Schoenflies problem

Dado un polígono simple cerrado en el plano, el teorema de Jordan-Schoenflies lineal por partes establece que existe un homeomorfismo lineal por partes del plano, con soporte compacto, que transforma el polígono en un triángulo y transforma el interior y el exterior de uno en el interior y el exterior del otro. ^{[ 3 ]}

El interior del polígono puede triangularse mediante triángulos pequeños, de modo que los bordes del polígono formen los bordes de algunos de estos triángulos. Los homeomorfismos lineales por partes pueden formarse a partir de homeomorfismos especiales obtenidos al eliminar un rombo del plano y aplicar una transformación afín por partes, fijando los bordes del rombo, pero desplazando una diagonal hasta formar una V. Las composiciones de homeomorfismos de este tipo dan lugar a homeomorfismos lineales por partes de soporte compacto; estos fijan el exterior de un polígono y actúan de forma afín sobre una triangulación del interior. Un sencillo argumento inductivo demuestra que siempre es posible eliminar un triángulo libre —aquel cuya intersección con el límite es un conjunto conexo formado por uno o dos bordes—, dejando un polígono de Jordan cerrado simple. Los homeomorfismos especiales descritos anteriormente, o sus inversos, proporcionan homeomorfismos lineales por partes que trasladan el interior del polígono mayor al polígono sin el triángulo libre. Al iterar este proceso, se deduce que existe un homeomorfismo lineal por partes de soporte compacto que transforma el polígono original en un triángulo. ^{[ 4 ]}

Debido a que el homeomorfismo se obtiene componiendo un número finito de homeomorfismos del plano de soporte compacto, se deduce que el homeomorfismo lineal a trozos en el enunciado del teorema de Jordan-Schoenflies lineal a trozos tiene soporte compacto.

Como corolario, se deduce que cualquier homeomorfismo entre curvas poligonales cerradas simples se extiende a un homeomorfismo entre sus interiores. ^{[ 5 ]} Para cada polígono existe un homeomorfismo de un triángulo dado sobre la clausura de su interior. Los tres homeomorfismos dan como resultado un único homeomorfismo del contorno del triángulo. Mediante el truco de Alexander, este homeomorfismo puede extenderse a un homeomorfismo de clausura del interior del triángulo. Invirtiendo este proceso, este homeomorfismo da como resultado un homeomorfismo entre las clausuras de los interiores de las curvas poligonales.

El teorema de Jordan-Schoenflies para curvas continuas se puede demostrar utilizando el teorema de Carathéodory sobre mapeo conforme . Este establece que el mapeo de Riemann entre el interior de una curva de Jordan simple y el disco unitario abierto se extiende continuamente a un homeomorfismo entre sus clausuras, mapeando la curva de Jordan homeomórficamente sobre el círculo unitario. ^{[ 6 ]} Para demostrar el teorema, el teorema de Carathéodory se puede aplicar a las dos regiones en la esfera de Riemann definidas por la curva de Jordan. Esto dará como resultado homeomorfismos entre sus clausuras y los discos cerrados | z | ≤ 1 y | z | ≥ 1. Los homeomorfismos de la curva de Jordan al círculo diferirán por un homeomorfismo del círculo que se puede extender al disco unitario (o su complemento) mediante el truco de Alexander . La composición con este homeomorfismo dará como resultado un par de homeomorfismos que coinciden en la curva de Jordan y, por lo tanto, definen un homeomorfismo de la esfera de Riemann que traslada la curva de Jordan al círculo unitario.

