Simetría rotacional

La simetría rotacional de orden n  , también llamada simetría rotacional n -ésima , o simetría rotacional discreta de orden n , con respecto a un punto particular (en 2D) o eje (en 3D) significa que la rotación por un ángulo de ⁠${\displaystyle {\tfrac {360^{\circ }}{n}}}$( 180°, 120°, 90°, 72°, 60°, 51 3 / 7 °, etc.) no cambia el objeto. Una simetría "de orden 1" no es simetría (todos los objetos se ven iguales después de una rotación de 360°). 

La notación para la simetría n -ésima es C _n o simplemente n . El grupo de simetría real se especifica mediante el punto o eje de simetría, junto con n . Para cada punto o eje de simetría, el tipo de grupo abstracto es grupo cíclico de orden n , Z _n . Aunque para este último también se usa la notación C _n , conviene distinguir entre C _n geométrico y abstracto : existen otros grupos de simetría del mismo tipo de grupo abstracto que son geométricamente diferentes, véase grupos de simetría cíclica en 3D . 

El dominio fundamental es un sector de${\displaystyle {\tfrac {360^{\circ }}{n}}.}$⁠

Ejemplos sin simetría de reflexión adicional :

• n = 2 , 180°: la díada ; las letras Z, N, S; los contornos, aunque no los colores, delsímbolo del yin y el yang ; la Union Jack (dividida a lo largo de la diagonal de la bandera y rotada alrededor del punto central de la bandera)
• n = 3 , 120°: tríada , trisquel , anillos borromeos ; a veces se utilizael término simetría trilateral ;
• n = 4 , 90°: tétrada , esvástica
• n = 5 , 72°: pentada, pentagrama , pentágono regular; la simetría quíntuple no es posible en cristales periódicos.
• n = 6 , 60°: hexada , Estrella de David (esta tiene simetría de reflexión adicional )
• n = 8 , 45°: octada , muqarnas octogonales , generado por computadora (CG), techo

C _n es el grupo de rotación de un polígono regular de n lados en 2D y de una pirámide regular de n lados en 3D.

Si existe, por ejemplo, simetría rotacional con respecto a un ángulo de 100°, entonces también con respecto a uno de 20°, el máximo común divisor de 100° y 360°.

Un objeto 3D típico con simetría rotacional (posiblemente también con ejes perpendiculares) pero sin simetría especular es una hélice .

Para una simetría discreta con múltiples ejes de simetría que pasan por el mismo punto, existen las siguientes posibilidades:

• Además de un eje de simetría n , existen n ejes perpendiculares de simetría 2: los grupos diedrales D _n de orden 2 n ( n ≥ 2 ). Este es el grupo de rotación de un prisma regular o bipirámide regular . Aunque se utiliza la misma notación, conviene distinguir entre el D _n geométrico y el abstracto : existen otros grupos de simetría del mismo tipo de grupo abstracto que son geométricamente diferentes; véase grupos de simetría diedral en 3D . 
• Ejes de 4×3 y 3×2: el grupo de rotación T de orden  12 de un tetraedro regular . El grupo es isomorfo al grupo alternante A ₄ .
• Ejes de 3×4, 4×3 y 6×2: el grupo de rotación O de orden 24 de un cubo y un octaedro regular . El grupo es isomorfo al grupo simétrico S ₄ .  
• Ejes de 6×5, 10×3 y 15×2: el grupo de rotación I de orden 60 de un dodecaedro y un icosaedro . El grupo es isomorfo al grupo alternante A _5. El grupo contiene 10 versiones de D ₃ y 6 versiones de D ₅ (simetrías rotacionales como prismas y antiprismas).   

En el caso de los sólidos platónicos , los ejes de simetría binarios pasan por los puntos medios de aristas opuestas, y su número es la mitad del número de aristas. Los demás ejes pasan por vértices opuestos y por los centros de caras opuestas, excepto en el caso del tetraedro, donde los ejes de simetría triples pasan cada uno por un vértice y por el centro de una cara.

