Grupo ortogonal indefinido

En matemáticas , el grupo ortogonal indefinido ,${\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}$es el grupo de Lie de todas las transformaciones lineales de un${\displaystyle n}$- espacio vectorial real dimensional que deja invariante una forma bilineal simétrica y no degenerada de signatura${\displaystyle (p,q)}$, dónde${\displaystyle n=p+q}$También se le llama grupo pseudoortogonal ^{[ 1 ]} o grupo ortogonal generalizado . ^{[ 2 ]} La dimensión del grupo es${\displaystyle n(n-1)/2}$.

El grupo ortogonal especial indefinido ,${\displaystyle \operatorname {SO} (p,q)}$es el subgrupo de${\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}$compuesto por todos los elementos con determinante${\displaystyle 1}$. A diferencia del caso definido,${\displaystyle \operatorname {SO} (p,q)}$no está conectado – tiene 2 componentes – y hay dos subgrupos de índice finito adicionales , a saber, el conectado${\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(p,q)}$y${\displaystyle \operatorname {O} ^{+}(p,q)}$, que tiene 2 componentes – ver §  Topología para definición y análisis.

La signatura de la forma determina el grupo salvo isomorfismo ; intercambiando${\displaystyle p}$con${\displaystyle q}$equivale a reemplazar la métrica por su negativo, y por lo tanto da el mismo grupo. Si alguno de los dos${\displaystyle p}$o${\displaystyle q}$Si es igual a cero, entonces el grupo es isomorfo al grupo ortogonal ordinario.${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$. Suponemos en lo que sigue que ambos${\displaystyle p}$y${\displaystyle q}$son positivos.

El grupo${\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}$está definido para espacios vectoriales sobre los números reales. En espacios complejos , todas las formas bilineales simétricas no degeneradas son iguales salvo cambio de coordenadas; sin embargo, se puede definir el grupo unitario indefinido.${\displaystyle \operatorname {U} (p,q)}$que conserva una forma sesquilineal de firma${\displaystyle (p,q)}$.

En dimensión par${\displaystyle n=2p}$,${\displaystyle \operatorname {O} (p,p)}$se conoce como el grupo ortogonal dividido .

El ejemplo básico son las asignaciones de compresión , que es el grupo${\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(1,1)}$de (el componente identidad de) transformaciones lineales que preservan la hipérbola unitaria . Concretamente, estas son las matrices${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\cosh(\alpha )&\sinh(\alpha )\\\sinh(\alpha )&\cosh(\alpha )\end{smallmatrix}}\right],}$y pueden interpretarse como rotaciones hiperbólicas, al igual que el grupo${\displaystyle \operatorname {SO} (2)}$pueden interpretarse como rotaciones circulares.

En física , el grupo de Lorentz${\displaystyle \operatorname {O} (1,3)}$es de vital importancia, ya que constituye el escenario del electromagnetismo y la relatividad especial . (Algunos textos utilizan${\displaystyle \operatorname {O} (3,1)}$para el grupo Lorentz; sin embargo,${\displaystyle \operatorname {O} (1,3)}$es frecuente en la teoría cuántica de campos porque las propiedades geométricas de la ecuación de Dirac son más naturales en${\displaystyle \operatorname {O} (1,3)}$.)

Se puede definir${\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}$como un grupo de matrices, al igual que para el grupo ortogonal clásico${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$. Considere el${\displaystyle (p+q)\times (p+q)}$matriz diagonal${\displaystyle g}$dado por $${\displaystyle g=\mathrm {diag} (\underbrace {1,\ldots ,1} _{p},\underbrace {-1,\ldots ,-1} _{q}).}$$ Entonces podemos definir una forma bilineal simétrica.${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{p,q}}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+q}}$por la fórmula $${\displaystyle [x,y]_{p,q}=\langle x,gy\rangle =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{p}y_{p}-x_{p+1}y_{p+1}-\cdots -x_{p+q}y_{p+q},}$$ dónde${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$es el producto interno estándar en${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+q}}$.

Luego definimos${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}$ser el grupo de${\displaystyle (p+q)\times (p+q)}$matrices que preservan esta forma bilineal: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)=\{A\in M_{p+q}(\mathbb {R} ):[Ax,Ay]_{p,q}=[x,y]_{p,q}\,\forall x,y\in \mathbb {R} ^{p+q}\}.}$$

Más explícitamente,${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}$consta de matrices${\displaystyle A}$de tal manera que ^{[ 4 ]}$${\displaystyle gA^{T}g=A^{-1},}$$ dónde${\displaystyle A^{T}}$es la transpuesta de${\displaystyle A}$.

