Ecuaciones de Navier-Stokes

Las ecuaciones de Navier-Stokes ( / n æ v ˈ j eɪ ˈ s t oʊ k s / nav- YAY STOHKS ) describen el movimiento de fluidos viscosos . Este sistema de ecuaciones diferenciales parciales recibió su nombre de Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes , quienes las desarrollaron a lo largo de varias décadas de trabajo progresivo, desde 1822 (Navier) hasta 1842-1850 (Stokes). Siméon Denis Poisson obtuvo los mismos resultados de forma independiente. ^{[ 1 ] : 696–7}

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente el balance de momento para fluidos newtonianos y utilizan la conservación de la masa . A veces van acompañadas de una ecuación de estado que relaciona la presión , la temperatura y la densidad . ^{[ 2 ]} Surgen de la aplicación de la segunda ley de Newton al movimiento de fluidos , junto con la suposición de que la tensión en el fluido es la suma de un término viscoso difusivo (proporcional al gradiente de velocidad) y un término de presión, describiendo así el flujo viscoso . Las ecuaciones de Navier-Stokes generalizan las ecuaciones de Euler en que este último modelo solo considera el flujo no viscoso .

Las ecuaciones de Navier-Stokes son de gran interés científico y de ingeniería, ya que pueden utilizarse para modelar una amplia variedad de escenarios. En sus formas completas o simplificadas, pueden ser útiles en el diseño de aeronaves y automóviles, el estudio del flujo sanguíneo , el diseño de centrales eléctricas , el análisis de la contaminación y muchos otros problemas. Junto con las ecuaciones de Maxwell , constituyen los fundamentos de la magnetohidrodinámica .

Las ecuaciones de Navier-Stokes también son de gran interés desde un punto de vista puramente matemático. A pesar de su amplia gama de usos prácticos, la conjetura de que tienen soluciones suaves (es decir, infinitamente diferenciables) o acotadas en tres dimensiones aún no se ha demostrado. Esto se conoce como el problema de existencia y suavidad de Navier-Stokes . El Instituto Clay de Matemáticas lo ha catalogado como uno de los siete problemas abiertos más importantes de las matemáticas y ha ofrecido un  premio de un millón de dólares por una solución o un contraejemplo. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

La solución de las ecuaciones es una velocidad de flujo . Se trata de un campo vectorial : para cada punto de un fluido , en cualquier instante de un intervalo de tiempo, proporciona un vector cuya dirección y magnitud corresponden a la velocidad del fluido en ese punto del espacio y en ese instante. Se estudia en tres dimensiones espaciales y una dimensión temporal, y se estudian análogos de dimensiones superiores tanto en matemáticas puras como aplicadas. Una vez calculado el campo de velocidad, se pueden obtener otras magnitudes de interés, como la presión o la temperatura , mediante ecuaciones y relaciones dinámicas . Esto difiere de lo que se observa habitualmente en la mecánica clásica , donde las soluciones suelen ser trayectorias de la posición de una partícula o la deflexión de un continuo . Estudiar la velocidad en lugar de la posición tiene más sentido para un fluido, aunque, para fines de visualización, se pueden calcular diversas trayectorias . En particular, las líneas de corriente de un campo vectorial, interpretadas como velocidad de flujo, son las trayectorias que seguiría una partícula de fluido sin masa. Estas trayectorias son curvas integrales cuya derivada en cada punto es igual al campo vectorial, y pueden representar visualmente el comportamiento del campo vectorial en un momento dado.

La ecuación de momento de Navier-Stokes se puede derivar como una forma particular de la ecuación de momento de Cauchy , cuya forma convectiva general es: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}={\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {a} .}$$ Al establecer el tensor de tensiones de Cauchy${\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ser la suma de un término de viscosidad${\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}$(la tensión desviadora ) y un término de presión${\textstyle -p\mathbf {I} }$(tensión volumétrica), llegamos a:

dónde

• ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}}$es el derivado material , definido como${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla }$,
• ${\textstyle \rho }$es la densidad (de masa),
• ${\textstyle \mathbf {u} }$es la velocidad del flujo,
• ${\textstyle \nabla \cdot \,}$es la divergencia ,
• ${\textstyle p}$es la presión ,
• ${\textstyle t}$es tiempo ,
• ${\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}$es el tensor de esfuerzos desviadores , que tiene orden 2,
• ${\textstyle \mathbf {a} }$representa las aceleraciones del cuerpo que actúan sobre el continuo, por ejemplo la gravedad , las aceleraciones inerciales , las aceleraciones electrostáticas , etc.

