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Articulo de referencia

Efecto Sagnac

Figura 1. Representación esquemática de un interferómetro de Sagnac. El efecto Sagnac , también llamado interferencia de Sagnac , en honor al físico francés Georges Sagnac , es ...

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Figura 1. Representación esquemática de un interferómetro de Sagnac.

El efecto Sagnac , también llamado interferencia de Sagnac , en honor al físico francés Georges Sagnac , es un fenómeno que se presenta en la interferometría y que se produce por la rotación . El efecto Sagnac se manifiesta en un dispositivo llamado interferómetro de anillo o interferómetro de Sagnac . Un haz de luz se divide y se hace que los dos haces sigan la misma trayectoria, pero en direcciones opuestas. Al regresar al punto de entrada, se permite que los dos haces de luz salgan del anillo y experimenten interferencia . Las fases relativas de los dos haces salientes, y por lo tanto la posición de las franjas de interferencia, se desplazan según la velocidad angular del aparato. En otras palabras, cuando el interferómetro está en reposo con respecto a un sistema de referencia no giratorio , la luz tarda el mismo tiempo en recorrer el anillo en ambas direcciones. Sin embargo, cuando el sistema del interferómetro gira, un haz de luz tiene que recorrer una trayectoria más larga que el otro para completar una vuelta al sistema de referencia mecánico, por lo que tarda más tiempo, lo que resulta en una diferencia de fase entre los dos haces. Georges Sagnac diseñó este experimento en 1913 en un intento de demostrar la existencia del éter que la teoría de la relatividad especial de Einstein hace superflua. [ 1 ] [ 2 ]

Un giroscopio mecánico montado sobre cardán permanece apuntando en la misma dirección después de girar, por lo que puede utilizarse como referencia rotacional para un sistema de navegación inercial . Con el desarrollo de los denominados giroscopios láser y giroscopios de fibra óptica basados ​​en el efecto Sagnac, los voluminosos giroscopios mecánicos pueden sustituirse por otros sin partes móviles en muchos sistemas de navegación inercial modernos. Un giroscopio convencional se basa en el principio de conservación del momento angular, mientras que la sensibilidad del interferómetro de anillo a la rotación surge de la invariancia de la velocidad de la luz para todos los sistemas de referencia inerciales .

Descripción y funcionamiento

Figura 2. Un interferómetro de Sagnac de onda guiada , o giroscopio de fibra óptica , se puede realizar utilizando una fibra óptica en uno o varios bucles.

Typically three or more mirrors are used, so that counter-propagating light beams follow a closed path such as a triangle or square (Fig. 1). Alternatively fiber optics can be employed to guide the light through a closed path (Fig. 2). If the platform on which the ring interferometer is mounted is rotating, the interference fringes are displaced compared to their position when the platform is not rotating. The amount of displacement is proportional to the angular velocity of the rotating platform. The axis of rotation does not have to be inside the enclosed area. The phase shift of the interference fringes is proportional to the platform's angular frequencyω{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} and is given by a formula originally derived by Sagnac:Δϕ≈8πλcω⋅A{\displaystyle \Delta \phi \approx {\frac {8\pi }{\lambda c}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {A} }where A{\displaystyle \mathbf {A} } is the oriented area of the loop and λ{\displaystyle \lambda } the wavelength of light.

The effect is a consequence of the different times it takes right and left moving light beams to complete a full round trip in the interferometer ring. The difference in travel times, when multiplied by the optical frequency c/λ,{\displaystyle c/\lambda ,} determines the phase difference Δϕ.{\displaystyle \Delta \phi .}

The rotation thus measured is an absolute rotation, that is, the platform's rotation with respect to an inertial reference frame.

History

The Michelson–Morley experiment of 1887 had suggested that the hypothetical luminiferous aether, if it existed, was completely dragged by the Earth. To test this hypothesis, Oliver Lodge in 1897 proposed that a giant ring interferometer be constructed to measure the rotation of the Earth; a similar suggestion was made by Albert Abraham Michelson in 1904. They hoped that with such an interferometer, it would be possible to decide between a stationary aether, versus aethers which are partially or completely dragged by the Earth. That is, if the hypothetical aether were carried along by the Earth (or by the interferometer) the result would be negative, while a stationary aether would give a positive result.[3][4][5]