El caso continuo también puede deducirse del caso poligonal aproximando la curva continua mediante un polígono. ^{[ 7 ]} El teorema de la curva de Jordan se deduce por primera vez mediante este método. La curva de Jordan está dada por una función continua en el círculo unitario. Esta y la función inversa de su imagen de vuelta al círculo unitario son uniformemente continuas . Así, dividiendo el círculo en intervalos suficientemente pequeños, hay puntos en la curva tales que los segmentos de línea que unen puntos adyacentes se encuentran cerca de la curva, digamos por ε. Juntos, estos segmentos de línea forman una curva poligonal. Si tiene autointersecciones, estas también deben crear bucles poligonales. Borrando estos bucles, se obtiene una curva poligonal sin autointersecciones que aún se encuentra cerca de la curva; algunos de sus vértices pueden no estar sobre la curva, pero todos se encuentran dentro de un entorno de la misma. La curva poligonal divide el plano en dos regiones, una región acotada U y una región no acotada V. Tanto U como V ∪ ∞ son imágenes continuas del disco unitario cerrado. Dado que la curva original está contenida dentro de una pequeña vecindad de la curva poligonal, la unión de las imágenes de discos abiertos concéntricos ligeramente más pequeños no alcanza la curva original y su unión excluye una pequeña vecindad de la curva. Una de las imágenes es un conjunto abierto acotado formado por puntos alrededor de los cuales la curva tiene número de vueltas uno; la otra es un conjunto abierto no acotado formado por puntos con número de vueltas cero. Repitiendo este proceso para una secuencia de valores de ε que tienden a 0, se obtiene una unión de conjuntos abiertos acotados y conectados por caminos de puntos con número de vueltas uno y una unión de conjuntos abiertos no acotados y conectados por caminos de puntos con número de vueltas cero. Por construcción, estos dos conjuntos abiertos disjuntos y conectados por caminos completan el complemento de la curva en el plano. ^{[ 8 ]}

Dado el teorema de la curva de Jordan, el teorema de Jordan-Schoenflies se puede demostrar de la siguiente manera. ^{[ 9 ]}

• El primer paso consiste en demostrar que un conjunto denso de puntos de la curva es accesible desde su interior, es decir, se encuentran en los extremos de un segmento de recta situado completamente en el interior de la curva. De hecho, un punto dado de la curva está arbitrariamente cerca de algún punto del interior, y existe un disco cerrado mínimo alrededor de ese punto que interseca la curva únicamente en su frontera; estos puntos de la frontera están cerca del punto original de la curva y, por construcción, son accesibles.
• El segundo paso es demostrar que, dados un número finito de puntos accesibles A _i en la curva conectados a los segmentos de línea A _i B _i en su interior, existen curvas poligonales disjuntas en el interior con vértices en cada uno de los segmentos de línea tales que su distancia a la curva original es arbitrariamente pequeña. Esto requiere teselaciones del plano con teselas uniformemente pequeñas tales que si dos teselas se encuentran tienen un lado o un segmento de un lado en común: ejemplos son la teselación hexagonal estándar ; o el teselado de ladrillo estándar con rectángulos o cuadrados con enlaces comunes o de estiramiento. Basta con construir un camino poligonal de modo que su distancia a la curva de Jordan sea arbitrariamente pequeña. Orientar la teselación de modo que ningún lado de una tesela sea paralelo a ningún A _i B _i . El tamaño de las teselas puede tomarse arbitrariamente pequeño. Tomar la unión de todas las teselas cerradas que contienen al menos un punto de la curva de Jordan. Su frontera está formada por curvas poligonales disjuntas. Si el tamaño de las baldosas es suficientemente pequeño, los extremos B _i quedarán en el interior de exactamente una de las curvas límite poligonales. Su distancia a la curva de Jordan es menor que el doble del diámetro de las baldosas, por lo que es arbitrariamente pequeña.
• El tercer paso es demostrar que cualquier homeomorfismo f entre la curva y un triángulo dado puede extenderse a un homeomorfismo entre las clausuras de sus interiores. De hecho, tomemos una secuencia ε ₁ , ε ₂ , ε ₃ , ... decreciente a cero. Elija un número finito de puntos A _i en la curva de Jordan Γ con puntos sucesivos separados por una distancia menor que ε _1. Realice la construcción del segundo paso con teselas de diámetro menor que ε ₁ y tome C _i como los puntos en la curva poligonal Γ ₁ que intersecan A _i B _i . Tome los puntos f ( A _i ) en el triángulo. Fije un origen en el triángulo Δ y escale el triángulo para obtener uno más pequeño Δ ₁ a una distancia menor que ε ₁ del triángulo original. Sea D _i los puntos en la intersección del radio que pasa por f ( A _i ) y el triángulo más pequeño. Existe un homeomorfismo lineal a trozos F ₁ de la curva poligonal sobre el triángulo más pequeño que lleva C _i sobre D _i . Por el teorema de Jordan-Schoenflies, se extiende a un homeomorfismo F ₁ entre el cierre de sus interiores. Ahora, realicemos el mismo proceso para ε ₂ con un nuevo conjunto de puntos en la curva de Jordan. Esto producirá un segundo camino poligonal Γ ₂ entre Γ ₁ y Γ. De igual manera, existe un segundo triángulo Δ ₂ entre Δ ₁ y Δ. Los segmentos de línea para los puntos accesibles en Γ dividen la región poligonal entre Γ ₂ y Γ ₁ en una unión de regiones poligonales; de manera similar, los radios para los puntos correspondientes en Δ dividen la región entre Δ ₂ y Δ ₁ en una unión de regiones poligonales. El homeomorfismo F ₁ puede extenderse a homeomorfismos entre los diferentes polígonos, que coinciden en aristas comunes (intervalos cerrados en segmentos de línea o radios). Por el teorema de Jordan-Schoenflies poligonal, cada uno de estos homeomorfismos se extiende al interior del polígono. Juntos producen un homeomorfismo F ₂ de la clausura del interior de Γ ₂ sobre la clausura del interior de Δ ₂ ; F ₂ extiende F ₁Siguiendo este procedimiento se obtienen curvas poligonales Γ _n y triángulos Δ _n con un homomorfismo F _n entre las clausuras de sus interiores; F _n extiende F _{n – 1} . Las regiones dentro de Γ _n se extienden hasta la región dentro de Γ; y los triángulos Δ _n se extienden hasta Δ. Los homeomorfismos F _n se combinan para dar un homeomorfismo F desde el interior de Γ hasta el interior de Δ. Por construcción, tiene límite f en las curvas frontera Γ y Δ. Por lo tanto, F es el homeomorfismo requerido.
• El cuarto paso consiste en demostrar que cualquier homeomorfismo entre curvas de Jordan puede extenderse a un homeomorfismo entre las clausuras de sus interiores. A partir del resultado del tercer paso, basta con demostrar que cualquier homeomorfismo del borde de un triángulo se extiende a un homeomorfismo de la clausura de su interior. Esto es consecuencia del truco de Alexander. (El truco de Alexander también establece un homeomorfismo entre el triángulo sólido y el disco cerrado: dicho homeomorfismo es simplemente la extensión radial natural de la proyección del triángulo sobre su circunferencia circunscrita con respecto a su circuncentro).
• El paso final consiste en demostrar que, dadas dos curvas de Jordan, existe un homeomorfismo del plano de soporte compacto que transforma una curva en la otra. De hecho, cada curva de Jordan se encuentra dentro del mismo círculo grande, y en el interior de cada círculo grande hay radios que unen dos puntos diagonalmente opuestos a la curva. Cada configuración divide el plano en el exterior del círculo grande, el interior de la curva de Jordan y la región entre ambos en dos regiones acotadas por curvas de Jordan (formadas por dos radios, un semicírculo y una de las mitades de la curva de Jordan). Consideremos el homeomorfismo identidad del círculo grande; homeomorfismos lineales a trozos entre los dos pares de radios; y un homeomorfismo entre los dos pares de mitades de las curvas de Jordan dado por una reparametrización lineal. Los cuatro homeomorfismos se combinan en los arcos límite para generar un homeomorfismo del plano dado por la identidad del círculo grande, que transforma una curva de Jordan en la otra.

