Métodos de Runge-Kutta

En análisis numérico , los métodos de Runge-Kutta ( inglés: / ˈ r ʊ ŋ ə ˈ k ʊ t ɑː /^ⓘ RUUNG -ə- KUUT -tah ^{[ 1 ]} ) son una familia demétodos iterativosimplícitos y explícitosque incluyenelmétodo de Euler, utilizado enla discretización temporalpara las soluciones aproximadas deecuaciones no lineales simultáneas. ^{[ 2 ]} Estos métodos fueron desarrollados alrededor de 1900 por los matemáticos alemanesCarl RungeyWilhelm Kutta.

El miembro más conocido de la familia Runge-Kutta se suele denominar "RK4", el "método Runge-Kutta clásico" o simplemente "el método Runge-Kutta".

Sea un problema de valor inicial especificado de la siguiente manera:

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}.}$

Aquí${\displaystyle y}$es una función desconocida (escalar o vectorial) del tiempo${\displaystyle t}$, que nos gustaría aproximar; se nos dice que${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}}$, la tasa a la que${\displaystyle y}$los cambios, es una función de${\displaystyle t}$y de${\displaystyle y}$mismo. En el momento inicial${\displaystyle t_{0}}$el correspondiente${\displaystyle y}$el valor es${\displaystyle y_{0}}$. La función${\displaystyle f}$y las condiciones iniciales${\displaystyle t_{0}}$, ${\displaystyle y_{0}}$se dan.

Ahora elegimos un tamaño de paso h > 0 y definimos:

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{n+1}&=y_{n}+{\frac {h}{6}}\left(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}\right),\\t_{n+1}&=t_{n}+h\\\end{aligned}}}$

para n = 0, 1, 2, 3, ..., usando ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=\ f(t_{n},y_{n}),\\k_{2}&=\ f\!\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+k_{1}{\frac {h}{2}}\right),\\k_{3}&=\ f\!\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+k_{2}{\frac {h}{2}}\right),\\k_{4}&=\ f\!\left(t_{n}+h,y_{n}+hk_{3}\right).\end{aligned}}}$

( Nota: las ecuaciones anteriores tienen definiciones diferentes pero equivalentes en distintos textos. ^{[ 4 ]} )

Aquí${\displaystyle y_{n+1}}$es la aproximación RK4 de${\displaystyle y(t_{n+1})}$y el siguiente valor (${\displaystyle y_{n+1}}$) se determina por el valor presente (${\displaystyle y_{n}}$) más el promedio ponderado de cuatro incrementos, donde cada incremento es el producto del tamaño del intervalo, h , y una pendiente estimada especificada por la función f en el lado derecho de la ecuación diferencial.

• ${\displaystyle k_{1}}$es la pendiente al comienzo del intervalo, usando${\displaystyle y}$( Método de Euler );
• ${\displaystyle k_{2}}$es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando${\displaystyle y}$y${\displaystyle k_{1}}$;
• ${\displaystyle k_{3}}$es de nuevo la pendiente en el punto medio, pero ahora usando${\displaystyle y}$y${\displaystyle k_{2}}$;
• ${\displaystyle k_{4}}$es la pendiente al final del intervalo, usando${\displaystyle y}$y${\displaystyle k_{3}}$.

Al promediar las cuatro pendientes, se da mayor peso a las pendientes en el punto medio. Si${\displaystyle f}$es independiente de${\displaystyle y}$, de modo que la ecuación diferencial sea equivalente a una integral simple, entonces RK4 es la regla de Simpson . ^{[ 5 ]}

El método RK4 es un método de cuarto orden, lo que significa que el error de truncamiento local es del orden de${\displaystyle O(h^{5})}$, mientras que el error total acumulado es del orden de${\displaystyle O(h^{4})}$.

En muchas aplicaciones prácticas la función${\displaystyle f}$es independiente de${\displaystyle t}$(el llamado sistema autónomo o sistema invariante en el tiempo, especialmente en física), y sus incrementos no se calculan en absoluto ni se pasan a la función.${\displaystyle f}$, con solo la fórmula final para${\displaystyle t_{n+1}}$usado.