The first description of the Sagnac effect in the framework of special relativity was done by Max von Laue in 1911,[6][7] two years before Sagnac conducted his experiment. By continuing the theoretical work of Michelson (1904), von Laue confined himself to an inertial frame of reference (which he called a "valid" reference frame), and in a footnote he wrote "a system which rotates in respect to a valid system K0{\displaystyle K^{0}} is not valid".[6] Assuming constant light speed c{\displaystyle c}y estableciendo la velocidad de rotación comoω{\displaystyle \omega }, calculó el tiempo de propagaciónτ+{\displaystyle \tau _{+}}de un rayo yτ−{\displaystyle \tau _{-}}del rayo que se propaga en sentido contrario, y en consecuencia se obtuvo la diferencia de tiempo.Δτ=τ+−τ−{\displaystyle \Delta \tau =\tau _{+}-\tau _{-}}. Concluyó que este experimento de interferometría produciría efectivamente (cuando se restringe a términos de primer orden env/do{\displaystyle v/c}) el mismo resultado positivo tanto para la relatividad especial como para el éter estacionario (a este último lo llamó "teoría absoluta" en referencia a la teoría de Lorentz de 1895 ). También concluyó que solo los modelos de arrastre de éter completo (como los de Stokes o Hertz ) darían un resultado negativo. [ 6 ]

El primer experimento de interferometría destinado a observar la correlación entre la velocidad angular y el desfase fue realizado por el científico francés Georges Sagnac en 1913. Su propósito era detectar "el efecto del movimiento relativo del éter". [ 1 ] [ 2 ] Sagnac creía que sus resultados constituían una prueba de la existencia de un éter estacionario. Sin embargo, como se explicó anteriormente, von Laue ya había demostrado en 1911 que este efecto es consistente con la relatividad especial. [ 6 ] [ 7 ] A diferencia del experimento de Michelson-Morley, cuidadosamente preparado para probar un viento etéreo causado por el arrastre terrestre, el experimento de Sagnac no pudo probar este tipo de viento etéreo porque un éter universal afectaría por igual a todas las partes de la luz en rotación.

Einstein conocía el fenómeno del efecto Sagnac gracias a los experimentos previos de Franz Harress [ 8 ] en 1911. [ 9 ] El experimento de Harress tenía como objetivo medir el arrastre de Fresnel de la luz que se propaga a través de un vidrio en movimiento. Sin conocer el efecto Sagnac, Harress se percató de la presencia de un "sesgo inesperado" en sus mediciones, pero no pudo explicar su causa. [ 10 ] El análisis de Harress de los resultados contenía un error, y fueron reanalizados en 1914 por Paul Harzer , quien afirmó que los resultados estaban en desacuerdo con la relatividad especial. [ 11 ] [ 12 ] Esto fue refutado por Einstein. [ 13 ] [ 14 ] El propio Harress murió durante la Primera Guerra Mundial , y sus resultados no estuvieron disponibles públicamente hasta que von Laue persuadió a Otto Knopf, [ 15 ] cuyo asistente había sido Harress, para que los publicara en 1920. [ 16 ] [ 17 ]

Los resultados de Harress se publicaron junto con un análisis de von Laue, quien demostró el papel del efecto Sagnac en el experimento. [ 10 ] Laue afirmó que en el experimento de Harress existía una diferencia de tiempo calculable debido tanto al arrastre de la luz (que se deriva de la suma de velocidades relativistas en medios en movimiento , es decir, en vidrio en movimiento) como al hecho de que cada parte del aparato giratorio se aleja de un rayo mientras se acerca al otro, es decir, el efecto Sagnac. Reconoció que este último efecto por sí solo podía causar la variación temporal y, por lo tanto, las aceleraciones asociadas a la rotación no influyen en absoluto en la velocidad de la luz. [ 10 ]

Si bien la explicación de Laue se basa en sistemas de referencia inerciales, Paul Langevin (1921, 1937) y otros describieron el mismo efecto cuando se observa desde sistemas de referencia giratorios (tanto en la relatividad especial como en la general, véase coordenadas de Born ). Así, cuando se desea describir el efecto Sagnac desde el punto de vista de un sistema de referencia corrotante, se pueden utilizar coordenadas cilíndricas giratorias ordinarias y aplicarlas a la métrica de Minkowski , lo que da como resultado la denominada métrica de Born o métrica de Langevin. [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] A partir de estas coordenadas, se pueden derivar los diferentes tiempos de llegada de los rayos que se propagan en direcciones opuestas, un efecto que fue demostrado por Paul Langevin (1921). [ 21 ] O cuando estas coordenadas se utilizan para calcular la velocidad global de la luz en sistemas de referencia giratorios, se derivan diferentes velocidades aparentes de la luz dependiendo de la orientación, un efecto que fue demostrado por Langevin en otro artículo (1937). [ 22 ]

