Métrica de Schwarzschild

En la teoría de la relatividad general de Einstein , la métrica de Schwarzschild (también conocida como solución de Schwarzschild ) es una solución exacta a las ecuaciones de campo de Einstein que describe el campo gravitatorio fuera de una masa esférica, bajo el supuesto de que la carga eléctrica de la masa, el momento angular de la masa y la constante cosmológica universal son cero. Esta solución es una aproximación útil para describir objetos astronómicos de rotación lenta, como muchas estrellas y planetas , incluyendo la Tierra y el Sol. Fue hallada por Karl Schwarzschild e independientemente por Johannes Droste en 1916.

Según el teorema de Birkhoff , la métrica de Schwarzschild es la solución de vacío esféricamente simétrica más general de las ecuaciones de campo de Einstein. Un agujero negro de Schwarzschild , o agujero negro estático , es un agujero negro que no posee carga eléctrica ni momento angular (no rotatorio). Un agujero negro de Schwarzschild se describe mediante la métrica de Schwarzschild y no se puede distinguir de ningún otro agujero negro de Schwarzschild salvo por su masa.

El agujero negro de Schwarzschild se caracteriza por un límite esférico circundante, llamado horizonte de sucesos , que está situado en el radio de Schwarzschild ( ⁠${\displaystyle r_{\text{s}}}$⁠ ), a menudo llamado el radio de un agujero negro. El límite no es una superficie física, y una persona que cayera a través del horizonte de sucesos (antes de ser destrozada por las fuerzas de marea) no notaría ninguna superficie física en esa posición; es una superficie matemática que es significativa para determinar las propiedades del agujero negro. Cualquier masa no giratoria y sin carga que sea menor que su radio de Schwarzschild forma un agujero negro. La solución de las ecuaciones de campo de Einstein es válida para cualquier masa M , por lo que en principio (dentro de la teoría de la relatividad general) un agujero negro de Schwarzschild de cualquier masa podría existir si las condiciones se volvieran suficientemente favorables para permitir su formación.

En las proximidades de un agujero negro de Schwarzschild, el espacio se curva tanto que incluso los rayos de luz se desvían, y la luz muy cercana puede desviarse tanto que recorre varias veces la circunferencia del agujero negro. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

La métrica de Schwarzschild es una métrica lorentziana esféricamente simétrica (aquí, con la convención de signatura (+ − − −) ), definida en (un subconjunto de) $${\displaystyle \mathbb {R} \times \left(E^{3}-O\right)\cong \mathbb {R} \times (0,\infty )\times S^{2}}$$ dónde${\displaystyle E^{3}}$es un espacio euclidiano tridimensional, y${\displaystyle S^{2}\subset E^{3}}$es la esfera doble. El grupo de rotación${\displaystyle \mathrm {SO} (3)=\mathrm {SO} (E^{3})}$actúa sobre el${\displaystyle E^{3}-O}$o${\displaystyle S^{2}}$factor como rotaciones alrededor del centro${\displaystyle O}$, mientras dejaba el primero${\displaystyle \mathbb {R} }$factor sin cambios. La métrica de Schwarzschild es una solución de las ecuaciones de campo de Einstein en el espacio vacío, lo que significa que es válida solo fuera del cuerpo gravitante. Es decir, para un cuerpo esférico de radio${\displaystyle R}$La solución es válida para${\displaystyle r>R}$Para describir el campo gravitatorio tanto dentro como fuera del cuerpo gravitatorio, la solución de Schwarzschild debe coincidir con alguna solución interior adecuada en${\displaystyle r=R}$⁠ , ^{[ 4 ]} como la métrica de Schwarzschild interior .

