivos giran el mismo ángulo alrededor del polo.

Rosas con valores enteros distintos de cero de $k$

Cuando $k es un entero distinto$ de cero, la curva tendrá forma de rosa con $2k pétalos$ si $k$ es par, y $k$ pétalos si $k$ es impar. ^[⁶^] Las propiedades de estas rosas son un caso especial de rosas con frecuencias angulares $k$ que son números racionales, tema que se trata en la siguiente sección de este artículo.

La rosa está inscrita en el círculo $r = a$ , que corresponde a la coordenada radial de todos sus vértices.

$Debido a que$ $un gráfico de$ coordenadas polares se limita a ángulos polares entre 0 y $2π$ , se muestran $2π$ $/$ $T$ $=$ $k$ ciclos en el gráfico. No es necesario trazar puntos adicionales porque la coordenada radial en $θ$ $= 0$ tiene el mismo valor que en $θ$ $=$ $2π$ $($ que son las crestas de dos semiciclos positivos diferentes para las rosas especificadas por la función coseno) $.$

Cuando k es par (y distinto de cero), la rosa se compone de 2k pétalos , uno por cada pico en el intervalo de 2π de ángulos polares mostrados. Cada pico corresponde a un punto situado en el círculo r = a . Los segmentos de línea que conectan picos sucesivos formarán un polígono regular con un número par de vértices que tiene su centro en el polo y un radio que pasa por cada pico, y de manera similar:
- Las rosas son simétricas con respecto al poste.
- Las rosas son simétricas respecto a cada línea que pasa por el polo y un vértice (que pasa por el "medio" de un pétalo), siendo el ángulo polar entre los vértices de pétalos sucesivos $⁠$ $2$ $π$ $/$ $2$ $k$ $⁠$ $=$ $⁠$ $π$ $/$ $k$ $⁠$ radianes. Por lo tanto, estas rosas tienen simetría rotacional de orden $2$ $k$ .
- Las rosas son simétricas respecto a cada línea que biseca el ángulo entre picos sucesivos, lo que corresponde a los límites de semiciclo y a la apotema del polígono correspondiente.

Cuando k es impar, la rosa se compone de k pétalos, uno por cada cresta (o valle) en el intervalo de 2π de ángulos polares mostrados. Cada pico corresponde a un punto situado en el círculo r = a . Los semiciclos positivos y negativos de esta rosa coinciden, lo que significa que al graficarlos, solo es necesario trazar los semiciclos positivos o solo los semiciclos negativos para formar la curva completa. (De forma equivalente, una curva completa se graficará trazando cualquier intervalo continuo de ángulos polares de π radianes de longitud, como θ = 0 a θ = π . ^{[ 7 ]} ) Los segmentos de línea que conectan picos sucesivos formarán un polígono regular con un número impar de vértices, y de igual manera:
- $Las rosas son simétricas respecto a cada línea que pasa por el polo y un vértice ( que pasa por el centro de un pétalo)$ $,$ siendo el ángulo polar entre los vértices de pétalos sucesivos de $2π$ $/$ $k$ $radianes$ . Por lo tanto, estas rosas tienen simetría rotacional de orden $k$ .

Los pétalos de la rosa no se superponen.

Las rosas se pueden especificar mediante curvas algebraicas de orden $k + 1$ cuando $k$ es impar, y $2(k + 1)$ cuando $k$ es par. ^{[ 8 ]}

El círculo

Una rosa con $k = 1$ es un círculo que se encuentra en el polo con un diámetro que se encuentra en el eje polar cuando $r = a cos(θ)$ . El círculo es el único pétalo de la curva. (Véase el círculo que se forma al final de la siguiente sección). En coordenadas cartesianas, las especificaciones equivalentes de coseno y seno son

\left(x-{\frac {a}{2}}\right)^{2}+y^{2}=\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}

y

x^{2}+\left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}

respectivamente.

El cuadrifolio

Una rosa con $k = 2$ se llama cuadrifolio porque tiene $2k = 4$ pétalos y formará un cuadrado . En coordenadas cartesianas, las especificaciones del coseno y el seno son:

\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}=a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)^{2}

y

\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}=\left(2axy\right)^{2}

respectivamente.

El trifolium

Una rosa con $k = 3$ se llama trifolium ^{[ 9 ]} porque tiene $k = 3$ pétalos y formará un triángulo equilátero . La curva también se llama Paquerette de Mélibée. En coordenadas cartesianas, las especificaciones de coseno y seno son

\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=a\left(x^{3}-3xy^{2}\right)

y

\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=a\left(3x^{2}y-y^{3}\right)

respectivamente. ^{[ 10 ]} (Véase la formación del trifolium al final de la siguiente sección).