Esto no contradice la relatividad especial ni la explicación anterior de von Laue de que la velocidad de la luz no se ve afectada por las aceleraciones. Porque esta aparente velocidad variable de la luz en sistemas de referencia giratorios solo surge si se utilizan coordenadas giratorias, mientras que si el efecto Sagnac se describe desde el punto de vista de un sistema de coordenadas inercial externo, la velocidad de la luz, por supuesto, permanece constante; por lo tanto, el efecto Sagnac surge independientemente de si se utilizan coordenadas inerciales (véanse las fórmulas en la sección §  Teorías más adelante) o coordenadas giratorias (véanse las fórmulas en la sección §  Sistemas de referencia más adelante). Es decir, la relatividad especial en su formulación original se adaptó a sistemas de coordenadas inerciales, no a sistemas de referencia giratorios. Albert Einstein, en su artículo que introdujo la relatividad especial, afirmó: «la luz siempre se propaga en el espacio vacío con una velocidad definida c que es independiente del estado de movimiento del cuerpo emisor». [ 23 ] Einstein afirmó específicamente que la velocidad de la luz solo es constante en el vacío del espacio vacío, utilizando ecuaciones que solo eran válidas en sistemas de referencia inerciales lineales y paralelos. Sin embargo, cuando Einstein comenzó a investigar los sistemas de referencia acelerados, notó que "el principio de constancia de la luz debe modificarse" para los sistemas de referencia acelerados. [ 24 ]

En su artículo de 1920, Max von Laue consideró seriamente el efecto de la relatividad general sobre el efecto Sagnac, afirmando: «La relatividad general, por supuesto, podría aportar algunas afirmaciones al respecto, y queremos demostrar, en primer lugar, que no se esperan influencias notables de la aceleración según ella». Incluye una nota a pie de página sobre sus conversaciones con el físico alemán Wilhelm Wien . [ 10 ] La razón para estudiar la relatividad general es que la teoría de Einstein predijo que la luz se ralentizaría en un campo gravitatorio, razón por la cual podía predecir la curvatura de la luz alrededor de un cuerpo masivo. Bajo la relatividad general, existe el principio de equivalencia que establece que la gravedad y la aceleración son equivalentes. Hacer girar o acelerar un interferómetro crea un efecto gravitatorio. «Sin embargo, existen dos tipos diferentes de este movimiento [no inercial]; puede ser, por ejemplo, la aceleración en línea recta o el movimiento circular a velocidad constante». [ 25 ] Además, Irwin Shapiro en 1964 explicó la relatividad general diciendo: "la velocidad de una onda de luz depende de la intensidad del potencial gravitatorio a lo largo de su trayectoria". Esto se denomina retardo de Shapiro . [ 26 ] Sin embargo, dado que el campo gravitatorio tendría que ser significativo, Laue (1920) concluyó que es más probable que el efecto sea el resultado de cambiar la distancia de la trayectoria por su movimiento a través del espacio. [ 10 ] "El haz que viaja alrededor del bucle en la dirección de rotación tendrá que recorrer una mayor distancia que el haz que viaja en sentido contrario a la dirección de rotación, porque durante el período de viaje los espejos y el detector se moverán (ligeramente) hacia el haz que gira en sentido contrario y se alejarán del haz que gira en el mismo sentido. En consecuencia, los haces llegarán al detector en momentos ligeramente diferentes y ligeramente desfasados, produciendo 'franjas' de interferencia óptica que pueden observarse y medirse." [ 27 ]

En 1926, Albert Michelson y Henry Gale llevaron a cabo un ambicioso experimento de interferometría de anillo . El objetivo era determinar si la rotación de la Tierra afectaba la propagación de la luz en sus proximidades. El experimento Michelson-Gale-Pearson consistió en un interferómetro de anillo de gran tamaño (1,9 kilómetros de perímetro), lo suficientemente grande como para detectar la velocidad angular de la Tierra. El resultado del experimento confirmó la velocidad angular de la Tierra, medida astronómicamente, con una precisión comparable a la de la medición convencional. El interferómetro de anillo del experimento Michelson-Gale no se calibró mediante comparación con una referencia externa (lo cual era imposible, ya que el montaje estaba fijo a la Tierra). A partir de su diseño, se pudo deducir dónde debería estar la franja de interferencia central para que el desplazamiento fuera cero. El desplazamiento medido fue de 230 partes en 1000, con una precisión de 5 partes en 1000. El desplazamiento previsto fue de 237 partes en 1000. [ 28 ]

El efecto Sagnac ha estimulado un debate de un siglo de duración sobre su significado e interpretación, [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] siendo gran parte de este debate sorprendente ya que el efecto se entiende perfectamente bien en el contexto de la relatividad especial.

Teoría

Caso básico

Figura 3. La luz que viaja en direcciones opuestas recorre distancias diferentes antes de llegar a la fuente en movimiento.

