panal cúbico

El panal cúbico o celulación cúbica es la única teselación regular propia que llena el espacio (o panal ) en el espacio euclidiano tridimensional, compuesta por celdas cúbicas . Tiene 4 cubos alrededor de cada arista y 8 cubos alrededor de cada vértice. Su figura de vértice es un octaedro regular . Es una teselación autodual con el símbolo de Schläfli {4,3,4}. John Horton Conway llamó a este panal « cubille» . ^{[ 2 ]}

Un panal geométrico es un relleno espacial de celdas poliédricas o de dimensiones superiores , sin dejar huecos. Es un ejemplo del recubrimiento matemático o teselación más general en cualquier número de dimensiones.

Los panales de abeja se construyen generalmente en el espacio euclidiano ordinario ("plano"), como los panales uniformes convexos . También pueden construirse en espacios no euclidianos , como los panales uniformes hiperbólicos . Cualquier politopo uniforme finito puede proyectarse sobre su esfera circunscrita para formar un panal uniforme en el espacio esférico.

El panal cúbico es una teselación tridimensional que llena el espacio y consta de muchos cubos unidos entre sí por sus caras; el cubo se conoce como celda del panal. El paralelepípedo es un miembro de un paralelepípedo , generado a partir de tres segmentos de línea que no son todos paralelos a un plano común. El cubo es un caso especial de paralelepípedo por tener la forma más simétrica, generado por tres segmentos de línea perpendiculares de longitud unitaria. ^{[ 3 ]} En el espacio tridimensional, el panal cúbico es la única teselación regular propia que llena el espacio. ^{[ 4 ]} Es autodual . ^{[ 5 ]}

Panal cúbico rectificado

Teselado cúbico truncado

El panal cúbico rectificado o celulación cúbica rectificada es una teselación uniforme que llena el espacio (o panal ) en el espacio euclidiano tridimensional. Está compuesto por octaedros y cuboctaedros en una proporción de 1:1, con un vértice prismático cuadrado . John Horton Conway llama a este panal cuboctaedrillo [ ^{2 ] y a} su dual octaedrillo oblado .

El panal cúbico truncado o celulación cúbica truncada es una teselación uniforme que llena el espacio (o panal ) en el espacio euclidiano tridimensional. Está compuesto por cubos y octaedros truncados en una proporción de 1:1, con una figura de vértice de pirámide cuadrada isósceles . John Horton Conway llama a este panal cubilla truncada y a su dual piramidilla .

El panal cúbico bitruncado es una teselación (o panal ) que llena el espacio en el espacio euclidiano tridimensional, formada por octaedros truncados (o, equivalentemente, cubos bitruncados ). Tiene cuatro octaedros truncados alrededor de cada vértice, en una figura de vértice disfenoidal tetragonal . Al estar compuesto enteramente de octaedros truncados , es transitivo en celdas . También es transitivo en aristas , con 2 hexágonos y un cuadrado en cada arista, y transitivo en vértices . Es uno de los 28 panales uniformes . John Horton Conway llama a este panal octaedrillo truncado en su lista de teselaciones arquitectónicas y catóptricas , y su dual se llama tetraedrillo oblado , también llamado panal tetraédrico disfenoidal . Aunque un tetraedro regular no puede teselar el espacio por sí solo, este dual tiene celdas de tetraedro disfenoides idénticas con caras triangulares isósceles .

El panal cúbico bitruncado alternado o panal cúbico bisnub no es uniforme, y la construcción de mayor simetría refleja una alternancia del panal cúbico bitruncado uniforme. Una construcción de menor simetría implica icosaedros regulares emparejados con icosaedros dorados (con 8 triángulos equiláteros emparejados con 12 triángulos dorados). Hay tres construcciones a partir de tres diagramas de Coxeter relacionados : , , y . Estos tienen simetría [4,3 ⁺ ,4], [4,(3 ^1,1 ) ⁺ ] y [3 ^[4] ] ⁺ respectivamente. La primera y la última simetría se pueden duplicar como [[4,3 ⁺ ,4]] y [[3 ^[4] ]] ⁺ . Este panal está representado en los átomos de boro del cristal α -romboédrico . Los centros de los icosaedros se encuentran en las posiciones fcc de la red. ^{[ 6 ]}

