Potencia de un punto

En geometría plana elemental , la potencia de un punto es un número real que refleja la distancia relativa de un punto dado a un círculo dado. Fue introducida por Jakob Steiner en 1826. ^[1]

En concreto, la potencia de un punto con respecto a un círculo con centro y radio se define por ${\displaystyle \Pi(P)}$${\estilo de visualización P}$ ${\estilo de visualización c}$${\estilo de visualización O}$${\estilo de visualización r}$

${\displaystyle \Pi (P)=|PO|^{2}-r^{2}.}$

Si está fuera del círculo, entonces , si está en el círculo, entonces y si está dentro del círculo, entonces . ${\estilo de visualización P}$${\displaystyle \Pi(P)>0}$
${\estilo de visualización P}$${\displaystyle \Pi(P)=0}$
${\estilo de visualización P}$${\displaystyle \Pi(P)<0}$

Debido al teorema de Pitágoras, el número tiene los significados geométricos simples que se muestran en el diagrama: Para un punto fuera del círculo es el cuadrado de la distancia tangencial del punto al círculo . ${\displaystyle \Pi(P)}$${\estilo de visualización P}$${\displaystyle \Pi(P)}$${\estilo de visualización |PT|}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización c}$

Los puntos con igual potencia, isolíneas de , son círculos concéntricos al círculo . ${\displaystyle \Pi(P)}$${\estilo de visualización c}$

Steiner utilizó la potencia de un punto para demostrar varias afirmaciones sobre círculos, por ejemplo:

• Determinación de un círculo que interseca cuatro círculos por el mismo ángulo. ^[2]
• Resolviendo el problema de Apolonio
• Construcción de los círculos de Malfatti : ^[3] Para un triángulo dado, determine tres círculos que se toquen entre sí y dos lados del triángulo cada uno.
• Versión esférica del problema de Malfatti: ^[4] El triángulo es esférico.

Las herramientas esenciales para las investigaciones sobre círculos son el eje radical de dos círculos y el centro radical de tres círculos.

El diagrama de potencia de un conjunto de círculos divide el plano en regiones dentro de las cuales el círculo que minimiza la potencia es constante.

De manera más general, el matemático francés Edmond Laguerre definió la potencia de un punto con respecto a cualquier curva algebraica de manera similar.

Además de las propiedades mencionadas en el prólogo, existen otras propiedades:

Para cualquier punto fuera del círculo hay dos puntos tangentes en el círculo , que tienen la misma distancia a . Por lo tanto, el círculo con centro en , también pasa y se corta ortogonalmente: ${\estilo de visualización P}$ ${\estilo de visualización c}$$Estilo de visualización T_{1}, T_{2}$${\estilo de visualización c}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización o}$${\estilo de visualización P}$$Estilo de visualización T_{1}$$Estilo de visualización T_{2}$${\estilo de visualización c}$

• El círculo con centro y radio interseca al círculo ortogonal .${\estilo de visualización P}$${\displaystyle {\sqrt {\Pi (P)}}}$${\estilo de visualización c}$

Si el radio del círculo centrado en es diferente de uno se obtiene el ángulo de intersección entre los dos círculos aplicando la Ley de los cosenos (ver el diagrama): ${\estilo de visualización \rho}$${\estilo de visualización P}$${\displaystyle {\sqrt {\Pi (P)}}}$${\estilo de visualización \varphi}$

${\displaystyle \rho ^{2}+r^{2}-2\rho r\cos \varphi =|PO|^{2}}$

${\displaystyle \rightarrow \ \cos \varphi ={\frac {\rho ^{2}+r^{2}-|PO|^{2}}{2\rho r}}={\frac {\rho ^{2}-\Pi (P)}{2\rho r}}}$

( y son normales a las tangentes del círculo.) $Estilo de visualización PS_{1}$$Estilo de visualización OS_{1}$

Si se encuentra dentro del círculo azul, entonces y siempre es diferente de . ${\estilo de visualización P}$${\displaystyle \Pi(P)<0}$${\estilo de visualización \varphi}$${\estilo de visualización 90^{\circ }}$

Si se da el ángulo , entonces se obtiene el radio resolviendo la ecuación cuadrática. ${\estilo de visualización \varphi}$${\estilo de visualización \rho}$

${\displaystyle \rho ^{2}-2\rho r\cos \varphi -\Pi (P)=0}$.