El desplazamiento de las franjas de interferencia en un interferómetro de anillo puede verse intuitivamente como una consecuencia de las diferentes distancias que recorre la luz debido a la rotación del anillo. (Fig.  3) [ 32 ] La derivación más simple es para un anillo circular de radio R, con un índice de refracción de uno, que gira a una velocidad angular deω{\displaystyle \omega }, pero el resultado es general para geometrías de bucle con otras formas. Si una fuente de luz emite en ambas direcciones desde un punto del anillo giratorio, la luz que viaja en la misma dirección que la dirección de rotación necesita recorrer más de una circunferencia alrededor del anillo antes de alcanzar la fuente de luz desde atrás. El tiempot1{\displaystyle t_{1}}El tiempo que tarda en alcanzar la fuente de luz viene dado por:

t1=2πR+ΔLdo{\displaystyle t_{1}={\frac {2\pi R+\Delta L}{c}}}

ΔL{\displaystyle \Delta L}es la distancia (flecha negra gruesa en la Fig.  3) que el espejo se ha movido en ese mismo tiempo:

ΔL=Rωt1.{\displaystyle \Delta L=R\omega t_{1}.\,}

EliminandoΔL{\displaystyle \Delta L}De las dos ecuaciones anteriores obtenemos:

t1=2πRdo−Rω.{\displaystyle t_{1}={\frac {2\pi R}{cR\omega }}.}

De igual modo, la luz que viaja en la dirección opuesta a la rotación recorrerá menos de una circunferencia antes de incidir en la fuente de luz por la parte frontal. Por lo tanto, el tiempo que tarda esta dirección de luz en alcanzar de nuevo la fuente en movimiento es:

t2=2πRdo+Rω.{\displaystyle t_{2}={\frac {2\pi R}{c+R\omega }}.}

La diferencia horaria es

Δt=t1−t2=4πR2ωdo2−R2ω2.{\displaystyle \Delta t=t_{1}-t_{2}={\frac {4\pi R^{2}\omega }{c^{2}-R^{2}\omega ^{2}}}.}

ParaRω=v≪do{\displaystyle R\omega =v\ll c}, esto se reduce a

Δt≈4πR2ωdo2=4Aωdo2,{\displaystyle \Delta t\approx {\frac {4\pi R^{2}\omega }{c^{2}}}={\frac {4A\omega }{c^{2}}},}

donde A es el área del anillo.

Figura 4. La fórmula del área de Sagnac se aplica a cualquier forma de bucle.

Aunque esta sencilla derivación es para un anillo circular con un índice de refracción de uno, el resultado es válido para cualquier forma de bucle giratorio con área A. (Fig. 4)  

Para formas más complejas u otros valores de índice de refracción, se puede obtener el mismo resultado calculando el desplazamiento de fase óptico en cada dirección utilizando el principio de Fermat y teniendo en cuenta las diferentes velocidades de fase para las diferentes direcciones de propagación en un sistema de referencia inercial de laboratorio, que se puede calcular mediante la suma relativista de velocidades. [ 33 ]

Imaginamos una pantalla para observar las franjas colocada en la fuente de luz (o utilizamos un divisor de haz para enviar la luz desde el punto de la fuente a la pantalla). Dada una fuente de luz constante, se formarán franjas de interferencia en la pantalla con un desplazamiento de franja proporcional a las diferencias de tiempo necesarias para que los dos haces que giran en sentido contrario atraviesen el circuito. El desfase esΔϕ=2πdoΔtλ{\displaystyle \Delta \phi ={\frac {2\pi c\,\Delta t}{\lambda }}}, lo que provoca que los flecos se desplacen en proporción aA{\displaystyle A}yω{\displaystyle \omega }.

A velocidades no relativistas, el efecto Sagnac es una simple consecuencia de la independencia de la fuente de la velocidad de la luz. En otras palabras, el experimento de Sagnac no distingue entre física prerelativista y física relativista. [ 32 ]

Cuando la luz se propaga en un cable de fibra óptica, el montaje experimental es, en esencia, una combinación del experimento de Sagnac y el de Fizeau . En el vidrio, la velocidad de la luz es menor que en el vacío, y el cable óptico es el medio móvil. En ese caso, se aplica la regla de suma de velocidades relativistas. Las teorías prerrelativistas de la propagación de la luz no pueden explicar el efecto Fizeau. (Hacia 1900, Lorentz ya podía explicar el efecto Fizeau, pero para entonces su teoría había evolucionado hasta una forma en la que, en la práctica, era matemáticamente equivalente a la relatividad especial).

Dado que el emisor y el detector se desplazan a la misma velocidad, los efectos Doppler se cancelan, por lo que el efecto Sagnac no implica el efecto Doppler. En el caso de la interferometría láser de anillo, es importante tener esto en cuenta. Cuando el sistema láser de anillo gira, los haces que se propagan en direcciones opuestas experimentan cambios de frecuencia en direcciones opuestas. Este cambio de frecuencia no es un efecto Doppler, sino un efecto de resonancia de cavidad óptica , como se explica más adelante en Láseres de anillo .