El octafolio

Una rosa con $k = 4$ se llama octafolium porque tiene $2k = 8$ pétalos y formará un octágono . En coordenadas cartesianas, las especificaciones del coseno y el seno son:

\left(x^{2}+y^{2}\right)^{5}=a^{2}\left(x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4}\right)^{2}

y

\left(x^{2}+y^{2}\right)^{5}=16a^{2}\left(xy^{3}-yx^{3}\right)^{2}

respectivamente.

El pentafolium

Una rosa con $k = 5$ se llama pentafolium porque tiene $k = 5$ pétalos y formará un pentágono regular . En coordenadas cartesianas, las especificaciones del coseno y el seno son:

\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}=a\left(x^{5}-10x^{3}y^{2}+5xy^{4}\right)

y

\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}=a\left(5x^{4}y-10x^{2}y^{3}+y^{5}\right)

respectivamente.

El dodecafolium

Una rosa con $k = 6$ se llama dodecafolium porque tiene $2k = 12$ pétalos y formará un dodecágono . En coordenadas cartesianas, las especificaciones del coseno y el seno son:

\left(x^{2}+y^{2}\right)^{7}=a^{2}\left(x^{6}-15x^{4}y^{2}+15x^{2}y^{4}-y^{6}\right)^{2}

y

\left(x^{2}+y^{2}\right)^{7}=4a^{2}\left(3x^{5}y-10x^{3}y^{3}+3xy^{5}\right)^{2}

respectivamente.

Áreas totales y de pétalos

El área total de una rosa con ecuación polar de la forma $r = a cos(kθ)$ o $r = a sin(kθ)$ , donde $k$ es un entero distinto de cero, es ^{[ 11 ].}

{\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta &={\frac {a^{2}}{2}}\left(\pi +{\frac {\sin(4k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{2}}&&\quad {\text{for even }}k\\[8px]{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta &={\frac {a^{2}}{2}}\left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\sin(2k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{4}}&&\quad {\text{for odd }}k\end{aligned}}

Cuando $k$ es par, hay $2k pétalos$ ; y cuando $k$ es impar, hay $k$ pétalos, por lo que el área de cada pétalo es $⁠$ $πa$ $2$ $/$ $4$ $k$ $⁠$ .

En consecuencia, si alguien quisiera jugar al popular juego " Me quiere... no me quiere" sobre una rosa como la de arriba, en lugar de contar los pétalos, podría calcular el área de la rosa para determinar el resultado del juego.

Rosas con valores de números racionales para $k$

En general, cuando $k$ es un número racional en forma $de$ fracción irreducible $k = n / d,$ donde $n$ y $d son enteros distintos$ $de$ cero, el número de pétalos es el denominador de la expresión $1$ $/$ $2$ $-$ $1$ $/$ $2$ $k$ $=$ $n$ $-$ $d$ $/$ $2$ $n$ $.$ ^[¹² ] Esto significa que el número ^de pétalos es $n$ si tanto $n$ $como$ d $son$ ^impares , y $2n$ $en$ $caso$ ^contrario . $[$ $13$ ^]

En el caso de que tanto $n$ como $d$ sean impares, los semiciclos positivo y negativo de la sinusoide coinciden. La gráfica de estas rosas se completa en cualquier intervalo continuo de ángulos polares de longitud $dπ$ . ^{[ 14 ]}

Cuando n es par y d es impar, o viceversa, la rosa se graficará completamente en un intervalo continuo de ángulo polar de 2 dπ de longitud. ^{[ 15 ]} Además, las rosas son simétricas respecto al polo tanto para las especificaciones de coseno como de seno. ^{[ 16 ]}
- Además, cuando $n$ es impar y $d$ es par, las rosas especificadas por las ecuaciones polares de coseno y seno con los mismos valores de $a$ y $k$ coinciden. Para un par de rosas de este tipo, la rosa con la especificación de la función seno coincide con la cresta de la rosa con la especificación de coseno en el eje polar, ya sea en $θ$ $=$ $dπ / 2 o en$ θ $= 3dπ / 2 . ($ $Esto$ significa que las rosas $r$ $= a cos (kθ)$ y $r$ $=$ $a$ $sin($ $kθ$ $)$ $con valores enteros de k$ distintos de cero nunca coinciden).

La rosa está inscrita en el círculo $r = a$ , que corresponde a la coordenada radial de todos sus vértices.

