El lema de Schur

Teorema (Lema de Schur) : Sean V y W espacios vectoriales; y sea${\displaystyle \rho _{V}}$y${\displaystyle \rho _{W}}$sean representaciones irreducibles de G en V y W respectivamente. ^{[ 2 ]}

1. Si${\displaystyle V}$y${\displaystyle W}$Si no son isomorfos , entonces no existen aplicaciones G -lineales no triviales entre ellos.
2. Si${\displaystyle V=W}$de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado (por ejemplo${\displaystyle \mathbb {C} }$); y si${\displaystyle \rho _ {V} = \ rho _ {W}}$Entonces, las únicas aplicaciones G -lineales no triviales son la identidad y los múltiplos escalares de la identidad. (Un múltiplo escalar de la identidad a veces se denomina homotecia ) .

Prueba: Supongamos${\displaystyle f}$es una aplicación G -lineal no nula de${\displaystyle V}$a${\displaystyle W}$Lo demostraremos.${\displaystyle V}$y${\displaystyle W}$son isomorfos. Sea${\displaystyle V'}$sea ​​el núcleo , o espacio nulo, de${\displaystyle f}$en${\displaystyle V}$, descrito como${\displaystyle V'=\{x\in V|f(x)=0\}}$.${\displaystyle V'}$es un subespacio de${\displaystyle V}$ya que no está vacío (contiene el vector cero) y es cerrado.

Bajo el supuesto de que${\displaystyle f}$es G -lineal , para cada${\displaystyle g}$en${\displaystyle G}$y elección de${\displaystyle x}$en${\displaystyle V'}$,${\displaystyle f((\rho _{V}(g))(x))=(\rho _{W}(g))(f(x))=(\rho _{W}(g))(0)=0}$. Pero decir eso${\displaystyle f(\rho _{V}(g)(x))=0}$es lo mismo que decir que${\displaystyle \rho _{V}(g)(x)}$está en el espacio nulo de${\displaystyle f:V\rightarrow W}$. Entonces${\displaystyle V'}$es estable bajo la acción de G ; es una subrepresentación. Dado que por suposición${\displaystyle V}$es irreductible,${\displaystyle V'}$debe ser cero; por lo tanto${\displaystyle f}$es inyectivo .

Mediante un argumento idéntico demostraremos${\displaystyle f}$también es sobreyectiva ; ya que${\displaystyle f((\rho _{V}(g))(x))=(\rho _{W}(g))(f(x))}$, podemos concluir que para una elección arbitraria de${\displaystyle f(x)}$en la imagen de${\displaystyle f}$,${\displaystyle \rho _{W}(g)}$envía${\displaystyle f(x)}$en algún otro lugar en la imagen de${\displaystyle f}$; en particular lo envía a la imagen de${\displaystyle \rho _{V}(g)x}$. Entonces la imagen de${\displaystyle f(x)}$es un subespacio${\displaystyle W'}$de${\displaystyle W}$estable bajo la acción de${\displaystyle G}$, por lo tanto es una subrepresentación y${\displaystyle f}$Debe ser cero o sobreyectivo. Por hipótesis no es cero, por lo que es sobreyectivo, en cuyo caso es un isomorfismo.

En caso de que${\displaystyle V=W}$de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado y tienen la misma representación, sea${\displaystyle \lambda }$ser un valor propio de${\displaystyle f}$(Existe un valor propio para cada transformación lineal en un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado). Sea${\displaystyle f'=f-\lambda I}$. Entonces si${\displaystyle x}$es un vector propio de${\displaystyle f}$correspondiente a${\displaystyle \lambda ,f'(x)=0}$Está claro que${\displaystyle f'}$es una aplicación G -lineal , porque la suma o diferencia de aplicaciones G -lineales también es G- lineal . Luego volvemos al argumento anterior, donde usamos el hecho de que una aplicación era G -lineal para concluir que el núcleo es una subrepresentación y, por lo tanto, es cero o igual a todos los${\displaystyle V}$; porque no es cero (contiene${\displaystyle x}$) debe ser todo V y por lo tanto${\displaystyle f'}$es trivial, así que${\displaystyle f=\lambda I}$.

Un corolario importante del lema de Schur se deriva de la observación de que a menudo podemos construir explícitamente${\displaystyle G}$- Mapeos lineales entre representaciones mediante el "promedio" sobre la acción de los elementos individuales del grupo sobre algún operador lineal fijo. En particular, dada cualquier representación irreducible, tales objetos satisfarán las hipótesis del lema de Schur, siendo, por lo tanto, múltiplos escalares de la identidad. Más precisamente:

Corolario : Utilizando la misma notación del teorema anterior, sea${\displaystyle h}$Sea V una aplicación lineal de W y establezcamos$${\displaystyle h_{0}={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}(\rho _{W}(g))^{-1}h\rho _{V}(g).}$$Entonces,

1. Si${\displaystyle V}$y${\displaystyle W}$no son isomorfos , entonces${\displaystyle h_{0}=0}$.
2. Si${\displaystyle V=W}$es de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado (por ejemplo${\displaystyle \mathbb {C} }$); y si${\displaystyle \rho _ {V} = \ rho _ {W}}$, entonces${\displaystyle h_{0}=I\,\mathrm {Tr} [h]/n}$, donde n es la dimensión de V. Es decir,${\displaystyle h_{0}}$es una homotecia de razón${\displaystyle \mathrm {Tr} [h]/n}$.