Las demostraciones en el caso suave dependen de encontrar un difeomorfismo entre el interior/exterior de la curva y el disco unitario cerrado (o su complemento en el plano extendido). Esto se puede resolver, por ejemplo, utilizando el teorema de mapeo de Riemann suave , para el cual existen varios métodos directos, por ejemplo, a través del problema de Dirichlet en la curva o los núcleos de Bergman . ^{[ 10 ]} (Tales difeomorfismos serán holomorfos en el interior y exterior de la curva; se pueden construir difeomorfismos más generales con mayor facilidad utilizando campos vectoriales y flujos). Considerando la curva suave como ubicada dentro del plano extendido o 2-esfera, estos métodos analíticos producen mapeos suaves hasta el límite entre el cierre del interior/exterior de la curva suave y los del círculo unitario. Las dos identificaciones de la curva suave y el círculo unitario diferirán por un difeomorfismo del círculo unitario. Por otro lado, un difeomorfismo f del círculo unitario puede extenderse a un difeomorfismo F del disco unitario mediante la extensión de Alexander :

${\displaystyle \displaystyle {F(re^{i\theta })=r\exp[i\psi (r)g(\theta )+i(1-\psi (r))\theta ],}}$

donde ψ es una función suave con valores en [0,1], igual a 0 cerca de 0 y 1 cerca de 1, y f ( e ^{i θ} ) = e ^{ig (θ)} , con g (θ + 2π) = g (θ) + 2π . La composición de uno de los difeomorfismos con la extensión de Alexander permite unir los dos difeomorfismos para dar un homeomorfismo de la 2-esfera que se restringe a un difeomorfismo en el disco unitario cerrado y los cierres de su complemento que lleva al interior y exterior de la curva suave original. Por el teorema de isotopía en topología diferencial, ^{[ 11 ]} el homeomorfismo puede ajustarse a un difeomorfismo en toda la 2-esfera sin cambiarlo en el círculo unitario. Este difeomorfismo proporciona entonces la solución suave al problema de Schoenflies.

