SL 2 ( R )

En matemáticas , el grupo lineal especial SL(2, R) o SL ₂ (R) es el grupo de matrices reales de 2 × 2 con determinante uno:

${\displaystyle {\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\colon a,b,c,d\in \mathbf {R} {\mbox{ y }}ad-bc=1\right\}.}$

Es un grupo de Lie real simple , no compacto y conexo de dimensión 3 con aplicaciones en geometría , topología , teoría de la representación y física .

SL(2, R ) actúa sobre el semiplano superior complejo mediante transformaciones lineales fraccionarias . La acción de grupo se factoriza a través del cociente PSL(2, R) (el grupo lineal especial proyectivo de 2 × 2 sobre R ). Más específicamente,

PSL(2, R ) = SL(2, R ) / {± I },  

donde I denota la matriz identidad de 2 × 2. Contiene el grupo modular PSL(2, Z ).

También estrechamente relacionado está el grupo de recubrimiento doble , Mp(2, R ), un grupo metapléctico (pensando en SL(2, R ) como un grupo simpléctico ).

Otro grupo relacionado es SL ^± (2, R ), el grupo de matrices reales de 2 × 2 con determinante ±1; sin embargo, este se usa más comúnmente en el contexto del grupo modular .

SL(2, R ) es el grupo de todas las transformaciones lineales de R ² que preservan el área orientada . Es isomorfo al grupo simpléctico Sp(2, R ) y al grupo unitario especial SU(1, 1) . También es isomorfo al grupo de cocuaterniones de longitud unitaria . El grupo SL ^± (2, R ) preserva el área no orientada: puede invertir la orientación.

El cociente PSL(2, R ) tiene varias descripciones interesantes, salvo isomorfismo de grupos de Lie:

• Es el grupo de transformaciones proyectivas que preservan la orientación de la recta proyectiva real R ∪ {∞}.
• Es el grupo de automorfismos conformes del disco unitario .
• Es el grupo de isometrías del plano hiperbólico que preservan la orientación .
• Es el grupo de Lorentz restringido del espacio de Minkowski tridimensional . Equivalentemente, es isomorfo al grupo ortogonal indefinido SO ⁺ (1,2). De ello se deduce que SL(2, R ) es isomorfo al grupo de espín Spin(2,1) ⁺ .

Los elementos del grupo modular PSL(2, Z ) tienen interpretaciones adicionales, al igual que los elementos del grupo SL(2, Z ) (como transformaciones lineales del toro), y estas interpretaciones también pueden verse a la luz de la teoría general de SL(2, R ).

Los autovalores de un elemento A ∈ SL(2, R ) satisfacen el polinomio característico

${\displaystyle \lambda ^{2}\,-\,\mathrm {tr} (A)\,\lambda \,+\,1\,=\,0}$

y por lo tanto

${\displaystyle \lambda ={\frac {\mathrm {tr} (A)\pm {\sqrt {\mathrm {tr} (A)^{2}-4}}}{2}}.}$

Esto conduce a la siguiente clasificación de elementos, con su correspondiente acción en el plano euclidiano:

• Si${\displaystyle |\mathrm {tr} (A)|<2}$, entonces A se llama elíptica y es conjugada a una rotación .
• Si${\displaystyle |\mathrm {tr} (A)|=2}$, entonces A se llama parabólica, y es un mapeo de corte .
• Si${\displaystyle |\mathrm {tr} (A)|>2}$, entonces A se llama hiperbólico, y es un mapeo de compresión .

Los nombres corresponden a la clasificación de las secciones cónicas por excentricidad : si se define la excentricidad como la mitad del valor absoluto de la traza (ε = 1 / 2 | tr|; dividir por 2 corrige el efecto de la dimensión, mientras que el valor absoluto corresponde a ignorar un factor global de ±1 como cuando se trabaja en PSL(2, R )), entonces se obtiene:${\displaystyle \epsilon <1}$, elíptico;${\displaystyle \epsilon =1}$, parabólico;${\displaystyle \epsilon >1}$, hiperbólico.