La familia de métodos explícitos de Runge-Kutta es una generalización del método RK4 mencionado anteriormente. Está dada por

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i},}$

donde ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=f(t_{n},y_{n}),\\k_{2}&=f(t_{n}+c_{2}h,y_{n}+(a_{21}k_{1})h),\\k_{3}&=f(t_{n}+c_{3}h,y_{n}+(a_{31}k_{1}+a_{32}k_{2})h),\\&\ \ \vdots \\k_{s}&=f(t_{n}+c_{s}h,y_{n}+(a_{s1}k_{1}+a_{s2}k_{2}+\cdots +a_{s,s-1}k_{s-1})h).\end{aligned}}}$

( Nota: las ecuaciones anteriores pueden tener definiciones diferentes pero equivalentes en algunos textos. ^{[ 4 ]} )

Para especificar un método particular, es necesario proporcionar el entero s (el número de etapas) y los coeficientes a _ij (para 1 ≤ j < i ≤ s ), b _i (para i = 1, 2, ..., s ) y c _i (para i = 2, 3, ..., s ). La matriz [ a _ij ] se denomina matriz de Runge-Kutta , mientras que b _i y c _i se conocen como pesos y nodos . ^{[ 7 ]} Estos datos suelen organizarse en un dispositivo mnemotécnico, conocido como tabla de Butcher (en honor a John C. Butcher ):

Un desarrollo en serie de Taylor muestra que el método de Runge-Kutta es consistente si y solo si

${\displaystyle \sum _{i=1}^{s}b_{i}=1.}$

También existen requisitos acompañantes si se requiere que el método tenga un cierto orden p , lo que significa que el error de truncamiento local es O( h ^{p +1} ). Estos pueden derivarse de la definición del error de truncamiento en sí. Por ejemplo, un método de dos etapas tiene orden 2 si b ₁ + b ₂ = 1, b ₂ c ₂ = 1/2 y b ₂ a ₂₁ = 1/2. ^{[ 8 ]} Nótese que una condición popular para determinar coeficientes es ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}=c_{i}{\text{ para }}i=2,\ldots ,s.}$

Sin embargo, esta condición por sí sola no es ni suficiente ni necesaria para la coherencia. ^{[ 9 ]}

En general, si hay un explícito${\displaystyle s}$-El método Runge-Kutta de dos etapas tiene orden${\displaystyle p}$, entonces se puede demostrar que el número de etapas debe satisfacer${\displaystyle s\geq p}$y si${\displaystyle p\geq 5}$, entonces${\displaystyle s\geq p+1}$. ^{[ 10 ]} Sin embargo, se desconoce si estos límites son precisos en todos los casos. En algunos casos, se demuestra que el límite no se puede alcanzar. Por ejemplo, Butcher demostró que para${\displaystyle p>6}$, no existe un método explícito con${\displaystyle s=p+1}$etapas. ^{[ 11 ]} Butcher también demostró que para${\displaystyle p>7}$, no existe un método Runge-Kutta explícito con${\displaystyle p+2}$etapas. ^{[ 12 ]} En general, sin embargo, sigue siendo un problema abierto cuál es el número mínimo preciso de etapas.${\displaystyle s}$es para que un método explícito de Runge-Kutta tenga orden${\displaystyle p}$. Algunos valores conocidos son: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccccccc}p&1&2&3&4&5&6&7&8\\\hline \min s&1&2&3&4&6&7&9&11\end{array}}}$

La cota demostrable anterior implica entonces que no podemos encontrar métodos de órdenes${\displaystyle p=1,2,\ldots ,6}$que requieren menos etapas que los métodos que ya conocemos para estos órdenes. El trabajo de Butcher también demuestra que los métodos de séptimo y octavo orden tienen un mínimo de 9 y 11 etapas, respectivamente. ^{[ 11 ] [ 12 ]} Un ejemplo de un método explícito de orden 6 con 7 etapas se puede encontrar en la Ref. ^{[ 14 ]} También se conocen métodos explícitos de orden 7 con 9 etapas ^{[ 11 ]} y métodos explícitos de orden 8 con 11 etapas ^{[ 15 ]} . Véanse las Refs. ^{[ 16 ] [ 17 ]} para un resumen.

Como ejemplo, consideremos el método Runge-Kutta de segundo orden de dos etapas con α = 2/3, también conocido como método de Ralston . Está dado por la tabla

con las ecuaciones correspondientes

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=f(t_{n},\ y_{n}),\\k_{2}&=f(t_{n}+{\tfrac {2}{3}}h,\ y_{n}+{\tfrac {2}{3}}hk_{1}),\\y_{n+1}&=y_{n}+h\left({\tfrac {1}{4}}k_{1}+{\tfrac {3}{4}}k_{2}\right).\end{aligned}}}$

Este método se utiliza para resolver el problema de valor inicial.