El teorema de Jordan-Schoenflies se puede deducir utilizando la topología diferencial . De hecho, es una consecuencia inmediata de la clasificación, salvo difeomorfismo, de variedades bidimensionales orientadas y suaves con frontera, tal como se describe en Hirsch (1994) . En efecto, la curva suave divide la esfera bidimensional en dos partes. Según la clasificación, cada una es difeomorfa al disco unitario y, teniendo en cuenta el teorema de isotopía, están unidas por un difeomorfismo de la frontera. Mediante el truco de Alexander, dicho difeomorfismo se extiende al propio disco. Por lo tanto, existe un difeomorfismo de la esfera bidimensional que lleva la curva suave al círculo unitario.

Por otro lado, el difeomorfismo también puede construirse directamente utilizando el teorema de Jordan-Schoenflies para polígonos y métodos elementales de topología diferencial, a saber, flujos definidos por campos vectoriales. ^{[ 12 ]} Cuando la curva de Jordan es suave (parametrizada por la longitud de arco), los vectores normales unitarios dan un campo vectorial no nulo X ₀ en un entorno tubular U ₀ de la curva. Tomemos una curva poligonal en el interior de la curva cerca del límite y transversal a la curva (en los vértices el campo vectorial debe estar estrictamente dentro del ángulo formado por los bordes). Por el teorema de Jordan-Schoenflies lineal por partes, hay un homeomorfismo lineal por partes, afín en una triangulación apropiada del interior del polígono, tomando el polígono en un triángulo. Tomemos un punto interior P en uno de los triángulos pequeños de la triangulación. Corresponde a un punto Q en el triángulo imagen. Hay un campo vectorial radial en el triángulo imagen, formado por líneas rectas que apuntan hacia Q. Esto da una serie de líneas en los pequeños triángulos que componen el polígono. Cada una define un campo vectorial X _i en un entorno U _i de la clausura del triángulo. Cada campo vectorial es transversal a los lados, siempre que Q se elija en "posición general" de modo que no sea colineal con ninguno de los muchos lados de la triangulación. Trasladando si es necesario, se puede suponer que P y Q están en el origen 0. En el triángulo que contiene a P, el campo vectorial puede tomarse como el campo vectorial radial estándar. De manera similar, el mismo procedimiento puede aplicarse al exterior de la curva suave, después de aplicar la transformación de Möbius para mapearla en la parte finita del plano y ∞ a 0. En este caso, los entornos U _i de los triángulos tienen índices negativos. Tomemos los campos vectoriales X _i con signo negativo, apuntando lejos del punto en el infinito. Juntos U ₀ y los U _i con i ≠ 0 forman una cubierta abierta de la 2-esfera. Tomar una partición suave de la unidad ψ _i subordinada a la cubierta U _i y establecer

${\displaystyle \displaystyle {X=\sum \psi _{i}\cdot X_{i}.}}$

X es un campo vectorial suave en la esfera bidimensional que se anula solo en 0 e ∞. Tiene índice 1 en 0 y -1 en ∞. Cerca de 0, el campo vectorial es igual al campo vectorial radial que apunta hacia 0. Si α _t es el flujo suave definido por X , el punto 0 es un punto atractor e ∞ un punto repulsor. Cuando t tiende a +∞, el flujo envía puntos a 0; mientras que cuando t tiende a –∞, los puntos se envían a ∞. Reemplazar X por f ⋅ X con f una función positiva suave, cambia la parametrización de las curvas integrales de X , pero no las curvas integrales mismas. Para una elección apropiada de f igual a 1 fuera de un pequeño anillo cerca de 0, las curvas integrales que parten de puntos de la curva suave alcanzarán todas el círculo más pequeño que delimita el anillo al mismo tiempo s . Por lo tanto, el difeomorfismo α _s lleva la curva suave a este pequeño círculo. Una transformación de escala, fijando 0 e ∞, traslada el círculo pequeño al círculo unitario. La composición de estos difeomorfismos da como resultado un difeomorfismo que traslada la curva suave al círculo unitario.