El folleto de Durero

Una rosa con $k = 1/2$ se llama folium de Durero, en honor al pintor y grabador alemán $Albrecht$ $Durero$ . $Las$ rosas especificadas por $r = a cos(θ$ $/$ $2$ $)$ y $r = a sin($ $θ$ $/$ $2$ $)$ coinciden aunque $a cos($ $θ$ $/$ $2$ $)$ $\neq$ $a$ $sin$ $($ $θ$ $/$ $2$ $)$ $.$ $En$ ^{coordenadas cartesianas} $,$ $la$ ^{rosa se especifica} como $[$ ¹⁷ $]$ $.$

\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(2\left(x^{2}+y^{2}\right)-a^{2}\right)^{2}=a^{4}x^{2}

El Dürer folium es también una trisectriz , una curva que puede utilizarse para trisecar ángulos.

La trisectrix limaçon

Una rosa con $k = 1/3 es$ una trisectriz limaçon $que posee$ $la$ propiedad de curvas trisectrices que pueden usarse para trisecar ángulos. La rosa tiene un solo pétalo con dos bucles. (Véase la animación a continuación) $.$

Ejemplos de rosas

r = cos(kθ)

creadas usando engranajes con diferentes relaciones. Los rayos mostrados son el eje polar y

θ = ⁠ π / 2 ⁠

. La gráfica comienza en

θ = 2 π

cuando

k

es un entero,

θ = 2 dπ

en caso contrario, y continúa en sentido horario hasta

θ = 0

.

El círculo ,

k = 1

(

n = 1

,

d = 1

). La rosa se completa cuando se alcanza

θ = π

(media revolución del engranaje más ligero).

La trisectrix limaçon ,

k = 1/3

(

n

= 1

,

d

=

3

)

, tiene un pétalo con dos bucles. La rosa se completa cuando se alcanza

θ = 3π

(

3/2 revoluciones del engranaje más

ligero

.

El trifolio,

k = 3

(

n = 3

,

d = 1

). La rosa está completa cuando se alcanza

θ = π

(media revolución del engranaje más ligero).

Los

8 pétalos de la rosa con

k = 4/5

(

n = 4

,

d

= 5

)

son cada uno un bucle que se interseca con otros pétalos. La rosa es simétrica respecto al eje. La rosa se completa en

θ

= 10π (

cinco revoluciones del engranaje más ligero).

Rosas con valores de números irracionales para $k$

Una curva rosa especificada con un número irracional para $k$ tiene un número infinito de pétalos ^{[ 18 ]} y nunca se completará. Por ejemplo, la sinusoide $r = a cos(πθ)$ tiene un período $T = 2$ , por lo que tiene un pétalo en el intervalo de ángulo polar $- ⁠ 1 / 2 ⁠ \leq θ \leq ⁠ 1 / 2 ⁠$ con una cresta en el eje polar; sin embargo, no hay otro ángulo polar en el dominio de la ecuación polar que se grafique en las coordenadas $(a,0)$ . En general, las rosas especificadas por sinusoides con frecuencias angulares que son constantes irracionales forman un conjunto denso (es decir, se aproximan arbitrariamente a especificar cada punto en el disco $r \leq a$ ).

Rotaciones necesarias para cerrar la curva

$El número de rotaciones (o rango angular total) necesario para que$ una curva de rodonea complete una figura cerrada depende de la razón $k = n / d .$ Cuando $k$ es un número entero, la curva se cierra después de $π$ radianes si $k$ es impar, y después de $2π$ $radianes$ si $k$ es par. Cuando $k$ es un número racional, la rotación total necesaria para que la curva se cierre viene dada por $dπ$ $/$ $mcd(n,d)$ $si$ $nd$ es impar, y por $2dπ$ $/$ $mcd$ $(n,d)$ $en caso contrario$ $.$ Esta fórmula determina cuántos radianes (o bucles) se requieren para que la curva de la rosa complete un patrón completo antes de repetirse.