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=\tan(y)+1,\quad y_{0}=1,\ t\in [1,1.1]}$

con un tamaño de paso h = 0,025, por lo que el método necesita tomar cuatro pasos.

El método procede de la siguiente manera:

Las soluciones numéricas corresponden a los valores subrayados.

Los métodos explícitos de Runge-Kutta generalmente no son adecuados para la solución de ecuaciones rígidas porque su región de estabilidad absoluta es pequeña; en particular, es acotada. ^{[ 21 ]} Este problema es especialmente importante en la solución de ecuaciones diferenciales parciales .

La inestabilidad de los métodos explícitos de Runge-Kutta motiva el desarrollo de métodos implícitos. Un método implícito de Runge-Kutta tiene la forma

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i},}$

dónde

${\displaystyle k_{i}=f\left(t_{n}+c_{i}h,\ y_{n}+h\sum _{j=1}^{s}a_{ij}k_{j}\right),\quad i=1,\ldots ,s.}$^{[ 22 ]}

La diferencia con un método explícito es que en un método explícito, la suma sobre j solo llega hasta i − 1. ^{[ 23 ]} Esto también aparece en el cuadro de Butcher: la matriz de coeficientes${\displaystyle a_{ij}}$de un método explícito es triangular inferior. En un método implícito, la suma sobre j llega hasta s y la matriz de coeficientes no es estrictamente triangular, lo que produce un tablero de Butcher de la forma ^{[ 18 ].}

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\\end{array}}={\begin{array}{c|c}\mathbf {c} &A\\\hline &\mathbf {b^{T}} \\\end{array}}}$

La consecuencia de esta diferencia es que en cada paso se debe resolver un sistema de ecuaciones algebraicas. Esto aumenta considerablemente el costo computacional. Si se utiliza un método con s etapas para resolver una ecuación diferencial con m componentes, entonces el sistema de ecuaciones algebraicas tiene ms componentes. Esto contrasta con los métodos lineales multipaso implícitos (la otra gran familia de métodos para EDO): un método lineal multipaso implícito de s pasos necesita resolver un sistema de ecuaciones algebraicas con solo m componentes, por lo que el tamaño del sistema no aumenta a medida que aumenta el número de pasos. ^{[ 24 ]}

Los métodos adaptativos están diseñados para producir una estimación del error de truncamiento local de un solo paso de Runge-Kutta. Esto se hace mediante dos métodos, uno con orden${\displaystyle p}$y uno con orden${\displaystyle p-1}$Estos métodos están interrelacionados, es decir, comparten pasos intermedios. Gracias a esto, la estimación del error tiene un coste computacional mínimo o insignificante en comparación con un paso en el método de orden superior.

Durante la integración, el tamaño del paso se ajusta para que el error estimado se mantenga por debajo de un umbral definido por el usuario: si el error es demasiado alto, se repite un paso con un tamaño menor; si el error es mucho menor, se aumenta el tamaño del paso para ahorrar tiempo. Esto da como resultado un tamaño de paso casi óptimo, lo que ahorra tiempo de cálculo. Además, el usuario no tiene que dedicar tiempo a encontrar un tamaño de paso adecuado.

El paso de orden inferior viene dado por

${\displaystyle y_{n+1}^{*}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}^{*}k_{i},}$

dónde${\displaystyle k_{i}}$son los mismos que para el método de orden superior. Entonces el error es

${\displaystyle e_{n+1}=y_{n+1}-y_{n+1}^{*}=h\sum _{i=1}^{s}(b_{i}-b_{i}^{*})k_{i},}$

que es${\displaystyle O(h^{p})}$. El tablero de Butcher para este tipo de método se extiende para dar los valores de${\displaystyle b_{i}^{*}}$:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\&b_{1}^{*}&b_{2}^{*}&\dots &b_{s}^{*}\\\end{array}}}$

El método Runge-Kutta-Fehlberg tiene dos métodos de órdenes 5 y 4. Su tabla de Butcher extendida es:

Sin embargo, el método adaptativo de Runge-Kutta más simple consiste en combinar el método de Heun , que es de orden 2, con el método de Euler , que es de orden 1. Su tabla de Butcher extendida es:

Otros métodos adaptativos de Runge-Kutta son el método de Bogacki-Shampine (órdenes 3 y 2), el método de Cash-Karp y el método de Dormand-Prince (ambos con órdenes 5 y 4).