En coordenadas de Schwarzschild${\displaystyle (t,r,\theta ,\phi )}$La métrica de Schwarzschild (o equivalentemente, el elemento de línea para el tiempo propio ) tiene la forma $${\displaystyle {ds}^{2}=c^{2}\,{d\tau }^{2}=\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)c^{2}\,dt^{2}-\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)^{-1}\,dr^{2}-r^{2}{d\Omega }^{2},}$$ dónde${\displaystyle {d\Omega }^{2}}$es la métrica en la esfera bidimensional, es decir${\displaystyle {d\Omega }^{2}=\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right)}$⁠ . Además,

• ${\displaystyle d\tau ^{2}}$es positivo para curvas de tipo temporal, en cuyo caso${\displaystyle \tau }$es el tiempo propio (tiempo medido por un reloj que se mueve a lo largo de la misma línea de universo que una partícula de prueba ),
• ${\displaystyle c}$es la velocidad de la luz ,
• ${\displaystyle t}$es, para${\displaystyle r>r_{\text{s}}}$⁠ , la coordenada temporal (medida por un reloj situado infinitamente lejos del cuerpo masivo y estacionario con respecto a él),
• ${\displaystyle r}$es, para${\displaystyle r>r_{\text{s}}}$⁠ , la coordenada radial (medida como la circunferencia, dividida por 2 π , de una esfera centrada alrededor del cuerpo masivo),
• ${\displaystyle \Omega }$es un punto en la esfera bidimensional${\displaystyle S^{2}}$⁠ ,
• ${\displaystyle \theta }$ es la colatitud de${\displaystyle \Omega }$(ángulo desde el norte, en unidades de radianes ) definido después de elegir arbitrariamente un eje z ,
• ${\displaystyle \phi }$es la longitud de${\displaystyle \Omega }$(también en radianes) alrededor del eje z elegido , y
• ${\displaystyle r_{\text{s}}}$es el radio de Schwarzschild del cuerpo masivo, un factor de escala que está relacionado con su masa.${\displaystyle M}$por​${\displaystyle r_{\text{s}}={2GM}/{c^{2}}}$, donde${\displaystyle G}$es la constante gravitacional . ^{[ 5 ]}

La métrica de Schwarzschild tiene una singularidad para r = 0 , que es una singularidad de curvatura intrínseca. También parece tener una singularidad en el horizonte de sucesos r = r _s . Dependiendo del punto de vista, la métrica se define, por lo tanto, solo en la región exterior.${\displaystyle r>r_{\text{s}}}$, solo en la región interior${\displaystyle r<r_{\text{s}}}$o su unión disjunta. Sin embargo, la métrica es en realidad no singular a lo largo del horizonte de eventos, como se observa en coordenadas adecuadas (véase más abajo). Para${\displaystyle r\gg r_{\text{s}}}$⁠ , la métrica de Schwarzschild es asintótica a la métrica de Lorentz estándar en el espacio de Minkowski. Para casi todos los objetos astrofísicos, la razón${\displaystyle {\frac {r_{\text{s}}}{R}}}$es extremadamente pequeño. Por ejemplo, el radio de Schwarzschild${\displaystyle r_{\text{s}}^{({\text{Earth}})}}$de la Tierra es aproximadamente8,9  mm , mientras que el Sol, que es3,3 × 10 ⁵ veces más masivo ^{[ 6 ]} tiene un radio de Schwarzschild${\displaystyle r_{\text{s}}^{({\text{Sun}})}}$de aproximadamente 3,0  km. La relación se vuelve grande solo en las proximidades de agujeros negros y otros objetos ultradensos como las estrellas de neutrones .

La coordenada radial resulta tener un significado físico como la "distancia propia entre dos eventos que ocurren simultáneamente en relación con los relojes geodésicos que se mueven radialmente, estando ambos eventos situados en la misma línea de coordenadas radiales". ^{[ 7 ]}

La solución de Schwarzschild es análoga a una teoría clásica newtoniana de la gravedad que corresponde al campo gravitatorio alrededor de una partícula puntual. Incluso en la superficie de la Tierra, las correcciones a la gravedad newtoniana son solo una parte en mil millones. ^{[ 8 ]} Sin embargo, esto es suficiente para que la métrica se utilice para corregir la dilatación del tiempo gravitatoria en el Sistema de Posicionamiento Global .