El efecto Sagnac se comprende bien en el contexto de la relatividad especial, donde desde el punto de vista de la fuente de luz giratoria, la diferencia de fase se debe a que la línea de simultaneidad a lo largo de la trayectoria de la luz no forma un bucle cerrado en el espaciotiempo. [ 34 ]

Fórmula generalizada

Figura 5. Conceptualmente, un giroscopio de fibra óptica (FOG) convencional, que se muestra a la izquierda, se puede dividir en dos secciones semicirculares con una fibra extendida que conecta las secciones de los extremos, como se muestra a la derecha, creando un transportador de fibra óptica (FOC).

Se han propuesto versiones modificadas del experimento [ 35 ] en las que la fuente de luz puede moverse a lo largo de una trayectoria (no necesariamente circular). Esta configuración introduce otra razón para la diferencia de fase: según la fuente de luz, las dos señales siguen ahora trayectorias diferentes en el espacio. Algunos autores se refieren a este efecto como efecto Sagnac [ 31 ] [ 36 ], aunque en este caso la discrepancia no tiene por qué deberse a que las líneas de simultaneidad no formen bucles cerrados.

En la figura 5 se muestra un ejemplo de la configuración modificada.  La diferencia de fase medida tanto en un giroscopio de fibra óptica estándar (a la izquierda) como en una cinta transportadora de fibra óptica modificada (a la derecha) se ajusta a la ecuación Δt = 2vL / c²  ,  cuya derivación se basa en la velocidad constante de la luz. De esta fórmula se deduce que el retardo total es igual a la suma de los retardos a lo largo de toda la fibra, independientemente de si esta se encuentra en una sección giratoria o recta de la cinta transportadora.

Esta ecuación no es válida, sin embargo, si la trayectoria de la fuente de luz en el espacio no coincide con la de las señales luminosas, por ejemplo, en el caso de la plataforma giratoria estándar (FOG) pero con una trayectoria de luz no circular. En este caso, la fórmula de diferencia de fase necesariamente incluye el área encerrada por la trayectoria de la luz debido al teorema de Stokes . [ 34 ]

Figura 4: Una fibra óptica cerrada que se mueve arbitrariamente en el espacio sin estirarse.

Consideremos un interferómetro de anillo donde dos haces de luz que se propagan en direcciones opuestas comparten una trayectoria óptica común determinada por un bucle de fibra óptica (véase la figura 4). El bucle puede tener una forma arbitraria y moverse libremente en el espacio. La única restricción es que no se le permite estirarse. (El caso de un interferómetro de anillo circular que gira sobre su centro en el espacio libre se recupera al considerar que el índice de refracción de la fibra es igual a 1).

Consideremos un pequeño segmento de la fibra, cuya longitud en su marco de referencia en reposo esdℓ′{\displaystyle d\ell '}. Los intervalos de tiempo,dt±′{\displaystyle dt'_{\pm }}, se necesitan los rayos de luz que se mueven hacia la izquierda y hacia la derecha para atravesar el segmento en el sistema de referencia en reposo coinciden y están dados pordt±′=nortedodℓ′{\displaystyle dt'_{\pm }={n \over c}d\ell '}Dejardℓ=|dincógnita|{\textstyle d\ell =|d\mathbf {x} |}Sea la longitud de este pequeño segmento en el sistema de referencia del laboratorio. Por la fórmula de contracción de longitud relativista ,dℓ′=γdℓ≈dℓ{\textstyle d\ell '=\gamma d\ell \approx d\ell }correcto hasta el primer orden en la velocidadv{\displaystyle \mathbf {v} }del segmento. Los intervalos de tiempodt±{\displaystyle dt_{\pm }}Las transformaciones de Lorentz para recorrer el segmento en el sistema de referencia del laboratorio se dan como:dt±=γ(dt′±v⋅dincógnita′do2)≈nortedodℓ±vdo2⋅dincógnita{\displaystyle dt_{\pm }=\gamma \left(dt'\pm {\frac {\mathbf {v} \cdot d\mathbf {x} '}{c^{2}}}\right)\approx {\frac {n}{c}}d\ell \pm {\frac {\mathbf {v} }{c^{2}}}\cdot d\mathbf {x} }correcto hasta el primer orden en la velocidadv{\displaystyle \mathbf {v} }En general, los dos haces visitarán un segmento determinado en momentos ligeramente diferentes, pero, en ausencia de estiramiento, la longituddℓ{\textstyle d\ell }es lo mismo para ambos haces.

De ello se deduce que la diferencia de tiempo para completar un ciclo para los dos haces esΔT=∫(dt+−dt−)≈2do2∮v⋅dincógnita{\displaystyle \Delta T=\int \left(dt_{+}-dt_{-}\right)\approx {\frac {2}{c^{2}}}\oint \mathbf {v} \cdot d\mathbf {x} }Sorprendentemente, la diferencia de tiempo es independiente del índice de refracción.norte{\displaystyle n}y la velocidad de la luz en la fibra.

