viscosidad volumétrica

La viscosidad volumétrica (también llamada viscosidad macroscópica, segunda viscosidad o viscosidad dilatacional) es una propiedad del material relevante para caracterizar el flujo de fluidos. Los símbolos comunes son:${\displaystyle \zeta ,\mu ',\mu _{\mathrm {b} },\kappa }$o${\displaystyle \xi }$Tiene dimensiones (masa / (longitud × tiempo)), y la unidad SI correspondiente es el pascal -segundo (Pa·s).

Al igual que otras propiedades de los materiales (por ejemplo, la densidad , la viscosidad de corte y la conductividad térmica ), el valor de la viscosidad volumétrica es específico de cada fluido y depende, además, del estado del fluido, en particular de su temperatura y presión . Físicamente, la viscosidad volumétrica representa la resistencia irreversible, más allá de la resistencia reversible causada por el módulo de compresibilidad isoentrópico , a la compresión o expansión de un fluido. ^{[ 1 ]} A nivel molecular, se deriva del tiempo finito necesario para que la energía inyectada en el sistema se distribuya entre los grados de libertad rotacionales y vibracionales del movimiento molecular. ^{[ 2 ]}

El conocimiento de la viscosidad volumétrica es importante para comprender diversos fenómenos de fluidos, como la atenuación del sonido en gases poliatómicos (por ejemplo, la ley de Stokes ), la propagación de ondas de choque y la dinámica de líquidos con burbujas de gas. Sin embargo, en muchos problemas de dinámica de fluidos, su efecto puede despreciarse. Por ejemplo, es cero en un gas monoatómico a baja densidad (a menos que el gas sea moderadamente relativista ^{[ 3 ]} ), mientras que en un flujo incompresible la viscosidad volumétrica resulta superflua, ya que no aparece en la ecuación de movimiento. ^{[ 4 ]}

La viscosidad volumétrica fue introducida en 1879 por Sir Horace Lamb en su famosa obra Hidrodinámica . ^{[ 5 ]} Aunque relativamente desconocida en la literatura científica en general, la viscosidad volumétrica se discute en profundidad en muchas obras importantes sobre mecánica de fluidos, ^{[ 1 ] [ 6 ] [ 7 ]} acústica de fluidos, ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 2 ]} teoría de líquidos, ^{[ 11 ] [ 12 ]} reología, ^{[ 13 ]} e hidrodinámica relativista. ^{[ 3 ]}

En el equilibrio termodinámico, el tercio negativo de la traza del tensor de tensiones de Cauchy se identifica a menudo con la presión termodinámica ,

${\displaystyle -{1 \over 3}\sigma _{a}^{a}=P,}$

que depende únicamente de variables de estado de equilibrio como la temperatura y la densidad ( ecuación de estado ). En general, la traza del tensor de esfuerzos es la suma de la contribución de la presión termodinámica y otra contribución que es proporcional a la divergencia del campo de velocidad. Este coeficiente de proporcionalidad se denomina viscosidad volumétrica. Los símbolos comunes para la viscosidad volumétrica son:${\displaystyle \zeta }$y${\displaystyle \mu _{v}}$.

La viscosidad volumétrica aparece en la ecuación clásica de Navier-Stokes si se escribe para un fluido compresible , como se describe en la mayoría de los libros sobre hidrodinámica general ^{[ 6 ] [ 1 ]} y acústica. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}=-\nabla P+\nabla \cdot \left[\mu \left(\nabla \mathbf {v} +\left(\nabla \mathbf {v} \right)^{T}-{\frac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {v} )\mathbf {I} \right)\right]+\nabla \cdot [\zeta (\nabla \cdot \mathbf {v} )\mathbf {I} ]+\rho \mathbf {g} }$

dónde${\displaystyle \mu }$es el coeficiente de viscosidad de corte y${\displaystyle \zeta }$es el coeficiente de viscosidad volumétrica. Los parámetros${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \zeta }$Originalmente se denominaban coeficientes de viscosidad de primer orden y de viscosidad volumétrica, respectivamente. El operador${\displaystyle D\mathbf {v} /Dt}$es la derivada material . Al introducir los tensores (matrices)${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}$,${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}}$y${\displaystyle e\mathbf {I} }$(donde e es un escalar llamado dilatación y${\displaystyle \mathbf {I} }$es el tensor identidad ), que describe el flujo de cizallamiento crudo (es decir, el tensor de velocidad de deformación ), el flujo de cizallamiento puro (es decir, la parte desviadora del tensor de velocidad de deformación, es decir, el tensor de velocidad de cizallamiento ^{[ 14 ]} ) y el flujo de compresión (es decir, el tensor de dilatación isotrópica), respectivamente,

${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}={\frac {1}{2}}\left(\nabla \mathbf {v} +\left(\nabla \mathbf {v} \right)^{T}\right)}$

${\displaystyle e={\frac {1}{3}}\nabla \!\cdot \!\mathbf {v} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}={\boldsymbol {\epsilon }}-e\mathbf {I} }$

La clásica ecuación de Navier-Stokes adquiere una forma clara y concisa.