El elemento identidad 1 y el elemento identidad negativo −1 (en PSL(2, R ) son el mismo), tienen traza ±2 y, por lo tanto, según esta clasificación, son elementos parabólicos, aunque a menudo se consideran por separado.

Se utiliza la misma clasificación para SL(2, C ) y PSL(2, C ) ( transformaciones de Möbius ) y PSL(2, R ) (transformaciones de Möbius reales), con la adición de transformaciones "loxodrómicas" que corresponden a trazas complejas; se utilizan clasificaciones análogas en otros lugares.

Un subgrupo que está contenido con los elementos elípticos (respectivamente, parabólicos, hiperbólicos), más la identidad y la identidad negativa, se llama subgrupo elíptico (respectivamente, subgrupo parabólico , subgrupo hiperbólico ).

La tricotomía de SL(2, R ) en elementos elípticos, parabólicos e hiperbólicos es una clasificación en subconjuntos, no en subgrupos: estos conjuntos no son cerrados bajo la multiplicación (el producto de dos elementos parabólicos no tiene por qué ser parabólico, etc.). Sin embargo, cada elemento es conjugado a un miembro de uno de los 3 subgrupos estándar de un parámetro (posiblemente multiplicado por ±1), como se detalla a continuación.

Topológicamente, dado que la traza es una aplicación continua, los elementos elípticos (excluyendo ±1) forman un conjunto abierto , al igual que los elementos hiperbólicos (excluyendo ±1). Por el contrario, los elementos parabólicos, junto con ±1, forman un conjunto cerrado que no es abierto.

La descomposición de Iwasawa de un grupo es un método para construir el grupo como producto de tres subgrupos de Lie K , A , N. Para${\displaystyle {\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}$estos tres subgrupos son

${\displaystyle \mathbf {K} =\left\{{\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\ |\ \theta \in \mathbf {R} \right\}\cong SO(2),}$

${\displaystyle \mathbf {A} =\left\{{\begin{pmatrix}r&0\\0&r^{-1}\end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\ |\ r>0\right\},}$

${\displaystyle \mathbf {N} =\left\{{\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\ |\ x\in \mathbf {R} \right\}.}$

Estos tres elementos son los generadores de los subconjuntos elíptico, hiperbólico y parabólico, respectivamente.

Como espacio topológico , PSL(2, R ) puede describirse como el fibrado tangente unitario del plano hiperbólico. Es un fibrado circular y posee una estructura de contacto natural inducida por la estructura simpléctica en el plano hiperbólico. SL(2, R ) es un recubrimiento doble de PSL(2, R ) y puede considerarse como el fibrado de espinores en el plano hiperbólico.

El grupo fundamental de SL(2, R ) es el grupo cíclico infinito Z . El grupo de recubrimiento universal , denotado${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$, es un ejemplo de un grupo de Lie de dimensión finita que no es un grupo matricial . Es decir,${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$no admite ninguna representación fiel de dimensión finita .

Como espacio topológico,${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$es un fibrado de líneas sobre el plano hiperbólico. Cuando se le dota de una métrica invariante por la izquierda , la 3-variedad${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$se convierte en una de las ocho geometrías de Thurston . Por ejemplo,${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$es la cubierta universal del fibrado tangente unitario a cualquier superficie hiperbólica . Cualquier variedad modelada en${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$es orientable y es un fibrado circular sobre algún orbifold hiperbólico bidimensional (un espacio fibrado de Seifert ).

Bajo este recubrimiento, la preimagen del grupo modular PSL(2, Z ) es el grupo de trenzas con 3 generadores, B₃ , que es la extensión central universal del grupo modular. Estos son retículos dentro de los grupos algebraicos relevantes, y esto se corresponde algebraicamente con el grupo _de recubrimiento universal en topología.