Se dice que un método Runge-Kutta no es confluente ^{[ 33 ]} si todos los${\displaystyle c_{i},\,i=1,2,\ldots ,s}$son distintos.

Los métodos de Runge-Kutta-Nyström (RKN) son una familia de métodos basados ​​en los mismos principios que los métodos de Runge-Kutta, pero para problemas de valor inicial de segundo orden, ^{[ 34 ] [ 35 ]} por lo tanto, problemas de la forma  :

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=f(t,{\frac {dy}{dt}},y),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad {\frac {dy}{dt}}(t_{0})=y'_{0}.}$

Hay dos derivadas, dos aproximaciones, un método de Runge-Kutta-Nyström, por lo tanto, utiliza dos matrices de Runge-Kutta.${\displaystyle a_{ij},a'_{ij}}$y dos juegos de pesas${\displaystyle b_{i},b'_{i}}$pero aún así solo necesita un conjunto de nodos${\displaystyle c_{i}}$Esto produce una tabla Butcher con el siguiente formato  :

$${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &a'_{11}&a'_{12}&\dots &a'_{1s}\\&a'_{21}&a'_{22}&\dots &a'_{2s}\\&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\&a'_{s1}&a'_{s2}&\dots &a'_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\&b'_{1}&b'_{2}&\dots &b'_{s}\\\end{array}}={\begin{array}{c|c}\mathbf {c} &\mathbf {A} \\\hline &\mathbf {A'} \\\hline &\mathbf {b} ^{\top }\\&\mathbf {b'} ^{\top }\end{array}}}$$

Supongamos que las aproximaciones se han realizado hasta${\displaystyle t_{n}}$, con${\displaystyle y_{n}}$la aproximación de${\displaystyle y(t_{n})}$y${\displaystyle y'_{n}}$la aproximación de${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}(t_{n})}$Las aproximaciones${\displaystyle y_{n+1},y'_{n+1}}$en${\displaystyle t_{n+1}=t_{n}+h}$son las soluciones del siguiente sistema  :

$${\displaystyle {\begin{cases}g_{i}=y_{n}+c_{i}hy'_{n}+h^{2}\sum _{j=1}^{s}a_{ij}f(t_{n}+c_{j}h,g'_{j},g_{j}),&i=1,2,\ldots ,s\\g'_{i}=y'_{n}+h\sum _{j=1}^{s}a'_{ij}f(t_{n}+c_{j}h,g'_{j},g_{j}),&i=1,2,\ldots ,s\\\\y_{n+1}=y_{n}+hy'_{n}+h^{2}\sum _{j=1}^{s}b_{j}f(t_{n}+c_{j}h,g'_{j},g_{j})\\y'_{n+1}=y'_{n}+h\sum _{j=1}^{s}b'_{j}f(t_{n}+c_{j}h,g'_{j},g_{j})\end{cases}}}$$

Dónde${\displaystyle g_{i},g'_{i}}$son las aproximaciones intermedias de${\displaystyle y}$y${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}}$Es estrictamente equivalente trabajar con los valores${\displaystyle k_{j}=f(t_{n}+c_{j}h,g'_{j},g_{j})}$donde el${\displaystyle g_{j},g'_{j}}$han sido reemplazados con su fórmula, en lugar de trabajar con${\displaystyle g_{i},g'_{i}}$, de forma similar a como lo hicimos anteriormente con los métodos de Runge-Kutta, pero el sistema es más fácil de escribir de esta manera.

Se dice que un método de Runge-Kutta-Nyström es explícito si ambos${\displaystyle A,A'}$son estrictamente triangulares inferiores, y en este caso, las sumas${\textstyle \sum _{j=1}^{s}}$en las expresiones de${\displaystyle g_{i},g'_{i}}$, puede ser reemplazado por${\textstyle \sum _{j=1}^{i-1}}$^{[ 36 ]} . Además, se dice que un método de Runge-Kutta-Nyström es de orden${\displaystyle p}$si el error de truncamiento local de ambos${\displaystyle y_{n+1},y'_{n+1}}$es${\displaystyle O(h^{p+1})}$.

