Teorema de Routh

En geometría , el teorema de Routh determina la razón de las áreas entre un triángulo dado y un triángulo formado por las intersecciones por pares de tres cevianas . El teorema establece que si en un triángulo los puntos , y se encuentran en los segmentos , y , entonces escribiendo , y , el área con signo del triángulo formado por las cevianas , y es ${\estilo de visualización ABC}$${\estilo de visualización D}$${\estilo de visualización E}$${\estilo de visualización F}$${\displaystyle BC}$${\displaystyle CA}$${\estilo de visualización AB}$${\displaystyle {\frac {CD}{BD}}=x}$${\displaystyle {\tfrac {AE}{CE}}=y}$${\displaystyle {\tfrac {BF}{AF}}=z}$${\displaystyle ANUNCIO}$${\displaystyle SER}$${\estilo de visualización CF}$

${\displaystyle S_{ABC}{\frac {(xyz-1)^{2}}{(xy+y+1)(yz+z+1)(zx+x+1)}},}$

¿Dónde está el área del triángulo ? $Estilo de visualización S_{ABC}}$${\estilo de visualización ABC}$

Este teorema fue propuesto por Edward John Routh en la página 82 de su Tratado sobre estática analítica con numerosos ejemplos en 1896. El caso particular se ha popularizado como el triángulo de área de un séptimo . El caso implica que las tres medianas son concurrentes (a través del centroide ). ${\displaystyle x=y=z=2}$${\displaystyle x=y=z=1}$

Supongamos que el área del triángulo es 1. Para el triángulo y la línea , el teorema de Menelao implica ${\estilo de visualización ABC}$${\estilo de visualización ABD}$${\estilo de visualización FRC}$

${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BC}{CD}}\times {\frac {DR}{RA}}=1}$.

Entonces . Por lo tanto el área del triángulo es ${\displaystyle {\frac {DR}{RA}}={\frac {BF}{FA}}\times {\frac {DC}{CB}}={\frac {zx}{x+1}}}$${\displaystyle ARCO}$

${\displaystyle S_{ARC}={\frac {AR}{AD}}S_{ADC}={\frac {AR}{AD}}\times {\frac {DC}{BC}}S_{ABC}={\frac {x}{zx+x+1}}}$

Por argumentos similares, y . Por lo tanto el área del triángulo es ${\displaystyle S_{BPA}={\frac {y}{xy+y+1}}}$${\displaystyle S_{CQB}={\frac {z}{yz+z+1}}}$$Estilo de visualización PQR$

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{PQR}&=S_{ABC}-S_{ARC}-S_{BPA}-S_{CQB}\\&=1-{\frac {x}{zx+x+1}}-{\frac {y}{xy+y+1}}-{\frac {z}{yz+z+1}}\\&={\frac {(xyz-1)^{2}}{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1)}}.\end{aligned}}}$

La cita que se da habitualmente para el teorema de Routh es el Tratado de estática analítica con numerosos ejemplos de Routh , volumen 1, cap. IV, en la segunda edición de 1896, pág. 82, posiblemente porque esa edición era más fácil de encontrar. Sin embargo, Routh ya enunciaba el teorema en la primera edición de 1891, volumen 1, cap. IV, pág. 89. Aunque hay un cambio en la paginación entre las ediciones, la redacción de la nota al pie pertinente sigue siendo la misma. Routh concluye su nota al pie ampliada con una advertencia:

"El autor no ha encontrado estas expresiones para las áreas de dos triángulos que se dan con frecuencia. Por lo tanto, las ha colocado aquí para que el argumento del texto se pueda entender más fácilmente."

Es de suponer que Routh pensó que esas circunstancias no habían cambiado en los cinco años transcurridos entre las ediciones. Por otra parte, el título del libro de Routh había sido utilizado anteriormente por Isaac Todhunter ; ambos habían sido entrenados por William Hopkins .

Aunque Routh publicó el teorema en su libro, la primera declaración y prueba publicadas conocidas fue como anexo (vii) en la página 33 de Solutions of the Cambridge Senate-house Problems and Riders for the Year 1878, es decir, el Cambridge Mathematical Tripos de ese año. El autor de los problemas de esa sección con números romanos fue James Whitbread Lee Glaisher , quien también editó todo el volumen. Routh era un conocido entrenador de Tripos cuando se publicó su libro y seguramente estaba familiarizado con el contenido del examen Tripos de 1878, aunque como sugiere su declaración citada anteriormente, tal vez había olvidado la fuente del teorema en los trece años intermedios.

Los problemas de este tipo tienen una larga historia en las matemáticas recreativas y la pedagogía matemática , y quizás uno de los ejemplos más antiguos sea la determinación de las proporciones de las catorce regiones del tablero del Stomachion . Teniendo en mente el Cambridge de Routh , el triángulo de área de un séptimo , asociado en algunos relatos con Richard Feynman , aparece, por ejemplo, como la Pregunta 100, pág. 80, en Elementos de geometría de Euclides (quinta edición escolar) , de Robert Potts (1805-1885), del Trinity College, publicado en 1859; compárese también sus Preguntas 98, 99, en la misma página. Potts fue el vigésimo sexto Wrangler en 1832 y luego, como Hopkins y Routh, fue entrenador en Cambridge. Los escritos expositivos de Pott en geometría fueron reconocidos con una medalla en la Exposición Internacional de 1862, así como con un Honorable Doctor en Derecho. del Colegio William y Mary , Williamsburg , Virginia .

• Murray S. Klamkin y A. Liu (1981) "Tres pruebas más del teorema de Routh", Crux Mathematicorum 7:199–203.
• HSM Coxeter (1969) Introducción a la geometría , enunciado p. 211, prueba págs. 219-20, 2.ª edición, Wiley, Nueva York.
• JS Kline y D. Velleman (1995) "Otra prueba más del teorema de Routh" (1995) Crux Mathematicorum 21:37–40
• Ivan Niven (1976) "Una nueva prueba del teorema de Routh", Mathematics Magazine 49(1): 25–7, doi :10.2307/2689876
• Jay Warendorff, Teorema de Routh, Proyecto de demostraciones de Wolfram .
• Weisstein, Eric W. "Teorema de Routh". MathWorld .
• Teorema de Routh por productos cruzados en MathPages
• Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) "El teorema de Routh revisitado", Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.