El grupo de recubrimiento doble puede identificarse como Mp(2, R ), un grupo metapléctico , pensando en SL(2, R ) como el grupo simpléctico Sp(2, R ).

Los grupos mencionados anteriormente forman juntos una secuencia:

${\displaystyle {\overline {\mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )}}\to \cdots \to \mathrm {Mp} (2,\mathbf {R} )\to \mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )\to \mathrm {PSL} (2,\mathbf {R} ).}$

Sin embargo, existen otros grupos de recubrimiento de PSL(2, R ) correspondientes a todos los n , como n Z < Z ≅ π ₁ (PSL(2, R )), que forman una red de grupos de recubrimiento por divisibilidad; estos cubren SL(2, R ) si y solo si n es par.

El centro de SL(2, R ) es el grupo de dos elementos {±1}, y el cociente PSL(2, R ) es simple .

Los subgrupos discretos de PSL(2, R ) se denominan grupos fuchsianos . Estos son el análogo hiperbólico de los grupos euclidianos de papel tapiz y de friso . El más famoso de ellos es el grupo modular PSL(2, Z ), que actúa sobre una teselación del plano hiperbólico mediante triángulos ideales.

El grupo circular SO(2) es un subgrupo compacto maximal de SL(2, R ), y el círculo SO(2) / {±1} es un subgrupo compacto maximal de PSL(2, R ).

El multiplicador de Schur del grupo discreto PSL(2, R ) es mucho mayor que Z , y la extensión central universal es mucho mayor que el grupo de recubrimiento universal. Sin embargo, estas grandes extensiones centrales no tienen en cuenta la topología y resultan algo problemáticas.

SL(2, R ) es un grupo de Lie simple , real y no compacto , y es la forma real escindida del grupo de Lie complejo SL(2, C ). El álgebra de Lie de SL(2, R ), denotada sl(2, R ), es el álgebra de todas las matrices reales de 2 × 2 sin traza . Es el álgebra de Bianchi de tipo VIII.

La teoría de representación de dimensión finita de SL(2, R ) es equivalente a la teoría de representación de SU(2) , que es la forma real compacta de SL(2, C ). En particular, SL(2, R ) no tiene representaciones unitarias de dimensión finita no triviales. Esta es una característica de todo grupo de Lie simple no compacto conexo. Para un resumen de la demostración, véase la no unitariedad de las representaciones .

La teoría de representación de dimensión infinita de SL(2, R ) es bastante interesante. El grupo posee varias familias de representaciones unitarias, que fueron desarrolladas en detalle por Gelfand y Naimark (1946), V. Bargmann (1947) y Harish-Chandra (1952).

• Bargmann, Valentine (1947). "Representaciones unitarias irreducibles del grupo de Lorentz". Annals of Mathematics . 48 (3): 568– 640. doi : 10.2307/1969129 . JSTOR 1969129. MR 0021942 .  
• Gelfand, Israel Moiseevich; Neumark, Mark Aronovich (1946). "Representaciones unitarias del grupo de Lorentz". Acad. Sci. USSR. J. Phys . 10 : 93–94 . MR 0017282 . 
• Harish-Chandra (1952). "Fórmula de Plancherel para el grupo unimodular real 2×2" . Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 38 (4): 337– 342. Bibcode : 1952PNAS...38..337H . doi : 10.1073 / pnas.38.4.337 . MR 0047055. PMC 1063558. PMID 16589101 .   
• Lang, Serge (1985).${\displaystyle \mathrm {SL} _ {2}(\mathbf {R} )}$Textos de posgrado en matemáticas. Vol.  105. Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-5142-2 . ISBN 0-387-96198-4MR 0803508 .​ 
• Thurston, William (1997). Silvio Levy (ed.). Geometría y topología tridimensionales. Vol. 1. Princeton Mathematical Series. Vol.  35. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-08304-5MR 1435975 .​