El panal cúbico cantelado o celulación cúbica cantelada es una teselación uniforme que llena el espacio (o panal ) en el espacio euclidiano tridimensional. Está compuesto por rombicuboctaedros , cuboctaedros y cubos en una proporción de 1:1:3, con una figura de vértice en forma de cuña . John Horton Conway llama a este panal 2-RCO-trille , y a su dual, octaedrilla oblata de cuarto .

El panal cúbico cantitruncado o celulación cúbica cantitruncada es una teselación uniforme que llena el espacio (o panal ) en el espacio euclidiano tridimensional, compuesta por cuboctaedros truncados , octaedros truncados y cubos en una proporción de 1:1:3, con una figura de vértice esfenoidal reflejada . John Horton Conway llama a este panal n-tCO-trille , y a su dual piramidilla triangular . Su dual del panal cúbico cantitruncado se llama piramidilla triangular , con diagrama de Coxeter . Estas celdas de panal representan los dominios fundamentales de ${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$Simetría. Una celda puede ser como 1/24 de un cubo traslacional con vértices posicionados: dos esquinas, el centro de una cara y el centro del cubo. Los colores y etiquetas de los bordes indican cuántas celdas existen alrededor del borde.

El panal cúbico cantitruncado alternado o panal cúbico rectificado truncado contiene tres tipos de celdas: cubos truncados , icosaedros (con simetría T _h ), tetraedros (como disfenoides tetragonales) y nuevas celdas tetraédricas creadas en los huecos. Aunque no es uniforme, constructivamente se puede dar como diagramas de Coxeter o . A pesar de no ser uniforme, hay una versión casi idéntica con dos longitudes de arista que se muestran a continuación, una de las cuales es aproximadamente un 4,3 % mayor que la otra. Los cubos truncados en este caso son uniformes, pero el resto de las celdas no lo son.

El panal cúbico truncado cantico se construye truncando los octaedros de forma que solo queden rectángulos de los cubos (prismas cuadrados). No es uniforme, pero puede representarse como un diagrama de Coxeter . Tiene rombicuboctaedros (con simetría T _h ), icosaedros (con simetría T _h ) y prismas triangulares (como cuñas con simetría C _2v ) que rellenan los huecos. ^{[ 7 ]}

El panal cúbico runcitruncado o celulación cúbica runcitruncada es una teselación uniforme que llena el espacio (o panal ) en el espacio euclidiano tridimensional. Está compuesto de rombicuboctaedros , cubos truncados , prismas octogonales y cubos en una proporción de 1:1:3:3, con una figura de vértice de pirámide trapezoidal isósceles . Su nombre deriva de su diagrama de Coxeter , con tres nodos anillados que representan 3 espejos activos en la construcción de Wythoff a partir de su relación con el panal cúbico regular . John Horton Conway llama a este panal una 1-RCO-trille , y a su dual, una piramidilla cuadrada de un cuarto . Su dual es una piramidilla cuadrada de un cuarto , con diagrama de Coxeter . Las caras existen en 3 de 4 hiperplanos del [4,3,4].${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$Grupo Coxeter. Las celdas son pirámides irregulares y pueden considerarse como 1/24 de un cubo, utilizando un vértice, un punto medio de una arista, dos centros de las caras y el centro del cubo.