Imaginemos una pantalla para visualizar franjas colocada en la fuente de luz (alternativamente, se puede usar un divisor de haz para enviar la luz desde el punto de la fuente a la pantalla). Dada una fuente de luz constante, se formarán franjas de interferencia en la pantalla con un desplazamiento de franja dado por Δϕ≈2πdoλΔT{\textstyle \Delta \phi \approx {\frac {2\pi c}{\lambda }}\Delta T} donde el primer factor es la frecuencia de la luz. Esto da la fórmula generalizada de Sagnac [ 37 ].Δϕ≈4πλdo∮v⋅dincógnita{\displaystyle \Delta \phi \approx {\frac {4\pi }{\lambda c}}\oint \mathbf {v} \cdot d\mathbf {x} }En el caso especial de que la fibra se mueva como un cuerpo rígido con frecuencia angularω{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}, la velocidad esv=ω×incógnita{\textstyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {x} }y la integral de línea se puede calcular en términos del área del bucle:∮v⋅dincógnita=∮ω×incógnita⋅dincógnita=∮ω⋅incógnita×dincógnita=2∮ω⋅dA=2ω⋅A{\displaystyle \oint \mathbf {v} \cdot d\mathbf {x} =\oint {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} =\oint {\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {x} \times d\mathbf {x} =2\oint {\boldsymbol {\omega }}\cdot d\mathbf {A} =2{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {A} }Esto proporciona la fórmula de Sagnac para interferómetros de anillo de forma y geometría arbitrarias.Δϕ≈8πλdoω⋅A{\displaystyle \Delta \phi \approx {\frac {8\pi }{\lambda c}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {A} }Si además se permite el estiramiento, se recupera la fórmula de interferencia de Fizeau . [ 37 ]

Aplicaciones

Un relé de pulsos que circunnavega la Tierra, verificando una sincronización precisa, también se reconoce como un caso que requiere corrección por el efecto Sagnac. En 1984 se estableció una verificación que involucró tres estaciones terrestres y varios satélites GPS, con relés de señales que iban tanto hacia el este como hacia el oeste alrededor del mundo. [ 38 ] En el caso de un interferómetro de Sagnac, una medida de la diferencia en el tiempo de llegada se obtiene produciendo franjas de interferencia y observando el desplazamiento de las franjas. En el caso de un relé de pulsos alrededor del mundo, la diferencia en el tiempo de llegada se obtiene directamente del tiempo de llegada real de los pulsos. En ambos casos, el mecanismo de la diferencia en el tiempo de llegada es el mismo: el efecto Sagnac.

El experimento de Hafele-Keating también se reconoce como una contraparte de la física del efecto Sagnac. [ 38 ] En el experimento real de Hafele-Keating [ 39 ] el modo de transporte (vuelos de larga distancia) dio lugar a sus propios efectos de dilatación del tiempo, y se necesitaron cálculos para separar las diversas contribuciones. Para el caso (teórico) de relojes que se transportan tan lentamente que los efectos de dilatación del tiempo derivados del transporte son despreciables, la cantidad de diferencia de tiempo entre los relojes cuando regresan al punto de partida será igual a la diferencia de tiempo que se encuentra para un relé de pulsos que viaja alrededor del mundo: 207 nanosegundos.

Usos prácticos

El efecto Sagnac se emplea en la tecnología actual. Una de sus aplicaciones se encuentra en los sistemas de guiado inercial . Los giroscopios láser de anillo son extremadamente sensibles a las rotaciones, las cuales deben tenerse en cuenta para que un sistema de guiado inercial proporcione resultados precisos. El láser de anillo también puede detectar el día sideral , también conocido como "modo 1".

Los sistemas globales de navegación por satélite (GNSS), como GPS , GLONASS , COMPASS o Galileo , necesitan tener en cuenta la rotación de la Tierra en los procedimientos de uso de señales de radio para sincronizar relojes. [ 40 ]

láseres de anillo

Figura 6. Representación esquemática de una configuración láser anular.

Los giroscopios de fibra óptica a veces se denominan "interferómetros de anillo pasivos". Un interferómetro de anillo pasivo utiliza luz que incide en el sistema desde el exterior. El patrón de interferencia resultante es un patrón de franjas, y lo que se mide es un desfase.

También es posible construir un interferómetro de anillo autónomo, basado en una configuración completamente diferente. Este se denomina láser de anillo o giroscopio láser de anillo . La luz se genera y se mantiene mediante la excitación láser en su trayectoria.

Para comprender lo que sucede en una cavidad láser anular, es útil analizar la física del proceso láser en un sistema con generación continua de luz. Al iniciarse la excitación láser, las moléculas dentro de la cavidad emiten fotones, pero debido a que las moléculas poseen una velocidad térmica, la luz dentro de la cavidad láser presenta inicialmente un rango de frecuencias que corresponde a la distribución estadística de velocidades. El proceso de emisión estimulada hace que una frecuencia supere rápidamente a las demás, y posteriormente la luz se vuelve prácticamente monocromática.

