Método de alternancia de Schwarz

En matemáticas , el método alternante de Schwarz o proceso alternante es un método iterativo introducido entre 1869 y 1870 por Hermann Schwarz en la teoría de las transformaciones conformes . Dadas dos regiones superpuestas en el plano complejo en cada una de las cuales se podía resolver el problema de Dirichlet , Schwarz describió un método iterativo para resolver dicho problema en su unión, siempre que su intersección se comportara adecuadamente. Esta fue una de las diversas técnicas constructivas de transformaciones conformes desarrolladas por Schwarz como contribución al problema de la uniformización , planteado por Riemann en la década de 1850 y resuelto rigurosamente por primera vez por Koebe y Poincaré en 1907. Proporcionó un esquema para uniformizar la unión de dos regiones sabiendo cómo uniformizar cada una de ellas por separado, siempre que su intersección fuera topológicamente un disco o un anillo. A partir de 1870, Carl Neumann también contribuyó a esta teoría.

En la década de 1950, el método de Schwarz se generalizó en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales a un método iterativo para encontrar la solución de un problema de contorno elíptico en un dominio que es la unión de dos subdominios superpuestos. Consiste en resolver el problema de contorno en cada uno de los dos subdominios sucesivamente, tomando siempre los últimos valores de la solución aproximada como las siguientes condiciones de contorno . Se utiliza en análisis numérico , bajo el nombre de método multiplicativo de Schwarz (en oposición al método aditivo de Schwarz ) como método de descomposición de dominio .

Fue formulada por primera vez por HA Schwarz ^{[ 1 ]} y sirvió como herramienta teórica: su convergencia para ecuaciones diferenciales parciales elípticas generales de segundo orden fue demostrada por primera vez mucho más tarde, en 1951, por Solomon Mikhlin . ^{[ 2 ]}

El problema original considerado por Schwarz era un problema de Dirichlet (con la ecuación de Laplace ) en un dominio que consta de un círculo y un cuadrado parcialmente superpuesto. Para resolver el problema de Dirichlet en uno de los dos subdominios (el cuadrado o el círculo), se debe conocer el valor de la solución en la frontera : dado que una parte de la frontera está contenida en el otro subdominio, el problema de Dirichlet debe resolverse conjuntamente en ambos subdominios. Se introduce un algoritmo iterativo:

1. Haz una primera suposición de la solución en la parte del borde del círculo que está contenida en el cuadrado.
2. Resuelve el problema de Dirichlet en la circunferencia.
3. Utilice la solución en (2) para aproximar la solución en el límite del cuadrado.
4. Resuelve el problema de Dirichlet en el cuadrado.
5. Utilice la solución en (4) para aproximar la solución en el límite del círculo y luego vaya al paso (2).

En el punto de convergencia, la solución en la zona de solapamiento es la misma tanto si se calcula sobre el cuadrado como sobre el círculo.

La velocidad de convergencia depende del tamaño de la superposición entre los subdominios y de las condiciones de transmisión (condiciones de contorno utilizadas en la interfaz entre los subdominios). Es posible aumentar la velocidad de convergencia de los métodos de Schwarz eligiendo condiciones de transmisión adaptadas; estos métodos se denominan entonces métodos de Schwarz optimizados. ^{[ 3 ]}

• Teorema de uniformización
• Derivada de Schwarz
• Mapa del triángulo de Schwarz
• Principio de reflexión de Schwarz
• Método aditivo de Schwarz

Documentos originales

• Schwarz, HA (1869), "Über einige Abbildungsaufgaben", J. Reine Angew. Matemáticas. , 1869 (70): 105– 120, doi : 10.1515/crll.1869.70.105 , S2CID 121291546 
• Schwarz, HA (1870a), "Über die Integration der partiellen Differentialgleichung ∂ ² u /∂ x ² + ∂ ² u /∂ y ² = 0 unter vorgeschriebenen Grenz- und Unstetigkeitbedingungen", Monatsberichte der Königlichen Akademie der Wissenschaft zu Berlin : 767– 795
• Schwarz, HA (1870b), "Über einen Grenzübergang durch alternierendes Verfahren" , Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich , 15 : 272–286 , JFM 02.0214.02 
• Neumann, Carl (1870), "Zur Theorie des Potentiales" , Matemáticas. Ana. , 2 (3): 514, doi : 10.1007/bf01448242 , S2CID 122015888 
• Neumann, Carl (1877), Untersuchungen über das logarithmische und Newton'sche Potential , Teubner
• Neumann, Carl (1884), Vorlesungen über Riemann's Theorie der abelschen Integrale (2ª  ed.), Teubner

Mapeo conforme y funciones armónicas

• Nevanlinna, Rolf (1939), "Über das alternierende Verfahren von Schwarz", J. Reine Angew. Matemáticas. , 1939 (180): 121– 128, doi : 10.1515/crll.1939.180.121 , S2CID 199546268 
• Nevanlinna, Rolf (1939), "Bemerkungen zum alternierenden Verfahren", Monatshefte für Mathematik und Physik , 48 : 500– 508, doi : 10.1007/bf01696203 , S2CID 123260734 
• Nevanlinna, Rolf (1953), Uniformisierung , Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete, vol.  64, saltador
• Sario, Leo (1953), "Método alternado en superficies de Riemann arbitrarias", Pacific J. Math. , 3 (3): 631– 645, doi : 10.2140/pjm.1953.3.631
• Morgenstern, Dietrich (1956), "Begründung des alternierenden Verfahrens durch Orthogonalprojektion", Z. Angew. Matemáticas. Mec. , 36 ( 7– 8): 255– 256, Bibcode : 1956ZaMM...36..255M , doi : 10.1002/zamm.19560360711 , hdl : 10338.dmlcz/100409
• Cohn, Harvey (1980), Conformal mapping on Riemann surfaces , Dover, pp. 242– 262, ISBN  0-486-64025-6Capítulo 12, Procedimientos alternos
• Garnett, John B.; Marshall, Donald E. (2005), Medida armónica , Cambridge University Press, ISBN 1139443097
• Freitag, Eberhard (2011), Análisis complejo. 2. Superficies de Riemann, varias variables complejas, funciones abelianas, funciones modulares superiores , Springer, ISBN 978-3-642-20553-8
• de Saint-Gervais, Henri Paul (2016), Uniformización de superficies de Riemann: una revisión de un teorema centenario , Patrimonio de las Matemáticas Europeas, traducido por Robert G. Burns, Sociedad Matemática Europea, doi : 10.4171/145 , ISBN 978-3-03719-145-3, traducción de texto francés
• Chorlay, Renaud (2007), L'émergence du pair local-global dans les théories géométriques, de Bernhard Riemann à la théorie des faisceaux (PDF) , págs . (citado en de Saint-Gervais)
• Bottazzini, Umberto ; Gray, Jeremy (2013), Armonía oculta: fantasías geométricas: el auge de la teoría de funciones complejas , Fuentes y estudios en la historia de las matemáticas y las ciencias físicas, Springer, ISBN 978-1461457251

Ecuaciones diferenciales parciales y análisis numérico

• Mikhlin, SG (1951), "Sobre el algoritmo de Schwarz", Doklady Akademii Nauk SSSR , n. Ser. (en ruso), 77 : 569– 571, SEÑOR 0041329 , Zbl 0054.04204  

• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Método alternante de Schwarz" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press