Para el teorema de las secantes intersecantes y el teorema de las cuerdas, la potencia de un punto juega el papel de un invariante :

• Teorema de la secante intersecante : Para un punto fuera de un círculo y los puntos de intersección de una recta secante con la siguiente afirmación es verdadera: , por lo tanto el producto es independiente de la recta . Si es tangente entonces y la afirmación es el teorema de la tangente-secante .${\estilo de visualización P}$ ${\estilo de visualización c}$$Estilo de visualización S_{1},S_{2}}$${\estilo de visualización g}$${\estilo de visualización c}$${\displaystyle |PS_{1}|\cdot |PS_{2}|=\Pi (P)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle S_{1}=S_{2}}$
• Teorema de las cuerdas intersecantes : Para un punto dentro de un círculoy los puntos de intersecciónde una línea secanteconla siguiente afirmación es verdadera:, por lo tanto, el producto es independiente de la línea.${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$${\displaystyle S_{1},S_{2}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle c}$${\displaystyle |PS_{1}|\cdot |PS_{2}|=-\Pi (P)}$${\displaystyle g}$

Sea un punto y dos círculos no concéntricos con centros y radios . El punto tiene la potencia con respecto al círculo . El conjunto de todos los puntos con es una línea llamada eje radical . Contiene posibles puntos comunes de los círculos y es perpendicular a la línea . ${\displaystyle P}$${\displaystyle c_{1},c_{2}}$${\displaystyle O_{1},O_{2}}$${\displaystyle r_{1},r_{2}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \Pi _{i}(P)}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \Pi _{1}(P)=\Pi _{2}(P)}$${\displaystyle {\overline {O_{1}O_{2}}}}$

Ambos teoremas, incluido el teorema de la tangente-secante , pueden demostrarse uniformemente:

Sea un punto, un círculo con el origen como centro y un vector unitario arbitrario . Los parámetros de los posibles puntos comunes de la línea (que pasa por ) y el círculo se pueden determinar insertando la ecuación paramétrica en la ecuación del círculo: ${\displaystyle P:{\vec {p}}}$${\displaystyle c:{\vec {x}}^{2}-r^{2}=0}$${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle t_{1},t_{2}}$${\displaystyle g:{\vec {x}}={\vec {p}}+t{\vec {v}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle ({\vec {p}}+t{\vec {v}})^{2}-r^{2}=0\quad \rightarrow \quad t^{2}+2t\;{\vec {p}}\cdot {\vec {v}}+{\vec {p}}^{2}-r^{2}=0\ .}$

Del teorema de Vieta se obtiene:

${\displaystyle t_{1}\cdot t_{2}={\vec {p}}^{2}-r^{2}=\Pi (P)}$. (independiente de )${\displaystyle {\vec {v}}}$

${\displaystyle \Pi (P)}$es la potencia de con respecto al círculo . ${\displaystyle P}$${\displaystyle c}$

Por lo tanto se obtiene la siguiente afirmación para los puntos : ${\displaystyle |{\vec {v}}|=1}$${\displaystyle S_{1},S_{2}}$

${\displaystyle |PS_{1}|\cdot |PS_{2}|=t_{1}t_{2}=\Pi (P)\ }$, si está fuera del círculo,${\displaystyle P}$

${\displaystyle |PS_{1}|\cdot |PS_{2}|=-t_{1}t_{2}=-\Pi (P)\ }$, si está dentro del círculo (¡ tienen signos diferentes!).${\displaystyle P}$${\displaystyle t_{1},t_{2}}$

En el caso de que la línea sea tangente y el cuadrado de la distancia tangencial del punto al círculo . ${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \Pi (P)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle c}$

