Oblicuidad

La asimetría${\displaystyle \gamma _{1}}$de una variable aleatoria X es el tercer momento estandarizado${\displaystyle {\tilde {\mu }}_{3}}$, definido como: ^{[ 4 ] [ 5 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{1}&:={\tilde {\mu }}_{3}\equiv {\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}\\&=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\right)^{3}\right]={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{3}\right]}{\left(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]\right)^{3/2}}}\\&={\frac {\kappa _{3}}{\kappa _{2}^{3/2}}}\end{aligned}}}$$ donde μ es la media, σ es la desviación estándar , E es el operador de esperanza , μ ₃ es el tercer momento central y κ _t son los cumulantes t - ésimos . A veces se le denomina coeficiente de asimetría de Pearson , ^{[ 5 ]} o simplemente coeficiente de asimetría , ^{[ 4 ]} pero no debe confundirse con otras estadísticas de asimetría de Pearson (véase más adelante). La última igualdad expresa la asimetría en términos de la razón del tercer cumulante κ ₃ a la potencia 1,5 del segundo cumulante κ _2. Esto es análogo a la definición de curtosis como el cuarto cumulante normalizado por el cuadrado del segundo cumulante. La asimetría también se denota a veces como Skew[ X ] .

Si σ es finito y μ también lo es, entonces la asimetría se puede expresar en términos del momento no central E[ X ³ ] expandiendo la fórmula anterior: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {\mu }}_{3}&=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\right)^{3}\right]\\&={\frac {\operatorname {E} [X^{3}]-3\mu \operatorname {E} [X^{2}]+3\mu ^{2}\operatorname {E} [X]-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}\\&={\frac {\operatorname {E} [X^{3}]-3\mu (\operatorname {E} [X^{2}]-\mu \operatorname {E} [X])-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}\\&={\frac {\operatorname {E} [X^{3}]-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}.\end{aligned}}}$$

La asimetría puede ser infinita, como cuando $${\displaystyle \Pr(X=x)={\begin{cases}x^{-2}&{\text{ para }}x>1,\\[2pt]0&{\text{ para }}x<1,\end{cases}}}$$ donde los terceros cumulantes son infinitos, o como cuando $${\displaystyle \Pr[X<x]={\begin{cases}{\frac {1}{2}}(1-x)^{-3}&{\text{ for }}x<0,\\[2pt]{\frac {1}{2}}(1+x)^{-3}&{\text{ for }}x>0.\end{cases}}}$$ donde el tercer cumulante no está definido.

Ejemplos de distribuciones con asimetría finita incluyen los siguientes.

• Una distribución normal y cualquier otra distribución simétrica con tercer momento finito tiene una asimetría de 0.
• Una distribución seminormal tiene una asimetría ligeramente inferior a 1.
• Una distribución exponencial tiene una asimetría de 2.
• Una distribución lognormal puede tener una asimetría de cualquier valor positivo, dependiendo de sus parámetros.

Para una muestra de n valores, dos estimadores naturales de la asimetría de la población son ^{[ 6 ].}

$${\displaystyle b_{1}={\frac {m_{3}}{s^{3}}}={\frac {{\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{3}}{\left[{\tfrac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}}$$

y

$${\displaystyle g_{1}={\frac {m_{3}}{m_{2}^{3/2}}}={\frac {{\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{3}}{\left[{\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}\right]^{3/2}}},}$$

dónde${\displaystyle {\bar {x}}}$es la media muestral , s es la desviación estándar muestral , m2 es el segundo momento central _muestral (sesgado) y m3 es el tercer momento central muestral (sesgado) _. ^{[ 6 ]}${\displaystyle g_{1}}$es un estimador del método de los momentos .