La solución de Schwarzschild recibe su nombre en honor a Karl Schwarzschild , quien halló la solución exacta en 1915 y la publicó en enero de 1916, ^{[ 9 ]} poco más de un mes después de la publicación de la teoría de la relatividad general de Einstein. Fue la primera solución exacta de las ecuaciones de campo de Einstein, aparte de la solución trivial del espacio plano . Schwarzschild falleció poco después de la publicación de su artículo, a consecuencia de una enfermedad (que se cree que fue pénfigo ) que desarrolló mientras servía en el ejército alemán durante la Primera Guerra Mundial . ^{[ 10 ]}

Johannes Droste en 1916 ^{[ 11 ]} produjo de forma independiente la misma solución que Schwarzschild, utilizando una derivación más simple y directa. ^{[ 12 ]}

En los primeros años de la relatividad general, existía mucha confusión sobre la naturaleza de las singularidades encontradas en las soluciones de Schwarzschild y otras soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein . En su artículo original, Schwarzschild situó lo que hoy conocemos como el horizonte de sucesos en el origen de su sistema de coordenadas. En este artículo también introdujo la coordenada radial de Schwarzschild ( r en las ecuaciones anteriores) como variable auxiliar. En sus ecuaciones, Schwarzschild utilizaba una coordenada radial diferente, cuyo valor era cero en el radio de Schwarzschild.

Un análisis más completo de la estructura de singularidades fue presentado por David Hilbert ^{[ 13 ]} al año siguiente, identificando las singularidades tanto en r = 0 como _en r = rs . Si bien existía un consenso general de que la singularidad en r = 0 era una singularidad física "genuina _" , la naturaleza de la singularidad en r = rs seguía sin estar clara. ^{[ 14 ]}

En 1921, Paul Painlevé y, en 1922 , Allvar Gullstrand, produjeron de forma independiente una métrica, una solución esféricamente simétrica de las ecuaciones de Einstein, que ahora sabemos que es una transformación de coordenadas de la métrica de Schwarzschild, las coordenadas de Gullstrand-Painlevé , en la que no había singularidad en r = r _s . Sin embargo, no reconocieron que sus soluciones eran simplemente transformaciones de coordenadas y, de hecho, utilizaron su solución para argumentar que la teoría de Einstein era errónea. En 1924, Arthur Eddington produjo la primera transformación de coordenadas ( coordenadas de Eddington-Finkelstein ) que demostró que la singularidad en r = r _s era un artefacto de coordenadas, aunque también parece haber ignorado la importancia de este descubrimiento. Más tarde, en 1932, Georges Lemaître dio una transformación de coordenadas diferente ( coordenadas de Lemaître ) con el mismo efecto y fue el primero en reconocer que esto implicaba que la singularidad en r = r _s no era física. En 1939, Howard Robertson demostró que un observador en caída libre que desciende en la métrica de Schwarzschild cruzaría la singularidad r = r _s en una cantidad finita de tiempo propio, aunque esto tomaría una cantidad infinita de tiempo en términos de tiempo de coordenadas t . ^{[ 14 ]}