La simetría rotacional con respecto a cualquier ángulo es, en dos dimensiones, simetría circular . El dominio fundamental es una semirrecta .

En tres dimensiones podemos distinguir la simetría cilíndrica y la simetría esférica (sin cambios al girar alrededor de un eje, o para cualquier rotación). Es decir, no hay dependencia del ángulo al usar coordenadas cilíndricas y no hay dependencia de ninguno de los ángulos al usar coordenadas esféricas . El dominio fundamental es un semiplano que pasa por el eje y una semirrecta radial, respectivamente. Los términos «axisimétrico» y «axisimétrico» se refieren a un objeto que posee simetría cilíndrica o simetría axial (es decir, simetría rotacional con respecto a un eje central), como un toroide . Un ejemplo de simetría esférica aproximada es la Tierra (con respecto a la densidad y otras propiedades físicas y químicas).

En 4D, la simetría rotacional continua o discreta alrededor de un plano se corresponde con la simetría rotacional bidimensional correspondiente en cada plano perpendicular, alrededor del punto de intersección. Un objeto también puede tener simetría rotacional alrededor de dos planos perpendiculares, por ejemplo, si es el producto cartesiano de dos figuras bidimensionales con simetría rotacional, como en el caso del duocilindro y varios duoprismas regulares .

La simetría rotacional doble junto con la simetría traslacional simple es uno de los grupos de Frieze . Un rotocentro es el punto fijo o invariante de una rotación. ^{[ 3 ]} Hay dos rotocentros por celda primitiva .

Junto con la doble simetría traslacional, los grupos de rotación son los siguientes grupos de papel tapiz , con ejes por celda primitiva:

• p2 (2222): 4×2-fold; grupo de rotación de una red paralela , rectangular y rómbica .
• p3 (333): 3×3 veces; no es el grupo de rotación de ninguna red (todas las redes son iguales al revés, pero eso no se aplica a esta simetría); es, por ejemplo, el grupo de rotación del teselado triangular regular con los triángulos equiláteros coloreados alternativamente.
• p4 (442): 2×4 veces, 2×2 veces; grupo de rotación de una red cuadrada .
• p6 (632): 1×6 veces, 2×3 veces, 3×2 veces; grupo de rotación de una red hexagonal .
• Los rotocentros de simetría doble (incluidos los posibles de simetría cuádruple y séxtuple), si están presentes, forman la traslación de una red igual a la red traslacional, escalada por un factor de 1/2. En el caso de simetría traslacional en una dimensión, se aplica una propiedad similar, aunque no se utilice el término "red".
• Los rotocentros triples (incluidos los posibles séxtuples), si están presentes, forman una red hexagonal regular igual a la red traslacional, rotada 30° (o equivalentemente 90°) y escalada por un factor.${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}}$
• Los rotocentros de simetría cuádruple, si están presentes, forman una red cuadrada regular igual a la red traslacional, rotada 45° y escalada por un factor.${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$
• Los rotocentros de orden 6, si es que están presentes, forman una red hexagonal regular que es la traslación de la red traslacional.

El escalado de una red divide el número de puntos por unidad de área entre el cuadrado del factor de escala. Por lo tanto, el número de rotocentros de 2, 3, 4 y 6 veces por celda primitiva es 4, 3, 2 y 1, respectivamente, incluyendo nuevamente el de 4 veces como un caso especial del de 2 veces, etc.

La simetría rotacional triple en un punto y doble en otro (o idéntica en 3D con respecto a ejes paralelos) implica el grupo de rotación p6, es decir, simetría traslacional doble y simetría rotacional séxtuple en algún punto (o, en 3D, en un eje paralelo). La distancia de traslación para la simetría generada por un par de rotocentros de este tipo es${\displaystyle 2{\sqrt {3}}}$veces su distancia.