${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}=-\nabla (P-3\zeta e)+\nabla \cdot (2\mu {\boldsymbol {\gamma }})+\rho \mathbf {g} }$

Nótese que el término en la ecuación de momento que contiene la viscosidad volumétrica desaparece para un flujo incompresible porque no hay divergencia del flujo, y por lo tanto tampoco hay dilatación del flujo e a la que sea proporcional:

${\displaystyle \nabla \!\cdot \!\mathbf {v} =0}$

Así pues, la ecuación de Navier-Stokes incompresible se puede escribir simplemente:

${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}=-\nabla P+\nabla \cdot (2\mu {\boldsymbol {\epsilon }})+\rho \mathbf {g} }$

De hecho, cabe señalar que para el flujo incompresible la tasa de deformación es puramente desviadora, ya que no hay dilatación ( e = 0). En otras palabras, para un flujo incompresible, el componente de tensión isotrópica es simplemente la presión:

${\displaystyle p={\frac {1}{3}}Tr({\boldsymbol {\sigma }})}$

y la tensión desviadora ( de corte ) es simplemente el doble del producto entre la viscosidad de corte y la tasa de deformación ( ley constitutiva de Newton ):

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=2\mu {\boldsymbol {\epsilon }}}$

Por lo tanto, en el flujo incompresible la viscosidad volumétrica no desempeña ningún papel en la dinámica de fluidos.

Sin embargo, en un flujo compresible hay casos en los que${\displaystyle \zeta \gg \mu }$, que se explican a continuación. En general, además,${\displaystyle \zeta }$La viscosidad de cizallamiento no es solo una propiedad del fluido en el sentido termodinámico clásico, sino que también depende del proceso, por ejemplo, de la velocidad de compresión/expansión. Lo mismo ocurre con la viscosidad de cizallamiento. Para un fluido newtoniano , la viscosidad de cizallamiento es una propiedad pura del fluido, pero para un fluido no newtoniano no lo es debido a su dependencia del gradiente de velocidad. Ni la viscosidad de cizallamiento ni la viscosidad volumétrica son parámetros o propiedades de equilibrio, sino propiedades de transporte. Por lo tanto, el gradiente de velocidad y/o la velocidad de compresión son variables independientes junto con la presión, la temperatura y otras variables de estado .

Según Landau , ^{[ 1 ]}

En la compresión o expansión, como en cualquier cambio rápido de estado, el fluido deja de estar en equilibrio termodinámico y se inician procesos internos que tienden a restablecerlo. Estos procesos suelen ser tan rápidos (es decir, su tiempo de relajación es muy corto) que el restablecimiento del equilibrio se produce casi inmediatamente después del cambio de volumen, a menos que, por supuesto, la velocidad de cambio de volumen sea muy grande.

Más tarde añade:

Sin embargo, puede ocurrir que los tiempos de relajación de los procesos de restablecimiento del equilibrio sean prolongados, es decir, que se produzcan con relativa lentitud.

Después de un ejemplo, concluye (con${\displaystyle \zeta }$utilizado para representar la viscosidad volumétrica):

Por lo tanto, si el tiempo de relajación de estos procesos es largo, se produce una considerable disipación de energía cuando el fluido se comprime o se expande, y, dado que esta disipación debe estar determinada por la segunda viscosidad, llegamos a la conclusión de que${\displaystyle \zeta }$es grande.

Una breve revisión de las técnicas disponibles para medir la viscosidad volumétrica de líquidos se puede encontrar en Dukhin y Goetz ^{[ 10 ]} y Sharma (2019). ^{[ 15 ]} Uno de esos métodos es mediante el uso de un reómetro acústico .

A continuación se muestran los valores de la viscosidad volumétrica para varios líquidos newtonianos a 25  °C (expresados ​​en cP ): ^{[ 16 ]}

metanol - 0,8 etanol - 1,4 propanol - 2,7 pentanol - 2,8 acetona - 1.4 tolueno - 7,6 ciclohexanona - 7.0 hexano - 2,4

Estudios recientes han determinado la viscosidad volumétrica de diversos gases, como el dióxido de carbono , el metano y el óxido nitroso . Se observó que estos gases presentaban viscosidades volumétricas cientos o miles de veces mayores que sus viscosidades de cizallamiento. ^{[ 15 ]} Entre los fluidos con alta viscosidad volumétrica se incluyen los utilizados como fluidos de trabajo en sistemas de energía con fuentes de calor no fósiles, en pruebas en túneles de viento y en procesos farmacéuticos.

Existen numerosas publicaciones dedicadas al modelado numérico de la viscosidad volumétrica. Una revisión detallada de estos estudios se puede encontrar en Sharma (2019) ^{[ 15 ]} y Cramer ^{[ 17 ]} . En este último estudio, se observó que varios fluidos comunes presentaban viscosidades volumétricas cientos o miles de veces mayores que sus viscosidades de cizallamiento. Para líquidos y gases relativistas, la viscosidad volumétrica se modela convenientemente en términos de una dualidad matemática con fluidos relativistas que reaccionan químicamente ^{[ 3 ] .}