En 1950, John Synge publicó un artículo ^{[ 15 ]} que mostraba la extensión analítica máxima de la métrica de Schwarzschild, demostrando nuevamente que la singularidad en r = r _s era un artefacto de coordenadas y que representaba dos horizontes. Un resultado similar fue redescubierto posteriormente por George Szekeres [ ^{16 ] e} independientemente por Martin Kruskal ^{[ 17 ]} . Las nuevas coordenadas, conocidas hoy como coordenadas de Kruskal-Szekeres, eran mucho más simples que las de Synge, pero ambas proporcionaban un único conjunto de coordenadas que abarcaba todo el espaciotiempo. Sin embargo, quizás debido a la poca repercusión de las revistas en las que se publicaron los artículos de Lemaître y Synge, sus conclusiones pasaron desapercibidas, y muchos de los principales actores en el campo, incluido Einstein, creían que la singularidad en el radio de Schwarzschild era física. ^{[ 14 ]} La derivación posterior de Synge de la solución métrica de Kruskal-Szekeres, ^{[ 18 ]} que fue motivada por el deseo de evitar "usar coordenadas [Schwarzschild] 'malas' para obtener coordenadas [Kruskal-Szekeres] 'buenas'", ha sido generalmente subestimada en la literatura, pero fue adoptada por Chandrasekhar en su monografía sobre agujeros negros. ^{[ 19 ]}

Se lograron avances reales en la década de 1960 cuando la formulación matemáticamente rigurosa, expresada en términos de geometría diferencial , se incorporó al campo de la relatividad general, lo que permitió definiciones más exactas de lo que significa que una variedad lorentziana sea singular. Esto condujo a la identificación definitiva de la singularidad r = r _s en la métrica de Schwarzschild como un horizonte de eventos , es decir, una hipersuperficie en el espaciotiempo que solo puede cruzarse en una dirección. ^{[ 14 ]}

La solución de Schwarzschild parece tener singularidades en r = 0 y r = r _s ; algunos de los componentes métricos "explotan" (implican división por cero o multiplicación por infinito) en estos radios. Dado que se espera que la métrica de Schwarzschild sea válida solo para aquellos radios mayores que el radio R del cuerpo gravitante, no hay problema siempre que R > r _s . Para las estrellas y planetas ordinarios, esto siempre es así. Por ejemplo, el radio del Sol es aproximadamente700 000  km , mientras que su radio de Schwarzschild es solo3  km .

La singularidad en r = r _s divide las coordenadas de Schwarzschild en dos parches desconectados . La solución exterior de Schwarzschild con r > r _s es la que está relacionada con los campos gravitatorios de las estrellas y los planetas. La solución interior de Schwarzschild con 0 ≤ r < r _s , que contiene la singularidad en r = 0 , está completamente separada del parche exterior por la singularidad en r = r _s . Por lo tanto, las coordenadas de Schwarzschild no dan ninguna conexión física entre los dos parches, que pueden considerarse soluciones separadas. Sin embargo, la singularidad en r = r _s es una ilusión; es un ejemplo de lo que se llama una singularidad de coordenadas . Como su nombre lo indica, la singularidad surge de una mala elección de coordenadas o condiciones de coordenadas . Al cambiar a un sistema de coordenadas diferente (por ejemplo, coordenadas de Lemaître , coordenadas de Eddington-Finkelstein , coordenadas de Kruskal-Szekeres , coordenadas de Novikov o coordenadas de Gullstrand-Painlevé ), la métrica se vuelve regular en r = r _s y puede extender el parche externo a valores de r menores que r _s . Usando una transformación de coordenadas diferente, se puede relacionar el parche externo extendido con el parche interno. ^{[ 20 ]}

El caso r = 0 es diferente, sin embargo. Si se pide que la solución sea válida para todo r, se encuentra con una verdadera singularidad física, o singularidad gravitacional , en el origen. Para ver que se trata de una verdadera singularidad, hay que observar cantidades que son independientes de la elección de coordenadas. Una de esas cantidades importantes es el invariante de Kretschmann , que viene dado por $${\displaystyle R^{\alpha \beta \gamma \delta }R_{\alpha \beta \gamma \delta }={\frac {12r_{\mathrm {s} }^{2}}{r^{6}}}={\frac {48G^{2}M^{2}}{c^{4}r^{6}}}\,.}$$

En r = 0, la curvatura se vuelve infinita, lo que indica la presencia de una singularidad. En este punto, la métrica no puede extenderse de forma continua (el invariante de Kretschmann implica derivadas segundas de la métrica), por lo que el espaciotiempo deja de estar bien definido. Además, Sbierski ^{[ 21 ]} demostró que la métrica no puede extenderse ni siquiera de forma continua. Durante mucho tiempo se pensó que tal solución era irreal. Sin embargo, una mayor comprensión de la relatividad general llevó a la constatación de que tales singularidades eran una característica genérica de la teoría y no solo un caso especial exótico.