Véase también

Limaçon trisectrix - tiene la misma forma que la rosa con $k = ⁠ 1 / 3 ⁠$ .
Cuadrifolio : una curva rosa donde $k = 2$ .
Maurer Rose
Rosa (topología)
Secretaria de Maclaurin
Espirógrafo

Notas

↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Rhodonea" , Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
↑ Modelos matemáticos por H. Martyn Cundy y AP Rollett, segunda edición, 1961 (Oxford University Press), pág. 73.
↑ "Rose (Matemáticas)" . Consultado el 2 de febrero de 2021 .
↑ Robert Ferreol. "Rosa" . Consultado el 3 de febrero de 2021 .
↑ Xah Lee. "Curva de la rosa" . Consultado el 12 de febrero de 2021 .
↑ Eric W. Weisstein. "Rose (Matemáticas)" . Wolfram MathWorld . Consultado el 5 de febrero de 2021 .
↑ "Número de pétalos de la curva de Rhodonea de índice impar" . ProofWiki.org . Consultado el 3 de febrero de 2021 .
↑ Robert Ferreol. "Rosa" . Consultado el 3 de febrero de 2021 .
↑ "Trifolium" . Consultado el 2 de febrero de 2021 .
^ Eric W. Weisstein. «Paquerette de Mélibée» . Wolfram MathWorld . Consultado el 5 de febrero de 2021 .
↑ Robert Ferreol. "Rosa" . Consultado el 3 de febrero de 2021 .
↑ Jan Wassenaar. "Rodonea" . Consultado el 2 de febrero de 2021 .
↑ Robert Ferreol. "Rosa" . Consultado el 5 de febrero de 2021 .
↑ Xah Lee. "Curva de la rosa" . Consultado el 12 de febrero de 2021 .
↑ Xah Lee. "Curva de la rosa" . Consultado el 12 de febrero de 2021 .
↑ Jan Wassenaar. "Rodonea" . Consultado el 2 de febrero de 2021 .
↑ Robert Ferreol. "Dürer Folium" . Consultado el 3 de febrero de 2021 .
↑ Eric W. Weisstein. "Rose (Matemáticas)" . Wolfram MathWorld . Consultado el 5 de febrero de 2021 .

Enlaces externos

Applet para crear una rosa con parámetro $k$
Diccionario visual de curvas planas especiales Xah Lee
Ejemplo interactivo con JSXGraph
Crea una curva rosa como gráfico vectorial (usando la función seno).

[1] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Rhodonea" , Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews

[2] Modelos matemáticos por H. Martyn Cundy y AP Rollett, segunda edición, 1961 (Oxford University Press), pág. 73.

[3] "Rose (Matemáticas)" . Consultado el 2 de febrero de 2021 .

[4] Robert Ferreol. "Rosa" . Consultado el 3 de febrero de 2021 .

[5] Xah Lee. "Curva de la rosa" . Consultado el 12 de febrero de 2021 .

[6] Eric W. Weisstein. "Rose (Matemáticas)" . Wolfram MathWorld . Consultado el 5 de febrero de 2021 .

[7] "Número de pétalos de la curva de Rhodonea de índice impar" . ProofWiki.org . Consultado el 3 de febrero de 2021 .

[8] Robert Ferreol. "Rosa" . Consultado el 3 de febrero de 2021 .

[9] "Trifolium" . Consultado el 2 de febrero de 2021 .

[10] Eric W. Weisstein. «Paquerette de Mélibée» . Wolfram MathWorld . Consultado el 5 de febrero de 2021 .

[11] Robert Ferreol. "Rosa" . Consultado el 3 de febrero de 2021 .

[12] Jan Wassenaar. "Rodonea" . Consultado el 2 de febrero de 2021 .

[13] Robert Ferreol. "Rosa" . Consultado el 5 de febrero de 2021 .

[14] Xah Lee. "Curva de la rosa" . Consultado el 12 de febrero de 2021 .

[15] Xah Lee. "Curva de la rosa" . Consultado el 12 de febrero de 2021 .

[16] Jan Wassenaar. "Rodonea" . Consultado el 2 de febrero de 2021 .

[17] Robert Ferreol. "Dürer Folium" . Consultado el 3 de febrero de 2021 .

[18] Eric W. Weisstein. "Rose (Matemáticas)" . Wolfram MathWorld . Consultado el 5 de febrero de 2021 .

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[ 2 ].

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[ 9 ]

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de

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

coordenadas cartesianas

[ 18 ]

Descripción general

Especificación

Propiedades generales

Pétalos

Simetría

Rosas con valores enteros distintos de cero de k

El círculo

El cuadrifolio

El trifolium

El octafolio

El pentafolium

El dodecafolium

Áreas totales y de pétalos

Rosas con valores de números racionales para k

El folleto de Durero

La trisectrix limaçon

Rosas con valores de números irracionales para k

Rotaciones necesarias para cerrar la curva

Véase también

Notas

Enlaces externos

Rosas con valores enteros distintos de cero de $k$

Rosas con valores de números racionales para $k$

Rosas con valores de números irracionales para $k$