Otra definición común de asimetría de la muestra es ^{[ 6 ] [ 7 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}G_{1}&={\frac {k_{3}}{k_{2}^{3/2}}}={\frac {n^{2}}{(n-1)(n-2)}}\;b_{1}={\frac {\sqrt {n(n-1)}}{n-2}}\;g_{1},\\\end{aligned}}}$$

dónde${\displaystyle k_{3}}$es el único estimador simétrico insesgado del tercer cumulante y${\displaystyle k_{2}=s^{2}}$es el estimador insesgado simétrico del segundo cumulante (es decir, la varianza muestral ). Este coeficiente de momento estandarizado de Fisher-Pearson ajustado${\displaystyle G_{1}}$es la versión que se encuentra en Excel y en varios paquetes estadísticos, incluidos Minitab , SAS y SPSS . ^{[ 7 ]}

Bajo el supuesto de que la variable aleatoria subyacente${\displaystyle X}$Se distribuye normalmente, se puede demostrar que las tres razones${\displaystyle b_{1}}$,${\displaystyle g_{1}}$y${\displaystyle G_{1}}$son estimadores insesgados y consistentes de la asimetría poblacional${\displaystyle \gamma _{1}=0}$, con${\displaystyle {\sqrt {n}}b_{1}\mathrel {\xrightarrow {d} } N(0,6)}$, es decir, sus distribuciones convergen a una distribución normal con media 0 y varianza 6 ( Fisher , 1930). ^{[ 6 ]} La varianza de la asimetría de la muestra es, por lo tanto, aproximadamente${\displaystyle 6/n}$para muestras suficientemente grandes. Más precisamente, en una muestra aleatoria de tamaño n de una distribución normal, ^{[ 8 ] [ 9 ]}

$${\displaystyle \operatorname {var} (G_{1})={\frac {6n(n-1)}{(n-2)(n+1)(n+3)}}.}$$

En muestras normales,${\displaystyle b_{1}}$tiene la menor varianza de los tres estimadores, con ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle \operatorname {var} (b_{1})<\operatorname {var} (g_{1})<\operatorname {var} (G_{1}).}$$

Para distribuciones no normales,${\displaystyle b_{1}}$,${\displaystyle g_{1}}$y${\displaystyle G_{1}}$son generalmente estimadores sesgados de la asimetría de la población${\displaystyle \gamma _{1}}$; sus valores esperados pueden incluso tener el signo opuesto a la asimetría real. Por ejemplo, una distribución mixta que consiste en gaussianas muy delgadas centradas en −99, 0.5 y 2 con pesos 0.01, 0.66 y 0.33 tiene una asimetría${\displaystyle \gamma _{1}}$de aproximadamente −9,77, pero en una muestra de 3${\displaystyle G_{1}}$tiene un valor esperado de aproximadamente 0,32, ya que normalmente las tres muestras se encuentran en la parte de valores positivos de la distribución, que está sesgada en la dirección opuesta.

La asimetría modal de Pearson, ^{[ 11 ]} o primer coeficiente de asimetría, se define como

La asimetría mediana de Pearson, o coeficiente de segunda asimetría, ^{[ 12 ] [ 13 ]} se define como

Que es un múltiplo simple de la asimetría no paramétrica .

La medida de asimetría de Bowley (desde 1901), ^{[ 14 ] [ 15 ]} también llamada coeficiente de Yule (desde 1912) ^{[ 16 ] [ 17 ]} se define como: $${\displaystyle {\frac {{\frac {Q(3/4)+Q(1/4)}{2}}-Q(1/2)}{\frac {Q(3/4)-Q(1/4)}{2}}}={\frac {Q(3/4)+Q(1/4)-2Q(1/2)}{Q(3/4)-Q(1/4)}},}$$ donde Q es la función cuantil (es decir, la inversa de la función de distribución acumulativa ). El numerador es la diferencia entre el promedio del cuartil superior e inferior (una medida de posición) y la mediana (otra medida de posición), mientras que el denominador es el rango semiintercuartil.${\displaystyle {\frac {Q(3/4)-Q(1/4)}{2}}}$, que para distribuciones simétricas es igual a la medida MAD de dispersión .