La solución de Schwarzschild, considerada válida para todo r > 0 , se denomina agujero negro de Schwarzschild. Es una solución perfectamente válida de las ecuaciones de campo de Einstein, aunque (al igual que otros agujeros negros) posee propiedades bastante extrañas. Para r < r _s, la coordenada radial de Schwarzschild r se vuelve de tipo temporal y la coordenada temporal t se vuelve de tipo espacial . ^{[ 22 ]} Una curva en r constante deja de ser una línea de universo posible para una partícula u observador, incluso si se ejerce una fuerza para intentar mantenerla allí; esto ocurre porque el espaciotiempo se ha curvado tanto que la dirección de causa y efecto (el futuro cono de luz de la partícula ) apunta hacia la singularidad. La superficie r = r _s delimita lo que se denomina el horizonte de sucesos del agujero negro. Representa el punto más allá del cual la luz ya no puede escapar del campo gravitatorio. Cualquier objeto físico cuyo radio R sea menor o igual al radio de Schwarzschild ha sufrido un colapso gravitatorio y se ha convertido en un agujero negro.

La solución de Schwarzschild puede expresarse mediante diversas coordenadas, además de las utilizadas anteriormente. Cada elección de coordenadas suele resaltar distintas características de la solución. La tabla siguiente muestra algunas opciones comunes.

En la tabla anterior, se ha introducido una notación abreviada para mayor brevedad. La velocidad de la luz c se ha establecido en uno . La notación $${\displaystyle g_{\Omega }=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}}$$ Se utiliza para la métrica de una esfera bidimensional de radio unitario. Además, en cada entrada, R y T denotan opciones alternativas de coordenadas radiales y temporales para las coordenadas particulares. Cabe señalar que R o T pueden variar de una entrada a otra.

Las coordenadas de Kruskal-Szekeres tienen la forma a la que se puede aplicar la transformación de Belinski-Zakharov . Esto implica que el agujero negro de Schwarzschild es una forma de solitón gravitacional .

La curvatura espacial de la solución de Schwarzschild para r > r _s se puede visualizar como muestra el gráfico. Consideremos una sección ecuatorial de tiempo constante H a través de la solución de Schwarzschild fijando θ = ⁠ π / 2 ⁠ , t = constante, y dejando que varíen las coordenadas de Schwarzschild restantes ( r , φ ) . Imaginemos ahora que hay una dimensión euclidiana adicional w , que no tiene realidad física (no es parte del espacio-tiempo). Luego, reemplacemos el plano ( r , φ ) con una superficie con hendiduras en la dirección w según la ecuación ( paraboloide de Flamm ). $${\displaystyle w=2{\sqrt {r_{\text{s}}\left(r-r_{\text{s}}\right)}}.}$$

Esta superficie tiene la propiedad de que las distancias medidas dentro de ella coinciden con las distancias en la métrica de Schwarzschild, porque con la definición de w anterior, $${\displaystyle dw^{2}+dr^{2}+r^{2}\,d\varphi ^{2}={\frac {dr^{2}}{1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}+r^{2}\,d\varphi ^{2}=-ds^{2}.}$$