Un panal cúbico omnitruncado alternado o un panal cúbico omnisnub se puede construir mediante la alternancia del panal cúbico omnitruncado, aunque no se puede hacer uniforme, pero se le puede dar un diagrama de Coxeter : y tiene simetría [[4,3,4]] ⁺ . Crea cubos truncados a partir de cuboctaedros truncados , antiprismas cuadrados a partir de prismas octogonales y genera nuevas celdas tetraédricas a partir de los huecos. Su dual es un panal que llena el espacio, construido como el dual del panal cúbico omnitruncado alternado . Las 24 celdas se ajustan alrededor de un vértice, creando una simetría octaédrica quiral que puede apilarse en las tres dimensiones:

La estructura de panal cúbica cantitruncada runcic, o celulación cúbica cantitruncada runcic, se construye eliminando rectángulos largos alternos de los octágonos y no es uniforme, pero puede representarse como un diagrama de Coxeter . Tiene rombicuboctaedros (con simetría T _h ), cubos truncados , dos tipos de cubos : prismas cuadrados y trapezoprismas rectangulares (topológicamente equivalentes a un cubo pero con simetría D _2d ), y prismas triangulares (como cuñas con simetría C _2v ) que rellenan los huecos.

El panal cúbico biorthosnub se construye eliminando rectángulos largos alternos de los octágonos ortogonalmente y no es uniforme, pero puede representarse como un diagrama de Coxeter . Tiene rombicuboctaedros (con simetría T _h ) y dos tipos de cubos : prismas cuadrados y trapezoprismas rectangulares (topológicamente equivalentes a un cubo pero con simetría D _2d ).

El panal prismático cuadrado truncado o celda prismática tomo-cuadrada es una teselación (o panal ) que llena el espacio euclidiano tridimensional . Está compuesto por prismas octogonales y cubos en una proporción de 1:1. Se construye a partir de un teselado cuadrado truncado extruido en prismas. Es uno de los 28 panales uniformes convexos .

El panal prismático cuadrado truncado o celulación prismática simo-cuadrada es una teselación (o panal ) que llena el espacio euclidiano tridimensional . Está compuesto por cubos y prismas triangulares en una proporción de 1:2. Se construye a partir de un teselado cuadrado truncado extruido en prismas. Es uno de los 28 panales uniformes convexos .

Un panal antiprismático cuadrado truncado se puede construir mediante la alternancia del panal prismático cuadrado truncado, aunque no se puede hacer uniforme, pero se le puede dar el diagrama de Coxeter : y tiene simetría [4,4,2,∞] ⁺ . Forma antiprismas cuadrados a partir de prismas octogonales , tetraedros (como disfenoides tetragonales) a partir de cubos , y dos tetraedros a partir de bipirámides triangulares .

• Teselación arquitectónica y catóptrica
• Panal cúbico alternado
• Lista de politopos regulares
• Panal cúbico de orden 5 Un panal cúbico hiperbólico con 5 cubos por arista
• Snub (geometría)
• Vóxel

• Coxeter, HSM Regular Polytopes , (3.ª edición, 1973), Dover, ISBN 0-486-61480-8pág.  296, Tabla II: Panales regulares
• George Olshevsky, Tetracombas Panoploides Uniformes , Manuscrito (2006) (Lista completa de 11 teselaciones uniformes convexas, 28 panales uniformes convexos y 143 tetracombas uniformes convexas)
• Branko Grünbaum , Teselaciones uniformes del espacio tridimensional. Geombinatorics 4(1994), 49–56.
• Williams, Robert (1979). «Capítulo 5: Empaquetamiento de poliedros y llenado del espacio» . Fundamentos geométricos de la estructura natural: Un libro de referencia sobre diseño . Dover Publications, Inc. págs. 164-199 . ISBN  0-486-23729-X.

• Caleidoscopios: Escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivić Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, wiley.com , ISBN 978-0-471-01003-6
  • (Artículo 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10] (1.9 Rellenos espaciales uniformes)
• A. Andreini , Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (Sobre las redes regulares y semirregulares de poliedros y sobre las correspondientes redes correlativas), Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 (1905) 75–129.
• Johnson, Norman Woodason (1966). La teoría de los politopos uniformes y los panales de abeja (tesis doctoral). Universidad de Toronto . OL 14849556M . Recuperado el 20 de mayo de 2022 . En línea
• Klitzing, Richard. "Panales euclidianos 3D x4o3o4o - chon - O1" .
• Panales uniformes en 3 espacios: 01-Chon