Otros nombres para esta medida son la medida de asimetría de Galton, ^{[ 18 ]} el índice de Yule-Kendall ^{[ 19 ]} y la asimetría cuartil, ^{[ 20 ]}

De manera similar, la medida de asimetría de Kelly se define como ^{[ 21 ].}$${\displaystyle {\frac {Q(9/10)+Q(1/10)-2Q(1/2)}{Q(9/10)-Q(1/10)}}.}$$

Groeneveld, RA y Meeden, G. (1984) describieron una formulación más general de una función de asimetría: ^{[ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]}$${\displaystyle \gamma (u)={\frac {Q(u)+Q(1-u)-2Q(1/2)}{Q(u)-Q(1-u)}}}$$ La función γ ( u ) satisface −1 ≤ γ ( u ) ≤ 1 y está bien definida sin requerir la existencia de ningún momento de la distribución. ^{[ 22 ]} La medida de asimetría de Bowley es γ ( u ) evaluada en u = 3/4, mientras que la medida de asimetría de Kelly es γ ( u ) evaluada en u = 9/10 . Esta definición conduce a una medida global de asimetría correspondiente ^{[ 23 ]} definida como el supremo de esta en el rango 1/2 ≤ u < 1. Otra medida puede obtenerse integrando el numerador y el denominador de esta expresión. ^{[ 22 ]}

Las medidas de asimetría basadas en cuantiles son, a primera vista, fáciles de interpretar, pero suelen presentar variaciones muestrales significativamente mayores que los métodos basados ​​en momentos. Esto significa que, a menudo, las muestras de una distribución simétrica (como la distribución uniforme) presentan una gran asimetría basada en cuantiles, simplemente por casualidad.

Groeneveld y Meeden han sugerido, como medida alternativa de asimetría, ^{[ 22 ]}

$${\displaystyle \operatorname {skew} (X)={\frac {\mu -\nu }{\operatorname {E} (|X-\nu |)}},}$$

donde μ es la media, ν es la mediana, | ... | es el valor absoluto y E() es el operador de esperanza matemática. Su forma está estrechamente relacionada con el segundo coeficiente de asimetría de Pearson .

El uso de momentos L en lugar de momentos proporciona una medida de asimetría conocida como asimetría L. ^{[ 25 ]}

Un valor de asimetría igual a cero no implica que la distribución de probabilidad sea simétrica. Por lo tanto, se necesita otra medida de asimetría que tenga esta propiedad: dicha medida se introdujo en 2000. ^{[ 26 ]} Se llama asimetría de distancia y se denota por dSkew . Si X es una variable aleatoria que toma valores en el espacio euclidiano d -dimensional, X tiene una esperanza finita, X ' es una copia independiente idénticamente distribuida de X , y${\displaystyle \|\cdot \|}$denota la norma en el espacio euclidiano, entonces una medida simple de asimetría con respecto al parámetro de ubicación θ es $${\displaystyle \operatorname {dSkew} (X):=1-{\frac {\operatorname {E} \|X-X'\|}{\operatorname {E} \|X+X'-2\theta \|}}{\text{ if }}\Pr(X=\theta )\neq 1}$$ y dSkew( X )  := 0 para X = θ (con probabilidad 1). La asimetría de distancia siempre está entre 0 y 1, es igual a 0 si y solo si X es diagonalmente simétrico con respecto a θ ( X y 2 θ − X tienen la misma distribución de probabilidad) y es igual a 1 si y solo si X es una constante c (${\displaystyle c\neq \theta }$) con probabilidad uno. ^{[ 27 ]} Por lo tanto, existe una prueba estadística simple y consistente de simetría diagonal basada en la asimetría de la distancia de la muestra : $${\displaystyle \operatorname {dSkew} _{n}(X):=1-{\frac {\sum _{i,j}\|x_{i}-x_{j}\|}{\sum _{i,j}\|x_{i}+x_{j}-2\theta \|}}.}$$

El medcouple es una medida de asimetría robusta e invariante a la escala, con un punto de ruptura del 25%. ^{[ 28 ]} Es la mediana de los valores de la función kernel. $${\displaystyle h(x_{i},x_{j})={\frac {(x_{i}-x_{m})-(x_{m}-x_{j})}{x_{i}-x_{j}}}}$$ se ha apoderado de todas las parejas${\displaystyle (x_{i},x_{j})}$de tal manera que${\displaystyle x_{i}\geq x_{m}\geq x_{j}}$, dónde${\displaystyle x_{m}}$es la mediana de la muestra${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}}$Puede considerarse como la mediana de todas las posibles medidas de asimetría de cuantiles.