Así, el paraboloide de Flamm resulta útil para visualizar la curvatura espacial de la métrica de Schwarzschild. Sin embargo, no debe confundirse con un pozo gravitatorio . Ninguna partícula ordinaria (masiva o sin masa) puede tener una línea de universo que se encuentre sobre el paraboloide, puesto que todas las distancias en él son de tipo espacial (se trata de una sección transversal en un instante determinado, por lo que cualquier partícula que se mueva sobre él tendría una velocidad infinita ). Un taquión podría tener una línea de universo de tipo espacial que se encuentre completamente sobre un único paraboloide. No obstante, incluso en ese caso, su trayectoria geodésica no es la que se obtiene mediante una analogía de "lámina elástica" de un pozo gravitatorio: en particular, si la hendidura se dibuja apuntando hacia arriba en lugar de hacia abajo, la trayectoria geodésica del taquión sigue curvándose hacia la masa central, no alejándose de ella. Consulte el artículo sobre pozos gravitatorios para obtener más información.

El paraboloide de Flamm se puede derivar de la siguiente manera. La métrica euclidiana en coordenadas cilíndricas ( r , φ , w ) se escribe $${\displaystyle -ds^{2}=dw^{2}+dr^{2}+r^{2}\,d\varphi ^{2}.}$$

Si describimos la superficie mediante la función w = w ( r ) , la métrica euclidiana se puede escribir como $${\displaystyle -ds^{2}=\left(1+\left({\frac {dw}{dr}}\right)^{2}\right)\,dr^{2}+r^{2}\,d\varphi ^{2}.}$$

Comparando esto con la métrica de Schwarzschild en el plano ecuatorial ( θ = π/2 ) en un tiempo fijo ( t = constante, dt = 0 ), $${\displaystyle -ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)^{-1}\,dr^{2}+r^{2}\,d\varphi ^{2},}$$ produce una expresión integral para w ( r ) : $${\displaystyle {\begin{aligned}w(r)&=\int {\frac {dr}{\sqrt {{\frac {r}{r_{\text{s}}}}-1}}}\\&=2r_{\text{s}}{\sqrt {{\frac {r}{r_{\text{s}}}}-1}}+{\text{constant}},\end{aligned}}}$$ cuya solución es el paraboloide de Flamm.

Una partícula que orbita en la métrica de Schwarzschild puede tener una órbita circular estable con r > 3 r _s . Las órbitas circulares con r entre 1,5 r _s y 3 r _s son inestables, y no existen órbitas circulares para r < 1,5 r _s . La órbita circular de radio mínimo de 1,5 r _s corresponde a una velocidad orbital cercana a la de la luz. Es posible que una partícula tenga un valor constante de r entre r _s y 1,5 r _s , pero solo si alguna fuerza actúa para mantenerla en ese valor.

Las órbitas no circulares, como la de Mercurio , permanecen más tiempo en radios pequeños de lo que cabría esperar según la gravedad newtoniana . Esto puede considerarse una versión menos extrema del caso más drástico en el que una partícula atraviesa el horizonte de sucesos y permanece dentro de él indefinidamente. Entre el caso de Mercurio y el de un objeto que cae más allá del horizonte de sucesos, existen posibilidades exóticas como las órbitas de filo de cuchillo, en las que el satélite puede realizar un número arbitrariamente grande de órbitas casi circulares, tras lo cual vuelve a alejarse.

El grupo de isometría de la métrica de Schwarzschild es${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathrm {O} (3)\times \{\pm 1\}}$, donde${\displaystyle \mathrm {O} (3)}$es el grupo ortogonal de rotaciones y reflexiones en tres dimensiones,${\displaystyle \mathbb {R} }$comprende las traducciones de tiempo y${\displaystyle \{\pm 1\}}$es el grupo generado por la inversión del tiempo.

Este es, por lo tanto, el subgrupo del grupo de Poincaré de diez dimensiones que toma el eje del tiempo (trayectoria de la estrella) hacia sí mismo. Omite las traslaciones espaciales (tres dimensiones) y las transformaciones de Lorentz (tres dimensiones). Conserva las traslaciones temporales (una dimensión) y las rotaciones (tres dimensiones). Así, tiene cuatro dimensiones. Al igual que el grupo de Poincaré, tiene cuatro componentes conexas: la componente de la identidad; la componente con el tiempo invertido; la componente con inversión espacial; y la componente que es a la vez temporal e invertida espacialmente.