Los puntos de similitud son una herramienta esencial para las investigaciones de Steiner sobre los círculos. ^[5]

Dados dos círculos

${\displaystyle \ c_{1}:({\vec {x}}-{\vec {m}}_{1})-r_{1}^{2}=0,\quad c_{2}:({\vec {x}}-{\vec {m}}_{2})-r_{2}^{2}=0\ .}$

Una homotecia ( similitud ) que se proyecta sobre estiramientos (sacudidas) de radio a y tiene su centro en la línea , porque . Si el centro está entre , el factor de escala es . En el otro caso . En cualquier caso: ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle Z:{\vec {z}}}$${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$${\displaystyle \sigma (M_{1})=M_{2}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle M_{1},M_{2}}$${\displaystyle s=-{\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}$${\displaystyle s={\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}$

${\displaystyle \sigma ({\vec {m}}_{1})={\vec {z}}+s({\vec {m}}_{1}-{\vec {z}})={\vec {m}}_{2}}$.

Insertando y resolviendo los rendimientos: ${\displaystyle s=\pm {\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}$${\displaystyle {\vec {z}}}$

${\displaystyle {\vec {z}}={\frac {r_{1}{\vec {m}}_{2}\mp r_{2}{\vec {m}}_{1}}{r_{1}\mp r_{2}}}}$.

El punto se llama punto de similitud exterior y el punto de similitud interior . $${\displaystyle E:{\vec {e}}={\frac {r_{1}{\vec {m}}_{2}-r_{2}{\vec {m}}_{1}}{r_{1}-r_{2}}}}$$$${\displaystyle I:{\vec {i}}={\frac {r_{1}{\vec {m}}_{2}+r_{2}{\vec {m}}_{1}}{r_{1}+r_{2}}}}$$

En el caso de que se obtenga . En el caso de : es el punto en el infinito de la línea y es el centro de . En el caso de que los círculos se toquen entre sí en el punto interior (ambos círculos en el mismo lado de la línea tangente común). En el caso de que los círculos se toquen entre sí en el punto exterior (ambos círculos en diferentes lados de la línea tangente común). ${\displaystyle M_{1}=M_{2}}$${\displaystyle E=I=M_{i}}$
${\displaystyle r_{1}=r_{2}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle M_{1},M_{2}}$
${\displaystyle r_{1}=|EM_{1}|}$${\displaystyle E}$
${\displaystyle r_{1}=|IM_{1}|}$${\displaystyle I}$

Además:

• Si los círculos están disjuntos (los discos no tienen puntos en común), las tangentes comunes externas se encuentran en y las internas en .${\displaystyle E}$${\displaystyle I}$
• Si un círculo está contenido dentro de otro , los puntos se encuentran dentro de ambos círculos.${\displaystyle E,I}$
• Los pares son conjugados armónicos proyectivos : Su razón cruzada es .${\displaystyle M_{1},M_{2};E,I}$${\displaystyle (M_{1},M_{2};E,I)=-1}$

El teorema de Monge establece: Los puntos de similitud externos de tres círculos disjuntos se encuentran en una línea.

Sean dos círculos, su punto de semejanza exterior y una línea que pasa por , que corta a los dos círculos en cuatro puntos . De la propiedad definitoria del punto se obtiene ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle g}$${\displaystyle E}$${\displaystyle G_{1},H_{1},G_{2},H_{2}}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle {\frac {|EG_{1}|}{|EG_{2}|}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}={\frac {|EH_{1}|}{|EH_{2}|}}\ }$

${\displaystyle \rightarrow \ |EG_{1}|\cdot |EH_{2}|=|EH_{1}|\cdot |EG_{2}|\ }$

y del teorema de la secante (ver arriba) las dos ecuaciones

${\displaystyle |EG_{1}|\cdot |EH_{1}|=\Pi _{1}(E),\quad |EG_{2}|\cdot |EH_{2}|=\Pi _{2}(E).}$

