distribución secante hiperbólica

Una variable aleatoria sigue una distribución secante hiperbólica si su función de densidad de probabilidad puede relacionarse con la siguiente forma estándar de función de densidad mediante una transformación de ubicación y desplazamiento:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}\operatorname {sech} {\frac {\pi x}{2}},}$

donde "sech" denota la función secante hiperbólica.

La función de distribución acumulativa (cdf) de la distribución estándar es una versión escalada y desplazada de la función de Gudermann ,

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&={\frac {1}{2}}+{{\frac {1}{\pi }}\arctan }{\Bigl (}{\operatorname {sinh} {\frac {\pi x}{2}}}{\Bigr )}\\[8mu]&={{\frac {2}{\pi }}\arctan }{\Bigl (}{\exp {\frac {\pi x}{2}}}{\Bigr )}.\end{aligned}}}$

donde "arctan" es la función tangente inversa (circular) .

Johnson et al. (1995) ^{[ 1 ] : 147} sitúa esta distribución en el contexto de una clase de formas generalizadas de la distribución logística , pero utiliza una parametrización diferente de la distribución estándar en comparación con la que se presenta aquí. Ding (2014) ^{[ 2 ]} muestra tres ocurrencias de la distribución secante hiperbólica en el modelado y la inferencia estadística.

Considerando la suma (escalada) de${\displaystyle r}$Variables aleatorias secantes hiperbólicas independientes e idénticamente distribuidas :

${\displaystyle X={\frac {1}{\sqrt {r}}}\;(X_{1}+X_{2}+\;...\;+X_{r})}$

entonces en el límite${\displaystyle r\to \infty }$la distribución de${\displaystyle X}$tenderá a la distribución normal${\displaystyle N(0,1)}$, de acuerdo con el teorema del límite central .

Esto permite definir una familia conveniente de distribuciones con propiedades intermedias entre la secante hiperbólica y la distribución normal, controladas por el parámetro de forma.${\displaystyle r}$, que puede extenderse a valores no enteros mediante la función característica

${\displaystyle \varphi (t)={\big (}\operatorname {sech} (t/{\sqrt {r}}){\big )}^{r}}$

Los momentos se pueden calcular fácilmente a partir de la función característica. Se encuentra que la curtosis en exceso es${\displaystyle 2/r}$.

La distribución (y sus generalizaciones) también se puede desplazar y escalar trivialmente de la forma habitual para obtener una familia de localización-escala correspondiente :

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\sigma }}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}$

Se puede obtener una forma asimétrica de la distribución multiplicando por la exponencial.${\displaystyle e^{\theta x},|{\theta }|<{\pi }/2}$y normalizando, para obtener la distribución

${\displaystyle f(x)=\cos \theta \;{\frac {e^{\theta x}}{2\operatorname {cosh} ({\frac {\pi x}{2}})}}}$

donde el valor del parámetro${\displaystyle \theta =0}$corresponde a la distribución original.

La distribución de Champernowne tiene un parámetro adicional para dar forma al núcleo o a las alas.

Al permitir los cuatro ajustes anteriores se obtiene una distribución con cuatro parámetros que controlan la forma, la asimetría, la ubicación y la escala respectivamente, denominada distribución de Meixner ^{[ 3 ]} en honor a Josef Meixner , quien investigó por primera vez la familia, o distribución NEF-GHS ( Familia exponencial natural - Distribución secante hiperbólica generalizada).

En matemáticas financieras, la distribución de Meixner se ha utilizado para modelar el movimiento no gaussiano de los precios de las acciones, con aplicaciones que incluyen la valoración de opciones .

Losev (1989) ha estudiado independientemente la curva asimétrica (sesgada).${\displaystyle h(x)={\frac {1}{\exp(-ax)+\exp(bx)}}}$, que utiliza solo dos parámetros${\displaystyle a,b}$En él,${\displaystyle a}$es una medida de asimetría izquierda y${\displaystyle b}$una medida de asimetría positiva, en caso de que ambos parámetros sean positivos. Tienen que ser ambos positivos o negativos, con${\displaystyle a=b}$siendo la secante hiperbólica -y por lo tanto simétrica- y${\displaystyle h(x)^{r}}$siendo su forma remodelada aún más. ^{[ 4 ]}

La constante de normalización es la siguiente:

${\displaystyle {\frac {a+b}{\pi }}\sin \left({\frac {b\pi }{a+b}}\right)}$

lo cual se reduce a${\displaystyle {\frac {2a}{\pi }}}$para la versión simétrica.

Además, para la versión simétrica,${\displaystyle a}$puede estimarse como${\displaystyle a={\frac {\pi }{2\sigma }}}$.