Figura 7. Representación esquemática del desplazamiento de frecuencia cuando un interferómetro láser de anillo está girando. Tanto la luz que se propaga en direcciones opuestas como la que se propaga en la misma dirección experimentan 12 ciclos de su frecuencia.

Para simplificar, supongamos que todos los fotones emitidos se emiten en una dirección paralela al anillo. La figura  7 ilustra el efecto de la rotación del láser de anillo. En un láser lineal, la longitud de la cavidad láser se ajusta a un múltiplo entero de la longitud de onda. Esto significa que, al viajar de un lado a otro, la luz láser recorre un número entero de ciclos de su frecuencia. En el caso de un láser de anillo, ocurre lo mismo: el número de ciclos de la frecuencia de la luz láser es el mismo en ambas direcciones. Esta propiedad de que el número de ciclos sea el mismo en ambas direcciones se conserva cuando el láser de anillo está girando. La imagen muestra que existe un desplazamiento de la longitud de onda (y, por lo tanto, un desplazamiento de la frecuencia) de tal manera que el número de ciclos es el mismo en ambas direcciones de propagación.

Al hacer interferir las dos frecuencias de luz láser, se obtiene una frecuencia de batido ; esta frecuencia es la diferencia entre ambas. Puede considerarse como un patrón de interferencia en el tiempo. (Las franjas de interferencia, más conocidas en interferometría, son un patrón espacial). El período de esta frecuencia de batido es directamente proporcional a la velocidad angular del láser de anillo con respecto al espacio inercial. Este es el principio del giroscopio láser de anillo , ampliamente utilizado en los sistemas de navegación inercial modernos . Los giroscopios láser de anillo también se utilizan en la investigación de física fundamental [ 41 ] [ 42 ] para la detección de efectos de la relatividad general cuya huella marca la rotación de la Tierra. En este caso, el requisito clave es la sensibilidad del instrumento. [ 43 ] [ 44 ]

Calibración del punto cero

Figura 8. Los puntos rojos y azules representan fotones que se propagan en direcciones opuestas, y los puntos grises representan moléculas en la cavidad del láser.

En los interferómetros de anillo pasivos, el desplazamiento de las franjas es proporcional a la primera derivada de la posición angular; se requiere una calibración precisa para determinar el desplazamiento de las franjas que corresponde a una velocidad angular cero del sistema. Por otro lado, los interferómetros láser de anillo no requieren calibración para determinar la salida que corresponde a una velocidad angular cero. Los interferómetros láser de anillo se autocalibran. La frecuencia de batido será cero si y solo si el sistema láser de anillo no gira con respecto al espacio inercial.

La figura  8 ilustra la propiedad física que permite la autocalibración del interferómetro láser de anillo. Los puntos grises representan moléculas en la cavidad láser que actúan como resonadores. A lo largo de cada sección de la cavidad anular, la velocidad de la luz es la misma en ambas direcciones. Cuando el dispositivo láser de anillo gira, lo hace con respecto a ese fondo. En otras palabras: la invariancia de la velocidad de la luz proporciona la referencia para la autocalibración del interferómetro láser de anillo.

Bloqueo

Los giroscopios láser de anillo sufren un efecto conocido como "bloqueo" a bajas velocidades de rotación (menos de 100°/h). A velocidades de rotación muy bajas, las frecuencias de los modos láser que se propagan en direcciones opuestas se vuelven casi idénticas. En este caso, la diafonía entre los haces que se propagan en direcciones opuestas puede provocar un bloqueo por inyección , de modo que la onda estacionaria se "atasca" en una fase preferida, bloqueando la frecuencia de cada haz entre sí en lugar de responder a la rotación gradual. Al hacer oscilar la cavidad láser de un lado a otro en un ángulo pequeño a una velocidad rápida (cientos de hercios ), el bloqueo solo se producirá durante los breves instantes en que la velocidad de rotación sea cercana a cero; los errores inducidos se cancelan aproximadamente entre periodos muertos alternos.

Giroscopios de fibra óptica frente a giroscopios láser de anillo

Los giroscopios de fibra óptica (FOG) y los giroscopios láser de anillo (RLG) funcionan monitorizando la diferencia en el tiempo de propagación entre haces de luz que viajan en sentido horario y antihorario a lo largo de una trayectoria óptica cerrada. Se diferencian considerablemente en cuanto a coste, fiabilidad, tamaño, peso, consumo de energía y otras características de rendimiento que deben tenerse en cuenta al evaluar estas tecnologías para una aplicación específica.