El escalar de curvatura de Ricci y el tensor de curvatura de Ricci son ambos cero. Los componentes no nulos del tensor de curvatura de Riemann vienen dados por ^{[ 25 ].}$${\displaystyle {\begin{aligned}-R^{t}{}_{rtr}&=2R^{\theta }{}_{r\theta r}=2R^{\phi }{}_{r\phi r}={\frac {r_{\text{s}}}{r^{2}(r_{\text{s}}-r)}},\\2R^{t}{}_{\theta t\theta }&=2R^{r}{}_{\theta r\theta }=-R^{\phi }{}_{\theta \phi \theta }=-{\frac {r_{\text{s}}}{r}},\\2R^{t}{}_{\phi t\phi }&=2R^{r}{}_{\phi r\phi }=-R^{\theta }{}_{\phi \theta \phi }=-{\frac {r_{\text{s}}\sin ^{2}(\theta )}{r}},\\R^{r}{}_{trt}&=-2R^{\theta }{}_{t\theta t}=-2R^{\phi }{}_{t\phi t}=c^{2}{\frac {r_{\text{s}}(r_{\text{s}}-r)}{r^{4}}},\end{aligned}}}$$ de donde se puede ver que${\displaystyle R^{\gamma }{}_{\alpha \gamma \beta }=0}$Seis de estas fórmulas son la ecuación 5.13 en Carroll ^{[ 26 ]} e implican las otras 6 por${\displaystyle R^{\alpha }{}_{\beta \gamma \delta }=g^{\alpha \kappa }g_{\beta \lambda }R^{\lambda }{}_{\kappa \delta \gamma }}$Los componentes que se pueden obtener mediante otras simetrías del tensor de Riemann no se muestran.

Para comprender el significado físico de estas cantidades, es útil expresar el tensor de curvatura en una base ortonormal. En una base ortonormal de un observador, los componentes no nulos en unidades geométricas son ^{[ 25 ].}$${\displaystyle {\begin{aligned}R^{\hat {r}}{}_{{\hat {t}}{\hat {r}}{\hat {t}}}&=-R^{\hat {\theta }}{}_{{\hat {\phi }}{\hat {\theta }}{\hat {\phi }}}=-{\frac {r_{\text{s}}}{r^{3}}},\\R^{\hat {\theta }}{}_{{\hat {t}}{\hat {\theta }}{\hat {t}}}&=R^{\hat {\phi }}{}_{{\hat {t}}{\hat {\phi }}{\hat {t}}}=-R^{\hat {r}}{}_{{\hat {\theta }}{\hat {r}}{\hat {\theta }}}=-R^{\hat {r}}{}_{{\hat {\phi }}{\hat {r}}{\hat {\phi }}}={\frac {r_{\text{s}}}{2r^{3}}}.\end{aligned}}}$$ Nuevamente, no se muestran los componentes que se pueden obtener mediante las simetrías del tensor de Riemann. Estos resultados son invariantes a cualquier transformación de Lorentz, por lo que los componentes no cambian para observadores no estáticos. La ecuación de desviación geodésica muestra que la aceleración de marea entre dos observadores separados por${\displaystyle \xi ^{\hat {j}}}$es${\displaystyle D^{2}\xi ^{\hat {j}}/D\tau ^{2}=-R^{\hat {j}}{}_{{\hat {t}}{\hat {k}}{\hat {t}}}\xi ^{\hat {k}}}$, por lo tanto, un cuerpo de longitud${\displaystyle L}$se estira en la dirección radial por una aceleración aparente${\displaystyle (r_{\text{s}}/r^{3})c^{2}L}$y comprimido en las direcciones perpendiculares por ${\displaystyle -(r_{\text{s}}/(2r^{3}))c^{2}L}$.