Si la función${\displaystyle f}$del problema de valor inicial considerado es independiente de${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}}$No es necesario aproximar los valores intermedios.${\displaystyle g'_{i}}$para calcular las aproximaciones, los pesos${\displaystyle a'_{ij}}$Por lo tanto, son inútiles y en su lugar escribimos un método hecho solo para este caso especial usando una tabla de la forma  :

$${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\&b'_{1}&b'_{2}&\dots &b'_{s}\\\end{array}}={\begin{array}{c|c}\mathbf {c} &\mathbf {A} \\\hline &\mathbf {b} ^{\top }\\&\mathbf {b'} ^{\top }\end{array}}}$$

Este caso especial es particularmente interesante, ya que permite un orden mayor que el que puede alcanzar un método Runge-Kutta-Nyström en general. Por ejemplo, dos métodos RKN explícitos de cuarto orden se dan mediante el siguiente tableau de Butcher:

$${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}c_{i}&&a_{ij}&\\{\frac {3+{\sqrt {3}}}{6}}&0&0&0\\{\frac {3-{\sqrt {3}}}{6}}&{\frac {2-{\sqrt {3}}}{12}}&0&0\\{\frac {3+{\sqrt {3}}}{6}}&0&{\frac {\sqrt {3}}{6}}&0\\\hline b_{i}&{\frac {3-2{\sqrt {3}}}{12}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {3+2{\sqrt {3}}}{12}}\\\hline b'_{i}&{\frac {5-3{\sqrt {3}}}{24}}&{\frac {3+{\sqrt {3}}}{12}}&{\frac {1+{\sqrt {3}}}{24}}\\\end{array}}}$$$${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}c_{i}&&a_{ij}&\\{\frac {3-{\sqrt {3}}}{6}}&0&0&0\\{\frac {3+{\sqrt {3}}}{6}}&{\frac {2+{\sqrt {3}}}{12}}&0&0\\{\frac {3-{\sqrt {3}}}{6}}&0&-{\frac {\sqrt {3}}{6}}&0\\\hline b_{i}&{\frac {3+2{\sqrt {3}}}{12}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {3-2{\sqrt {3}}}{12}}\\\hline b'_{i}&{\frac {5+3{\sqrt {3}}}{24}}&{\frac {3-{\sqrt {3}}}{12}}&{\frac {1-{\sqrt {3}}}{24}}\\\end{array}}}$$

Estos dos esquemas también tienen las propiedades de preservación simpléctica cuando la ecuación original se deriva de un sistema mecánico clásico conservativo, es decir, cuando

$${\displaystyle f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$$

para alguna función escalar${\displaystyle V}$. ^{[ 37 ]}

El concepto de estabilidad A para la solución de ecuaciones diferenciales está relacionado con la ecuación autónoma lineal.${\displaystyle y'=\lambda y}$Dahlquist ( 1963) propuso investigar la estabilidad de los esquemas numéricos cuando se aplican a sistemas no lineales que satisfacen una condición de monotonicidad. Los conceptos correspondientes se definieron como estabilidad G para métodos de pasos múltiples (y los métodos de una sola rama relacionados) y estabilidad B (Butcher, 1975) para métodos de Runge-Kutta. Un método de Runge-Kutta aplicado al sistema no lineal${\displaystyle y'=f(y)}$, que verifica${\displaystyle \langle f(y)-f(z),\ y-z\rangle \leq 0}$, se denomina B-estable , si esta condición implica${\displaystyle \|y_{n+1}-z_{n+1}\|\leq \|y_{n}-z_{n}\|}$para dos soluciones numéricas.

Dejar${\displaystyle B}$,${\displaystyle M}$y${\displaystyle Q}$ser tres${\displaystyle s\times s}$matrices definidas por $${\displaystyle {\begin{aligned}B&=\operatorname {diag} (b_{1},b_{2},\ldots ,b_{s}),\\[4pt]M&=BA+A^{T}B-bb^{T},\\[4pt]Q&=BA^{-1}+A^{-T}B-A^{-T}bb^{T}A^{-1}.\end{aligned}}}$$ Se dice que un método de Runge-Kutta es algebraicamente estable ^{[ 38 ]} si las matrices${\displaystyle B}$y${\displaystyle M}$ambas son definidas no negativas. Una condición suficiente para la estabilidad B ^{[ 39 ]} es:${\displaystyle B}$y${\displaystyle Q}$son definidas no negativas.