Combinando estas tres ecuaciones obtenemos: Por lo tanto: (¡independiente de la línea  !). La afirmación análoga para el punto de similitud interno también es cierta. $${\displaystyle {\begin{aligned}\Pi _{1}(E)\cdot \Pi _{2}(E)&=|EG_{1}|\cdot |EH_{1}|\cdot |EG_{2}|\cdot |EH_{2}|\\&=|EG_{1}|^{2}\cdot |EH_{2}|^{2}=|EG_{2}|^{2}\cdot |EH_{1}|^{2}\ .\end{aligned}}}$$$${\displaystyle |EG_{1}|\cdot |EH_{2}|=|EG_{2}|\cdot |EH_{1}|={\sqrt {\Pi _{1}(E)\cdot \Pi _{2}(E)}}}$$${\displaystyle g}$${\displaystyle I}$

Las invariantes son llamadas por Steiner potencia común de los dos círculos ( gemeinschaftliche Potenz der beiden Kreise bezüglich ihrer Ähnlichkeitspunkte ). ^[6]${\textstyle {\sqrt {\Pi _{1}(E)\cdot \Pi _{2}(E)}},\ {\sqrt {\Pi _{1}(I)\cdot \Pi _{2}(I)}}}$

Los pares y de puntos son puntos antihomólogos . Los pares y son homólogos . ^{[7] [8]}${\displaystyle G_{1},H_{2}}$${\displaystyle H_{1},G_{2}}$${\displaystyle G_{1},G_{2}}$${\displaystyle H_{1},H_{2}}$

Para una segunda secante a través de : ${\displaystyle E}$

${\displaystyle |EH_{1}|\cdot |EG_{2}|=|EH'_{1}|\cdot |EG'_{2}|}$

Del teorema de la secante se obtiene:

Los cuatro puntos se encuentran en un círculo.${\displaystyle H_{1},G_{2},H'_{1},G'_{2}}$

Y análogamente:

Los cuatro puntos también se encuentran en un círculo.${\displaystyle G_{1},H_{2},G'_{1},H'_{2}}$

Como las líneas radicales de tres círculos se encuentran en la radical (ver: artículo línea radical), se obtiene:

Las secantes se encuentran en el eje radical de los dos círculos dados.${\displaystyle {\overline {H_{1}H'_{1}}},\;{\overline {G_{2}G'_{2}}}}$

Al desplazar la secante inferior (ver diagrama) hacia la superior, el círculo rojo se convierte en un círculo, que es tangente a ambos círculos dados. El centro del círculo tangente es la intersección de las líneas . Las secantes se convierten en tangentes en los puntos . Las tangentes se interceptan en la línea radical (en el diagrama, amarilla). ${\displaystyle {\overline {M_{1}H_{1}}},{\overline {M_{2}G_{2}}}}$${\displaystyle {\overline {H_{1}H'_{1}}},{\overline {G_{2}G'_{2}}}}$${\displaystyle H_{1},G_{2}}$${\displaystyle p}$

Consideraciones similares generan el segundo círculo tangente, que corta los círculos dados en los puntos (ver diagrama). ${\displaystyle G_{1},H_{2}}$

Todos los círculos tangentes a los círculos dados se pueden encontrar variando la línea . ${\displaystyle g}$

Posiciones de los centros

Si es el centro y el radio del círculo, que es tangente a los círculos dados en los puntos , entonces: ${\displaystyle X}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle H_{1},G_{2}}$

${\displaystyle \rho =|XM_{1}|-r_{1}=|XM_{2}|-r_{2}}$

${\displaystyle \rightarrow \ |XM_{2}|-|XM_{1}|=r_{2}-r_{1}.}$

Por lo tanto: los centros se encuentran en una hipérbola con

focos ,${\displaystyle M_{1},M_{2}}$

distancia de los vértices ^{[ aclaración necesaria ]} ,${\displaystyle 2a=r_{2}-r_{1}}$

el centro es el centro de ,${\displaystyle M}$${\displaystyle M_{1},M_{2}}$

excentricidad lineal y${\displaystyle c={\tfrac {|M_{1}M_{2}|}{2}}}$

${\displaystyle \ b^{2}=e^{2}-a^{2}={\tfrac {|M_{1}M_{2}|^{2}-(r_{2}-r_{1})^{2}}{4}}}$^{[ aclaración necesaria ]} .