Se obtiene un grupo isomorfo (de hecho, un subgrupo conjugado de${\displaystyle \operatorname {GL} (p+q)}$) reemplazando${\displaystyle g}$con cualquier matriz simétrica con${\displaystyle p}$valores propios positivos y${\displaystyle q}$los negativos. Diagonalizar esta matriz da como resultado una conjugación de este grupo con el grupo estándar.${\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}$.

Suponiendo ambos${\displaystyle p}$y${\displaystyle q}$son positivos, ninguno de los grupos${\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}$ni${\displaystyle \operatorname {SO} (p,q)}$están conectados , teniendo${\displaystyle 4}$y${\displaystyle 2}$componentes respectivamente. ${\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {O} (p,q))\cong C_{2}\times C_{2}}$es el grupo de cuatro de Klein , donde cada factor es si un elemento conserva o invierte las orientaciones respectivas en el${\displaystyle p}$y${\displaystyle q}$subespacios dimensionales en los que la forma es definida; tenga en cuenta que invertir la orientación en solo uno de estos subespacios invierte la orientación en todo el espacio. El grupo ortogonal especial tiene componentes${\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {SO} (p,q))=\{(1,1),(-1,-1)\}}$, cada una de las cuales conserva ambas orientaciones o invierte ambas orientaciones, conservando en ambos casos la orientación general.

El componente de identidad de${\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}$a menudo se denota${\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(p,q)}$y puede identificarse con el conjunto de elementos en${\displaystyle \operatorname {SO} (p,q)}$que conservan ambas orientaciones. Esta notación está relacionada con la notación${\displaystyle \operatorname {O} ^{+}(1,3)}$para el grupo de Lorentz ortócrono , donde el${\displaystyle +}$se refiere a preservar la orientación en la primera dimensión (temporal).

El grupo${\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}$tampoco es compacto , pero contiene los subgrupos compactos.${\displaystyle \operatorname {O} (p)}$y${\displaystyle \operatorname {O} (q)}$actuando sobre los subespacios en los que la forma es definida. De hecho,${\displaystyle \operatorname {O} (p)\times \operatorname {O} (q)}$es un subgrupo compacto maximal de${\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}$, mientras${\displaystyle \operatorname {S} (\operatorname {O} (p)\times \operatorname {O} (q))}$es un subgrupo compacto maximal de${\displaystyle \operatorname {SO} (p,q)}$. Asimismo,${\displaystyle \operatorname {SO} (p)\times \operatorname {SO} (q)}$es un subgrupo compacto maximal de${\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(p,q)}$Por lo tanto, los espacios son homotópicamente equivalentes a productos de grupos ortogonales (especiales), a partir de los cuales se pueden calcular invariantes algebraico-topológicos. (Véase Subgrupo compacto maximal ).

En particular, el grupo fundamental de${\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(p,q)}$es el producto de los grupos fundamentales de los componentes,${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {SO} ^{+}(p,q))=\pi _{1}(\operatorname {SO} (p))\times \pi _{1}(\operatorname {SO} (q))}$y viene dada por:

En dimensiones pares, el grupo medio${\displaystyle \operatorname {O} (n,n)}$es conocido como el grupo ortogonal dividido , y es de particular interés, ya que aparece como el grupo de transformaciones de dualidad T en la teoría de cuerdas , por ejemplo. Es el grupo de Lie dividido correspondiente al álgebra de Lie compleja.${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}}$(el grupo de Lie de la forma real escindida del álgebra de Lie); más precisamente, el componente identidad es el grupo de Lie escindido, ya que los componentes distintos de la identidad no pueden reconstruirse a partir del álgebra de Lie. En este sentido, es opuesto al grupo ortogonal definido.${\displaystyle \operatorname {O} (n):=\operatorname {O} (n,0)=\operatorname {O} (0,n)}$, que es la forma real compacta del álgebra de Lie compleja .

El grupo${\displaystyle \operatorname {SO} (1,1)}$puede identificarse con el grupo de hipérbolas unitarias , un subgrupo del grupo de unidades en números complejos divididos .

En términos de ser un grupo de tipo Lie , es decir, la construcción de un grupo algebraico a partir de un álgebra de Lie, los grupos ortogonales escindidos son grupos de Chevalley , mientras que los grupos ortogonales no escindidos requieren una construcción un poco más complicada y son grupos de Steinberg .

Los grupos ortogonales divididos se utilizan para construir la variedad de banderas generalizada sobre cuerpos no algebraicamente cerrados .

• Grupo ortogonal
• Grupo Lorentz
• Grupo Poincaré
• Forma bilineal simétrica