En general, un método Runge-Kutta de orden${\displaystyle s}$se puede escribir como:

${\displaystyle y_{t+h}=y_{t}+h\cdot \sum _{i=1}^{s}a_{i}k_{i}+{\mathcal {O}}(h^{s+1}),}$

dónde:

${\displaystyle k_{i}=\sum _{j=1}^{s}\beta _{ij}f(k_{j},\ t_{n}+\alpha _{i}h)}$

son incrementos obtenidos evaluando las derivadas de${\displaystyle y_{t}}$al${\displaystyle i}$-octavo orden.

Desarrollamos la derivación ^{[ 40 ]} para el método de Runge-Kutta de cuarto orden utilizando la fórmula general con${\displaystyle s=4}$evaluado, como se explicó anteriormente, en el punto de inicio, el punto medio y el punto final de cualquier intervalo.${\displaystyle (t,\ t+h)}$; por lo tanto, elegimos:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha _{i}&&\beta _{ij}\\\alpha _{1}&=0&\beta _{21}&={\frac {1}{2}}\\\alpha _{2}&={\frac {1}{2}}&\beta _{32}&={\frac {1}{2}}\\\alpha _{3}&={\frac {1}{2}}&\beta _{43}&=1\\\alpha _{4}&=1&&\\\end{aligned}}}$

y${\displaystyle \beta _{ij}=0}$De lo contrario, comenzamos definiendo las siguientes cantidades:

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{t+h}^{1}&=y_{t}+hf\left(y_{t},\ t\right)\\y_{t+h}^{2}&=y_{t}+hf\left(y_{t+h/2}^{1},\ t+{\frac {h}{2}}\right)\\y_{t+h}^{3}&=y_{t}+hf\left(y_{t+h/2}^{2},\ t+{\frac {h}{2}}\right)\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle y_{t+h/2}^{1}={\dfrac {y_{t}+y_{t+h}^{1}}{2}}}$y${\displaystyle y_{t+h/2}^{2}={\dfrac {y_{t}+y_{t+h}^{2}}{2}}.}$ Si definimos:

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=f(y_{t},\ t)\\k_{2}&=f\left(y_{t+h/2}^{1},\ t+{\frac {h}{2}}\right)=f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}k_{1},\ t+{\frac {h}{2}}\right)\\k_{3}&=f\left(y_{t+h/2}^{2},\ t+{\frac {h}{2}}\right)=f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}k_{2},\ t+{\frac {h}{2}}\right)\\k_{4}&=f\left(y_{t+h}^{3},\ t+h\right)=f\left(y_{t}+hk_{3},\ t+h\right)\end{aligned}}}$

y para las relaciones anteriores podemos demostrar que las siguientes igualdades se cumplen hasta:${\displaystyle {\mathcal {O}}(h^{2})}$:$${\displaystyle {\begin{aligned}k_{2}&=f\left(y_{t+h/2}^{1},\ t+{\frac {h}{2}}\right)=f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}k_{1},\ t+{\frac {h}{2}}\right)\\&=f\left(y_{t},\ t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}f\left(y_{t},\ t\right)\\k_{3}&=f\left(y_{t+h/2}^{2},\ t+{\frac {h}{2}}\right)=f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}k_{1},\ t+{\frac {h}{2}}\right),\ t+{\frac {h}{2}}\right)\\&=f\left(y_{t},\ t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}\left[f\left(y_{t},\ t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}f\left(y_{t},\ t\right)\right]\\k_{4}&=f\left(y_{t+h}^{3},\ t+h\right)=f\left(y_{t}+hf\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}k_{2},\ t+{\frac {h}{2}}\right),\ t+h\right)\\&=f\left(y_{t}+hf\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}f\left(y_{t},\ t\right),\ t+{\frac {h}{2}}\right),\ t+{\frac {h}{2}}\right),\ t+h\right)\\&=f\left(y_{t},\ t\right)+h{\frac {d}{dt}}\left[f\left(y_{t},\ t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}\left[f\left(y_{t},\ t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}f\left(y_{t},\ t\right)\right]\right]\end{aligned}}}$$ dónde:$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(y_{t},\ t)={\frac {\partial }{\partial y}}f(y_{t},\ t){\dot {y}}_{t}+{\frac {\partial }{\partial t}}f(y_{t},\ t)=f_{y}(y_{t},\ t){\dot {y}}_{t}+f_{t}(y_{t},\ t):={\ddot {y}}_{t}}$$ es la derivada total de${\displaystyle f}$con respecto al tiempo.