Las consideraciones sobre los círculos tangentes externos conducen al resultado análogo:

Si es el centro y el radio del círculo, que es tangente a los círculos dados en los puntos , entonces: ${\displaystyle X}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle G_{1},H_{2}}$

${\displaystyle \rho =|XM_{1}|+r_{1}=|XM_{2}|+r_{2}}$

${\displaystyle \rightarrow \ |XM_{2}|-|XM_{1}|=-(r_{2}-r_{1}).}$

Los centros se encuentran en la misma hipérbola, pero en la rama derecha.

Véase también Problema de Apolonio .

La idea de la potencia de un punto con respecto a un círculo se puede extender a una esfera. ^[9] Los teoremas de las secantes y las cuerdas también son válidos para una esfera y se pueden demostrar literalmente como en el caso del círculo.

La potencia de un punto es un caso especial del producto Darboux entre dos círculos, que viene dado por ^[10]

${\displaystyle \left|A_{1}A_{2}\right|^{2}-r_{1}^{2}-r_{2}^{2}\,}$

donde A ₁ y A ₂ son los centros de los dos círculos y r ₁ y r ₂ son sus radios. La potencia de un punto surge en el caso especial de que uno de los radios sea cero.

Si los dos círculos son ortogonales, el producto Darboux se desvanece.

Si los dos círculos se intersecan, entonces su producto Darboux es

${\displaystyle 2r_{1}r_{2}\cos \varphi \,}$

donde φ es el ángulo de intersección (ver sección círculo ortogonal ).

Laguerre definió la potencia de un punto P con respecto a una curva algebraica de grado n como la suma de las distancias desde el punto hasta las intersecciones de un círculo a través del punto con la curva, dividida por la n- ésima potencia del diámetro d . Laguerre demostró que este número es independiente del diámetro (Laguerre 1905). En el caso en que la curva algebraica sea un círculo, esto no es exactamente lo mismo que la potencia de un punto con respecto a un círculo definida en el resto de este artículo, sino que difiere de ella por un factor de d ² .

• Coxeter, HSM (1969), Introducción a la geometría (2.ª ed.), Nueva York: Wiley.
• Darboux, Gaston (1872), "Sur les Relations entre les groupes de pointes, de cercles et de sphéres dans le plan et dans l'espace", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 1 : 323–392, doi : 10.24033 /asens.87.
• Laguerre, Edmond (1905), Oeuvres de Laguerre: Géométrie (en francés), Gauthier-Villars et fils, p. 20
• Steiner, Jacob (1826). "Einige geometrischen Betrachtungen" [Algunas consideraciones geométricas]. Diario de Crelle (en alemán). 1 : 161–184. doi :10.1515/crll.1826.1.161. S2CID  122065577.Figuras 8–26.
• Berger , Marcel (1987), Geometría I , Springer , ISBN 978-3-540-11658-5

• Ogilvy CS (1990), Excursiones en geometría , Dover Publications, págs. 6-23, ISBN 0-486-26530-7
• Coxeter HSM , Greitzer SL (1967), Geometry Revisited , Washington : MAA , págs. 27-31, 159-160, ISBN 978-0-88385-619-2
• Johnson RA (1960), Advanced Euclidean Geometry: An elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle (reimpresión de la edición de 1929 de Houghton Mifflin ed.), Nueva York: Dover Publications, págs. 28-34, ISBN 978-0-486-46237-0

• Jacob Steiner y el poder de un punto de convergencia
• Weisstein, Eric W. "Poder del círculo". MathWorld .
• Teorema de las cuerdas que se cruzan en el momento de cortar el nudo
• Teorema de las cuerdas que se cruzan con animación interactiva
• Teorema de las secantes intersecantes con animación interactiva