Prueba: Primero demostremos que${\displaystyle h_{0}}$es un mapa G-lineal, es decir,${\displaystyle \rho _{W}(g)\circ h_{0}=h_{0}\circ \rho _{V}(g)}$a pesar de${\displaystyle g\in G}$. En efecto, considérese que

${\displaystyle {\begin{aligned}(\rho _{W}(g'))^{-1}h_{0}\rho _{V}(g')&={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}(\rho _{W}(g'))^{-1}(\rho _{W}(g))^{-1}h\rho _{V}(g)\rho _{V}(g')\\&={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}(\rho _{W}(g\circ g'))^{-1}h\rho _{V}(g\circ g')\\&=h_{0}\end{aligned}}}$

Ahora, aplicando el teorema anterior, para el caso 1, se deduce que${\displaystyle h_{0}=0}$y para el caso 2, se deduce que${\displaystyle h_{0}}$es un múltiplo escalar de la matriz identidad (es decir,${\displaystyle h_{0}=\mu I}$). Para determinar el múltiplo escalar${\displaystyle \mu }$, considere que

${\displaystyle \mathrm {Tr} [h_{0}]={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\mathrm {Tr} [(\rho _{V}(g))^{-1}h\rho _{V}(g)]=\mathrm {Tr} [h]}$

De ello se deduce que${\displaystyle \mu =\mathrm {Tr} [h]/n}$.

Este resultado tiene numerosas aplicaciones. Por ejemplo, en el contexto de la ciencia de la información cuántica , se utiliza para obtener resultados sobre diseños t proyectivos complejos . ^{[ 3 ]} En el contexto de la teoría de orbitales moleculares , se utiliza para restringir las interacciones de orbitales atómicos en función de la simetría molecular . ^{[ 4 ]}

Definición: Deje${\displaystyle R}$ser un${\displaystyle k}$-álgebra. Un${\displaystyle R}$-módulo${\displaystyle M}$Se dice que tiene un carácter central.${\displaystyle \chi :Z(R)\to k}$(aquí,${\displaystyle Z(R)}$es el centro de${\displaystyle R}$) si para cada${\displaystyle m\in M,z\in Z(R)}$hay${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$de tal manera que${\displaystyle (z-\chi (z))^{n}m=0}$, es decir, si cada${\displaystyle m\in M}$es un vector propio generalizado de${\displaystyle z}$con valor propio${\displaystyle \chi (z)}$.

Si${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(M)=k}$, digamos en el caso esbozado anteriormente, cada elemento de${\displaystyle Z(R)}$actúa en${\displaystyle M}$como un${\displaystyle R}$-endomorfismo y por lo tanto como un escalar. Por lo tanto, existe un homomorfismo de anillos.${\displaystyle \chi :Z(R)\to k}$de tal manera que${\displaystyle (z-\chi (z))m=0}$a pesar de${\displaystyle z\in Z(R),m\in M}$. En particular,${\displaystyle M}$tiene carácter central${\displaystyle \chi }$.

Si${\displaystyle R=U({\mathfrak {g}}),k=\mathbb {C} }$es el álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie, un carácter central también se denomina carácter infinitesimal y las consideraciones anteriores muestran que si${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es de dimensión finita (de modo que${\displaystyle R=U({\mathfrak {g}})}$es de dimensión contable), entonces cada simple${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-el módulo tiene un carácter infinitesimal.

En el caso donde${\displaystyle k=\mathbb {C} ,R=\mathbb {C} [G]}$es el álgebra de grupo de un grupo finito${\displaystyle G}$, se llega a la misma conclusión. Aquí, el centro de${\displaystyle R}$consta de elementos de la forma${\displaystyle \sum _{g\in G}a(g)g}$dónde${\displaystyle a:G\to \mathbb {C} }$es una función de clase , es decir, invariante bajo conjugación. Dado que el conjunto de funciones de clase está generado por los caracteres${\displaystyle \chi _{\pi }}$de las representaciones irreducibles${\displaystyle \pi \in {\hat {G}}}$El personaje central está determinado por lo que representa.${\displaystyle u_{\pi }:={\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}\chi _{\pi }(g)g}$a (para todos)${\displaystyle \pi \in {\hat {G}}}$). Dado que todos${\displaystyle u_{\pi }}$son idempotentes, cada uno se asigna a 0 o a 1, y dado que${\displaystyle u_{\pi }u_{\pi '}=0}$para dos representaciones irreducibles diferentes, solo una${\displaystyle u_{\pi }}$se puede asignar a 1: el que corresponde al módulo${\displaystyle M}$.

Suponer${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es un álgebra de Lie y${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$es el álgebra envolvente universal de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Dejar${\displaystyle \pi$ :{\mathfrak {g}}\rightarrow \mathrm {End} (V)} sea una representación irreducible de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$sobre un cuerpo algebraicamente cerrado. La propiedad universal del álgebra envolvente universal garantiza que${\displaystyle \pi }$se extiende a una representación de${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$actuando sobre el mismo espacio vectorial. De la segunda parte del lema de Schur se deduce que si${\displaystyle x}$pertenece al centro de${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$, entonces${\displaystyle \pi (x)}$debe ser un múltiplo del operador identidad. En el caso de que${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es un álgebra de Lie semisimple compleja , un ejemplo importante de la construcción precedente es aquella en la que${\displaystyle x}$es el elemento de Casimir (cuadrático)${\displaystyle C}$. En este caso,${\displaystyle \pi (C)=\lambda _{\pi }I}$, dónde${\displaystyle \lambda _{\pi }}$es una constante que se puede calcular explícitamente en términos del peso más alto de${\displaystyle \pi }$. ^{[ 9 ]} La acción del elemento de Casimir juega un papel importante en la prueba de reducibilidad completa para representaciones de dimensión finita de álgebras de Lie semisimples. ^{[ 10 ]}