Si ahora expresamos la fórmula general utilizando lo que acabamos de derivar, obtenemos:$${\displaystyle {\begin{aligned}y_{t+h}={}&y_{t}+h\left\lbrace a\cdot f(y_{t},\ t)+b\cdot \left[f(y_{t},\ t)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}f(y_{t},\ t)\right]\right.+\\&{}+c\cdot \left[f(y_{t},\ t)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}\left[f\left(y_{t},\ t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}f(y_{t},\ t)\right]\right]+\\&{}+d\cdot \left[f(y_{t},\ t)+h{\frac {d}{dt}}\left[f(y_{t},\ t)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}\left[f(y_{t},\ t)+\left.{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}f(y_{t},\ t)\right]\right]\right]\right\rbrace +{\mathcal {O}}(h^{5})\\={}&y_{t}+a\cdot hf_{t}+b\cdot hf_{t}+b\cdot {\frac {h^{2}}{2}}{\frac {df_{t}}{dt}}+c\cdot hf_{t}+c\cdot {\frac {h^{2}}{2}}{\frac {df_{t}}{dt}}+\\&{}+c\cdot {\frac {h^{3}}{4}}{\frac {d^{2}f_{t}}{dt^{2}}}+d\cdot hf_{t}+d\cdot h^{2}{\frac {df_{t}}{dt}}+d\cdot {\frac {h^{3}}{2}}{\frac {d^{2}f_{t}}{dt^{2}}}+d\cdot {\frac {h^{4}}{4}}{\frac {d^{3}f_{t}}{dt^{3}}}+{\mathcal {O}}(h^{5})\end{aligned}}}$$

y comparando esto con la serie de Taylor de${\displaystyle y_{t+h}}$alrededor${\displaystyle t}$:$${\displaystyle {\begin{aligned}y_{t+h}&=y_{t}+h{\dot {y}}_{t}+{\frac {h^{2}}{2}}{\ddot {y}}_{t}+{\frac {h^{3}}{6}}y_{t}^{(3)}+{\frac {h^{4}}{24}}y_{t}^{(4)}+{\mathcal {O}}(h^{5})=\\&=y_{t}+hf(y_{t},\ t)+{\frac {h^{2}}{2}}{\frac {d}{dt}}f(y_{t},\ t)+{\frac {h^{3}}{6}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(y_{t},\ t)+{\frac {h^{4}}{24}}{\frac {d^{3}}{dt^{3}}}f(y_{t},\ t)\end{aligned}}}$$

obtenemos un sistema de restricciones sobre los coeficientes:

${\displaystyle {\begin{cases}&a+b+c+d=1\\[6pt]&{\frac {1}{2}}b+{\frac {1}{2}}c+d={\frac {1}{2}}\\[6pt]&{\frac {1}{4}}c+{\frac {1}{2}}d={\frac {1}{6}}\\[6pt]&{\frac {1}{4}}d={\frac {1}{24}}\end{cases}}}$

que cuando se resuelve da${\displaystyle a={\frac {1}{6}},b={\frac {1}{3}},c={\frac {1}{3}},d={\frac {1}{6}}}$como se indicó anteriormente.

• Método de Euler
• Lista de métodos de Runge-Kutta
• Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias
• Método de Runge-Kutta (SDE)
• métodos lineales generales
• Integrador de grupos de Lie