• Derivación de la solución de Schwarzschild
• Métrica de Reissner-Nordström (solución cargada y no rotatoria)
• Métrica de Kerr (solución rotatoria sin carga)
• Métrica de Kerr-Newman (solución cargada y rotatoria)
• Agujero negro , una revisión general
• Coordenadas de Schwarzschild
• Coordenadas de Kruskal-Székeres
• Coordenadas de Eddington-Finkelstein
• Coordenadas de Gullstrand-Painlevé
• Coordenadas de Lemaître (solución de Schwarzschild en coordenadas síncronas )
• Campos de referencia en la relatividad general (observadores de Lemaître en el vacío de Schwarzschild)
• Ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff (ecuaciones métricas y de presión de un cuerpo estático y esféricamente simétrico de material isotrópico)
• longitud de Planck

• Schwarzschild, K. (1916). "Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie" . Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften . 7 : 189– 196. Código bibliográfico : 1916AbhKP1916..189S .

• Texto del artículo original, en Wikisource
• Traducción: Antoci, S.; Loinger, A. (1999). "Sobre el campo gravitatorio de un punto de masa según la teoría de Einstein". arXiv : physics/9905030 .
• Un comentario al artículo, que ofrece una derivación más sencilla: Bel, L. (2007). "Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktesnach der Einsteinschen Theorie". arXiv : 0709.2257 [ gr-qc ].

• Schwarzschild, K. (1916). "Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit" . Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften . 1 : 424.

• Texto del artículo original, en Wikisource
• Traducción: Antoci, S. (1999). "Sobre el campo gravitatorio de una esfera de fluido incompresible según la teoría de Einstein". arXiv : physics/9912033 .

• Flamm, L. (1916). "Beiträge zur Einstein'schen Gravitationstheorie". Physikalische Zeitschrift . 17 : 448.
• Adler, R.; Bazin, M.; Schiffer, M. (1975). Introducción a la relatividad general (2.ª  ed.). McGraw-Hill . Capítulo 6. ISBN 0-07-000423-4.
• Landau, LD; Lifshitz, EM (1975). La teoría clásica de campos . Curso de física teórica . Vol.  2 (4.ª  edición revisada en inglés). Pergamon Press . Capítulo 12. ISBN 0-08-025072-6.
• Misner, CW; Thorne, KS; Wheeler, JA (1970). Gravitación . WH Freeman . Capítulos 31 y 32. ISBN 0-7167-0344-0.
• Weinberg, S. (1972). Gravitación y cosmología: Principios y aplicaciones de la teoría general de la relatividad . John Wiley & Sons . Capítulo 8. ISBN 0-471-92567-5.
• Taylor, EF; Wheeler, JA (2000). Explorando los agujeros negros: Introducción a la relatividad general . Addison-Wesley . ISBN 0-201-38423-X.
• Heinzle, JM; Steinbauer, R. (2002). "Observaciones sobre la geometría distribucional de Schwarzschild". Journal of Mathematical Physics . 43 (3): 1493– 1508. arXiv : gr-qc/0112047 . Bibcode : 2002JMP....43.1493H . doi : 10.1063/1.1448684 . S2CID 119677857 . 
• Sánchez, Norma (15 de agosto de 1978). "Espectros de absorción y emisión de un agujero negro de Schwarzschild" . Physical Review D. 18 ( 4): 1030–1036 . Bibcode : 1978PhRvD..18.1030S . doi : 10.1103/PhysRevD.18.1030 .
• Persides, S. (1 de agosto de 1973). "Sobre la ecuación de onda radial en el espacio-tiempo de Schwarzschild" . Journal of Mathematical Physics . 14 (8): 1017– 1021. Bibcode : 1973JMP....14.1017P . doi : 10.1063/1.1666431 . ISSN 0022-2488 .