Segunda derivada

En cálculo , la segunda derivada , o derivada de segundo orden , de una función f es la derivada de la derivada de f . De manera informal, la segunda derivada puede expresarse como "la tasa de cambio de la tasa de cambio"; por ejemplo, la segunda derivada de la posición de un objeto con respecto al tiempo es la aceleración instantánea del objeto, o la tasa a la que cambia la velocidad del objeto con respecto al tiempo. En notación de Leibniz : $${\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},}$$ donde a es la aceleración, v es la velocidad, t es el tiempo, x es la posición y d es el "delta" o cambio instantáneo. La última expresión${\displaystyle {\tfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}}$es la segunda derivada de la posición ( x ) con respecto al tiempo.

En la gráfica de una función , el signo de la segunda derivada está relacionado con la concavidad de la gráfica. La gráfica de una función con una segunda derivada positiva es cóncava hacia arriba, mientras que la gráfica de una función con una segunda derivada negativa se curva en sentido contrario.

La regla de potencia para la primera derivada, si se aplica dos veces, producirá la regla de potencia para la segunda derivada de la siguiente manera: $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}x^{n}={\frac {d}{dx}}{\frac {d}{dx}}x^{n}={\frac {d}{dx}}\left(nx^{n-1}\right)=n{\frac {d}{dx}}x^{n-1}=n(n-1)x^{n-2}.}$$

La segunda derivada de una función${\displaystyle f(x)}$se suele denotar${\displaystyle f''(x)}$. ^{[ 1 ]} Es decir: $${\displaystyle f''=\left(f'\right)'}$$ Cuando se utiliza la notación de Leibniz para las derivadas, la segunda derivada de una variable dependiente y con respecto a una variable independiente x se escribe $${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.}$$ Esta notación se deriva de la siguiente fórmula: $${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).}$$

Dada la función $${\displaystyle f(x)=x^{3},}$$ La derivada de f es la función $${\displaystyle f'(x)=3x^{2}.}$$ La segunda derivada de f es la derivada de${\displaystyle f'}$, es decir $${\displaystyle f''(x)=6x.}$$

Es posible escribir un único límite para la segunda derivada: $${\displaystyle f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(xh)}{h^{2}}}.}$$

El límite se llama segunda derivada simétrica . ^{[ 2 ] [ 3 ]} La segunda derivada simétrica puede existir incluso cuando la segunda derivada (usual) no existe.

La expresión de la derecha se puede escribir como un cociente de diferencias de cocientes de diferencias: $${\displaystyle {\frac {f(x+h)-2f(x)+f(xh)}{h^{2}}}={\frac {{\dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\dfrac {f(x)-f(xh)}{h}}}{h}}.}$$ Este límite puede verse como una versión continua de la segunda diferencia para secuencias .

Sin embargo, la existencia del límite anterior no significa que la función${\displaystyle f}$tiene una segunda derivada. El límite anterior solo ofrece una posibilidad para calcular la segunda derivada, pero no proporciona una definición. Un contraejemplo es la función signo.${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$, que se define como: $${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{si }}x<0,\\0&{\text{si }}x=0,\\1&{\text{si }}x>0.\end{cases}}}$$

La función signo no es continua en cero y, por lo tanto, la segunda derivada para${\displaystyle x=0}$no existe. Pero el límite anterior existe para${\displaystyle x=0}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+\operatorname {sgn}(-h)}{h^{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0.\end{aligned}}}$$

Así como la primera derivada está relacionada con las aproximaciones lineales , la segunda derivada está relacionada con la mejor aproximación cuadrática para una función f . Esta es la función cuadrática cuyas primera y segunda derivadas son iguales a las de f en un punto dado. La fórmula para la mejor aproximación cuadrática de una función f alrededor del punto x = a es $${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(xa)+{\tfrac {1}{2}}f''(a)(xa)^{2}.}$$Esta aproximación cuadrática es el polinomio de Taylor de segundo orden para la función centrada en x = a .

Para muchas combinaciones de condiciones de contorno se pueden obtener fórmulas explícitas para los autovalores y autovectores de la segunda derivada . Por ejemplo, suponiendo${\displaystyle x\in [0,L]}$y condiciones de contorno de Dirichlet homogéneas (es decir,${\displaystyle v(0)=v(L)=0}$donde v es el vector propio), los valores propios son${\displaystyle \lambda _{j}=-{\tfrac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}}$y los vectores propios correspondientes (también llamados funciones propias ) son${\displaystyle v_{j}(x)={\sqrt {\tfrac {2}{L}}}\sin \left({\tfrac {j\pi x}{L}}\right)}$. Aquí,${\displaystyle v''_{j}(x)=\lambda _ {j}v_{j}(x)}$, para${\displaystyle j=1,\ldots ,\infty }$.

Para otros casos bien conocidos, véase Autovalores y autovectores de la segunda derivada .

• Alegría , segunda derivada de la fase instantánea
• Diferencias finitas , utilizadas para aproximar la segunda derivada
• Prueba de segunda derivada parcial
• Simetría de las segundas derivadas

• Derivada segunda discreta a partir de puntos espaciados de forma desigual