función triangular de Schwarz

En análisis complejo , la función triangular de Schwarz o función s de Schwarz es una función que transforma conformemente el semiplano superior en un triángulo en dicho semiplano, cuyos lados son líneas o arcos circulares. El triángulo resultante no tiene por qué ser un triángulo de Schwarz , aunque este sea el caso matemáticamente más interesante. Cuando dicho triángulo es un triángulo de Schwarz sin superposición, es decir, un triángulo de Möbius , la inversa de la función triangular de Schwarz es una función automorfa unívoca para el grupo triangular de ese triángulo . Más específicamente, es una función modular .

Sean πα , πβ y πγ los ángulos interiores en los vértices del triángulo en radianes . Cada uno de α , β y γ puede tomar valores entre 0 y 1 inclusive. Siguiendo a Nehari, ^{[ 1 ]} estos ángulos están en sentido horario, con el vértice cuyo ángulo πα se encuentra en el origen y el vértice cuyo ángulo πγ se encuentra sobre la recta real. La función del triángulo de Schwarz se puede expresar en términos de funciones hipergeométricas como:

${\displaystyle s(\alpha ,\beta ,\gamma ;z)=z^{\alpha }{\frac {_{2}F_{1}\left(a',b';c';z\right)}{_{2}F_{1}\left(a,b;c;z\right)}}}$

dónde

a = (1−α−β−γ)/2,

b = (1−α+β−γ)/2,

c = 1−α,

a ′ = a − c + 1 = (1+α−β−γ)/2,

b ′ = b − c + 1 = (1+α+β−γ)/2, y

c ′ = 2 − c = 1 + α.

Esta función transforma el semiplano superior en un triángulo esférico si α + β + γ > 1, o en un triángulo hiperbólico si α + β + γ < 1. Cuando α + β + γ = 1, el triángulo es un triángulo euclidiano con lados rectos: a = 0,${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,b;c;z\right)=1}$y la fórmula se reduce a la dada por la transformación de Schwarz-Christoffel .

Este mapeo tiene puntos singulares regulares en z = 0, 1 e ∞, que corresponden a los vértices del triángulo con ángulos πα, πγ y πβ respectivamente. En estos puntos singulares, ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}s(0)&=0,\\[4mu]s(1)&={\frac {\Gamma (1-a')\Gamma (1-b')\Gamma (c')}{\Gamma (1-a)\Gamma (1-b)\Gamma (c)}},\\[8mu]s(\infty )&=\exp \left(i\pi \alpha \right){\frac {\Gamma (1-a')\Gamma (b)\Gamma (c')}{\Gamma (1-a)\Gamma (b')\Gamma (c)}},\end{aligned}}}$

dónde${\textstyle \Gamma (x)}$es la función gamma .

Cerca de cada punto singular, la función puede aproximarse como

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}(z)&=z^{\alpha }(1+O(z)),\\[6mu]s_{1}(z)&=(1-z)^{\gamma }(1+O(1-z)),\\[6mu]s_{\infty }(z)&=z^{\beta }(1+O(1/z)),\end{alineado}}}$

dónde${\displaystyle O(x)}$es la notación de la gran O.

Cuando α, β y γ son racionales, el triángulo es un triángulo de Schwarz. Cuando cada uno de α, β y γ es el recíproco de un entero o cero, el triángulo es un triángulo de Möbius , es decir, un triángulo de Schwarz sin superposición. Para un triángulo de Möbius, la inversa es una función modular .

En el caso esférico, esa función modular es una función racional . Para triángulos euclidianos, la inversa se puede expresar usando funciones elípticas . ^{[ 4 ]}

Cuando α = 0, el triángulo es degenerado y se encuentra completamente sobre la recta real. Si β o γ son distintos de cero, los ángulos se pueden permutar de manera que el valor positivo sea α , pero esto no es posible para un triángulo ideal con todos sus ángulos iguales a cero.

En cambio, una transformación a un triángulo ideal con vértices en 0, 1 e ∞ viene dada por la integral elíptica completa de primera especie :

${\displaystyle i{\frac {K(1-z)}{K(z)}}}$.

Esta expresión es la inversa de la función lambda modular . ^{[ 5 ]}

La transformación de Schwarz-Christoffel proporciona la correspondencia entre el semiplano superior y cualquier polígono euclidiano.

La metodología empleada para derivar la función triangular de Schwarz puede aplicarse de forma más general a polígonos con bordes de arco. Sin embargo, para un polígono de n lados, la solución tiene n − 3 parámetros adicionales, que son difíciles de determinar en la práctica. ^{[ 6 ]} Véase Derivada de Schwarz §  Mapeo conforme de polígonos de arco circular para más detalles.

LP Lee utilizó funciones triangulares de Schwarz para derivar proyecciones de mapas conformes sobre superficies poliédricas . ^{[ 4 ]}