Los RLG requieren mecanizado preciso, el uso de espejos de precisión y ensamblaje en condiciones de sala limpia. Sus conjuntos de tramado mecánico aumentan ligeramente su peso, pero no de forma apreciable. Los RLG son capaces de registrar más de 100 000 horas de funcionamiento en condiciones cercanas a la temperatura ambiente. Sus láseres tienen requisitos de potencia relativamente altos. [ 45 ]

Los FOG interferométricos son puramente de estado sólido, no requieren componentes de dithering mecánico, no requieren mecanizado de precisión, tienen una geometría flexible y pueden fabricarse en tamaños muy pequeños. Utilizan muchos componentes estándar de la industria de las telecomunicaciones. Además, los principales componentes ópticos de los FOG han demostrado su rendimiento en la industria de las telecomunicaciones, con vidas útiles que se miden en décadas. [ 46 ] Sin embargo, el ensamblaje de múltiples componentes ópticos en un instrumento giroscópico de precisión es costoso. Los FOG analógicos ofrecen el menor costo posible, pero su rendimiento es limitado; los FOG digitales ofrecen los amplios rangos dinámicos y las correcciones precisas del factor de escala requeridas para aplicaciones exigentes. [ 47 ] El uso de bobinas más largas y grandes aumenta la sensibilidad a costa de una mayor sensibilidad a las variaciones de temperatura y vibraciones.

Interferómetro de Sagnac de área cero y detección de ondas gravitacionales

La topología de Sagnac fue descrita por primera vez por Michelson en 1886, [ 48 ] quien empleó una variante de reflexión uniforme de este interferómetro en una repetición del experimento de Fizeau . [ 49 ] Michelson notó la extrema estabilidad de las franjas producidas por esta forma de interferómetro: se observaron franjas de luz blanca inmediatamente después de alinear los espejos. En los interferómetros de doble trayectoria, las franjas de luz blanca son difíciles de obtener ya que las dos longitudes de trayectoria deben coincidir con una precisión de un par de micrómetros (la longitud de coherencia de la luz blanca). Sin embargo, al ser un interferómetro de trayectoria común , la configuración de Sagnac coincide inherentemente con las dos longitudes de trayectoria. Asimismo, Michelson observó que el patrón de franjas se mantendría estable incluso al sostener una cerilla encendida debajo de la trayectoria óptica; en la mayoría de los interferómetros, las franjas se desplazarían bruscamente debido a las fluctuaciones del índice de refracción del aire caliente sobre la cerilla. Los interferómetros de Sagnac son casi completamente insensibles a los desplazamientos de los espejos o del divisor de haz. [ 50 ] Esta característica de la topología de Sagnac ha propiciado su uso en aplicaciones que requieren una estabilidad excepcionalmente alta.

Figura 9. Interferómetro de Sagnac de área cero.

El desplazamiento de franjas en un interferómetro de Sagnac debido a la rotación tiene una magnitud proporcional al área encerrada por la trayectoria de la luz, y esta área debe especificarse en relación con el eje de rotación. Por lo tanto, el signo del área de un bucle se invierte cuando este se enrolla en sentido contrario (horario o antihorario). Una trayectoria de luz que incluye bucles en ambas direcciones, por consiguiente, tiene un área neta dada por la diferencia entre las áreas de los bucles en sentido horario y antihorario. El caso especial de dos bucles iguales pero opuestos se denomina interferómetro de Sagnac de área cero . El resultado es un interferómetro que exhibe la estabilidad de la topología de Sagnac a la vez que es insensible a la rotación. [ 51 ]

El Observatorio de Ondas Gravitacionales por Interferometría Láser (LIGO) constaba de dos interferómetros Michelson-Fabry-Pérot de 4 km y operaba a una potencia láser de aproximadamente 100 vatios en el divisor de haz. Tras la actualización a Advanced LIGO, se requieren varios kilovatios de potencia láser.

Se están explorando diversos sistemas ópticos competitivos para mejoras de tercera generación más allá de Advanced LIGO. [ 52 ] Una de estas propuestas competitivas se basa en el diseño Sagnac de área cero. Con una trayectoria de luz que consta de dos bucles de la misma área, pero en direcciones opuestas, se obtiene un área efectiva de cero, cancelando así el efecto Sagnac en su sentido habitual. Aunque insensible a la deriva del espejo de baja frecuencia, la variación de la frecuencia del láser, el desequilibrio de reflectividad entre los brazos y la birrefringencia inducida térmicamente, esta configuración es sensible a las ondas gravitacionales que pasan a frecuencias de interés astronómico. [ 51 ] Sin embargo, la elección de un sistema óptico implica muchas consideraciones y, a pesar de la superioridad del Sagnac de área cero en ciertas áreas, todavía no existe un consenso sobre la elección del sistema óptico para la tercera generación de LIGO. [ 53 ] [ 54 ]

Véase también

Referencias

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