• Runge, Carl David Tolmé (1895), "Über die numerische Auflösung von Differentialgleichungen" , Mathematische Annalen , 46 (2), Springer : 167– 178, doi : 10.1007/BF01446807 , S2CID 119924854 .
• Kutta, Wilhelm (1901), "Beitrag zur näherungsweisen Integration totaler Differentialgleichungen" , Zeitschrift für Mathematik und Physik , 46 : 435– 453.
• Ascher, Uri M.; Petzold, Linda R. (1998), Métodos informáticos para ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones diferenciales-algebraicas , Filadelfia: Society for Industrial and Applied Mathematics , ISBN 978-0-89871-412-8.
• Atkinson, Kendall A. (1989), Introducción al análisis numérico (2.ª  ed.), Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50023-0.
• Butcher, John C. (mayo de 1963), "Coeficientes para el estudio de los procesos de integración de Runge-Kutta", Journal of the Australian Mathematical Society , 3 (2): 185–201 , doi : 10.1017/S1446788700027932.
• Butcher, John C. (mayo de 1964), "Sobre los procesos de Runge-Kutta de alto orden", Journal of the Australian Mathematical Society , 4 (2): 179–194 , doi : 10.1017/S1446788700023387
• Butcher, John C. (1975), "Una propiedad de estabilidad de los métodos implícitos de Runge-Kutta", BIT , 15 (4): 358–361 , doi : 10.1007/bf01931672 , S2CID 120854166 .
• Butcher, John C. (2000), "Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias en el siglo XX", J. Comput. Appl. Math. , 125 ( 1– 2): 1– 29, Bibcode : 2000JCoAM.125....1B , doi : 10.1016/S0377-0427(00)00455-6.
• Butcher, John C. (2008), Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias , Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-470-72335-7.
• Cellier, F.; Kofman, E. (2006), Simulación continua de sistemas , Springer Verlag , ISBN 0-387-26102-8.
• Dahlquist, Germund (1963), "Un problema de estabilidad especial para métodos lineales multipaso", BIT , 3 : 27–43 , doi : 10.1007/BF01963532 , hdl : 10338.dmlcz/103497 , ISSN 0006-3835 , S2CID 120241743  .
• Forsythe, George E.; Malcolm, Michael A.; Moler, Cleve B. (1977), Métodos informáticos para cálculos matemáticos , Prentice-Hall(véase el capítulo 6).
• Hairer, Ernst; Norsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias I: problemas no rígidos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56670-0.
• Hairer, Ernst; Wanner, Gerhard (1996), Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias II: Problemas rígidos y diferenciales-algebraicos (2.ª  ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-60452-5.
• Iserles, Arieh (1996), Un primer curso de análisis numérico de ecuaciones diferenciales , Cambridge University Press , Bibcode : 1996fcna.book.....I , ISBN 978-0-521-55655-2.
• Lambert, JD (1991), Métodos numéricos para sistemas diferenciales ordinarios. El problema del valor inicial , John Wiley & Sons , ISBN 0-471-92990-5
• Kaw, Autar; Kalu, Egwu (2008), Métodos numéricos con aplicaciones (1.ª  ed.), autarkaw.com.
• Press, William H.; Teukolsky, Saul A .; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (2007), "Sección 17.1 Método Runge-Kutta" , Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3.ª  ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-88068-8. Asimismo, la Sección 17.2. Control adaptativo del tamaño de paso para Runge-Kutta .
• Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002), Introducción al análisis numérico (3.ª  ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95452-3.
• Süli, Endre; Mayers, David (2003), Introducción al análisis numérico , Cambridge University Press , ISBN 0-521-00794-1.
• Tan, Delin; Chen, Zheng (2012), "Sobre una fórmula general del método Runge-Kutta de cuarto orden" ( PDF) , Journal of Mathematical Science & Mathematics Education , 7 (2): 1–10.
• Libro de referencia de matemáticas discretas avanzadas de IGNOU (código: mcs033)
• John C. Butcher: "B-Series  : Análisis algebraico de métodos numéricos", Springer (SSCM, volumen 55), ISBN 978-3030709556(Abril de 2021).
• Butcher, JC (1985), "La no existencia de métodos explícitos de Runge-Kutta de octavo orden de diez etapas" , BIT Numerical Mathematics , 25 (3): 521– 540, doi : 10.1007/BF01935372.
• Butcher, JC (1965), "Sobre el orden alcanzable de los métodos de Runge-Kutta" , Mathematics of Computation , 19 (91): 408–417 , doi : 10.1090/S0025-5718-1965-0179943-X.
• Curtis, AR (1970), "Un proceso de Runge-Kutta de octavo orden con once evaluaciones de función por paso" , Numerische Mathematik , 16 (3): 268–277 , doi : 10.1007/BF02219778.
• Cooper, GJ; Verner, JH (1972), "Algunos métodos explícitos de Runge-Kutta de alto orden" , SIAM Journal on Numerical Analysis , 9 (3): 389–405 , Bibcode : 1972SJNA....9..389C , doi : 10.1137/0709037.
• Butcher, JC (1996), "Una historia de los métodos de Runge-Kutta" , Matemáticas Numéricas Aplicadas , 20 (3): 247– 260, doi : 10.1016/0168-9274(95)00108-5.