En esta forma, resulta evidente que, bajo el supuesto de un fluido no viscoso (sin esfuerzos desviadores), las ecuaciones de Cauchy se reducen a las ecuaciones de Euler .

Suponiendo la conservación de la masa , con las propiedades conocidas de divergencia y gradiente podemos usar la ecuación de continuidad de masa , que representa la masa por unidad de volumen de un fluido homogéneo con respecto al espacio y el tiempo (es decir, la derivada material) .${\textstyle {\frac {\mathbf {D} }{\mathbf {Dt} }}}$) de cualquier volumen finito (${\textstyle \mathbf {V} }$) para representar el cambio de velocidad en medios fluidos: $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathbf {D} m}{\mathbf {Dt} }}=\iiint \limits _{V}\left({\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )\right)\,dV\\[5pt]&{\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+(\nabla \rho )\cdot \mathbf {u} +\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0\end{aligned}}}$$dónde

• ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} m}{\mathrm {D} t}}}$es la derivada material de la masa por unidad de volumen ( densidad ,${\displaystyle \rho }$),
• ${\textstyle \iiint \limits _{V}{\bigl (}F(x_{1},x_{2},x_{3},t){\bigr )}\,dV}$es la operación matemática para la integración en todo el volumen (${\textstyle V}$),
• ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}}$es el operador matemático de derivada parcial ,
• ${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} \,}$es la divergencia de la velocidad del flujo (${\displaystyle \mathbf {u} }$), que es un campo escalar , ^{[ a ]}
• ${\textstyle \nabla \rho \,}$es el gradiente de densidad (${\displaystyle \rho }$), que es la derivada vectorial de un campo escalar , ^{[ a ]}

para llegar a la forma de conservación de las ecuaciones de movimiento. Esto se escribe a menudo: ^{[ 5 ]}

dónde${\textstyle \otimes }$es el producto exterior de la velocidad del flujo (${\textstyle \mathbf {u} }$): $${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} =\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}}$$

El lado izquierdo de la ecuación describe la aceleración y puede estar compuesto por componentes dependientes del tiempo y convectivas (así como los efectos de coordenadas no inerciales, si las hubiera). El lado derecho de la ecuación es, en efecto, una suma de efectos hidrostáticos, la divergencia de la tensión desviadora y fuerzas de volumen (como la gravedad).

Todas las ecuaciones de equilibrio no relativistas, como las ecuaciones de Navier-Stokes, pueden derivarse partiendo de las ecuaciones de Cauchy y especificando el tensor de esfuerzos mediante una relación constitutiva . Al expresar el tensor de esfuerzos desviadores (de corte) en términos de viscosidad y gradiente de velocidad del fluido , y suponiendo una viscosidad constante, las ecuaciones de Cauchy anteriores conducen a las ecuaciones de Navier-Stokes que se muestran a continuación.

aceleración convectiva

Una característica importante de la ecuación de Cauchy y, por consiguiente, de todas las demás ecuaciones de continuo (incluidas las de Euler y Navier-Stokes), es la presencia de aceleración convectiva: el efecto de la aceleración de un flujo con respecto al espacio. Si bien las partículas individuales del fluido experimentan una aceleración dependiente del tiempo, la aceleración convectiva del campo de flujo es un efecto espacial; un ejemplo de ello es la aceleración del fluido en una boquilla.

Nota: aquí se denota el tensor de tensiones desviadoras.${\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}$como ocurría en las ecuaciones generales del continuo y en la sección de flujo incompresible .

La ecuación de Navier-Stokes de momento compresible resulta de las siguientes suposiciones sobre el tensor de tensiones de Cauchy: ^{[ 6 ]}

• La tensión es invariante galileana : no depende directamente de la velocidad del flujo, sino solo de las derivadas espaciales de dicha velocidad. Por lo tanto, la variable de tensión es el gradiente tensorial.${\textstyle \nabla \mathbf {u} }$, o más simplemente el tensor de velocidad de deformación :${\textstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\left(\nabla \mathbf {u} \right)\equiv {\frac {1}{2}}\nabla \mathbf {u} +{\frac {1}{2}}\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathsf {T}}}$
• La tensión desviadora es lineal en esta variable:${\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})=-p\mathbf {I} +\mathbf {C}$ :{\boldsymbol {\varepsilon }}} , donde${\textstyle p}$es independiente del tensor de velocidad de deformación,${\textstyle \mathbf {C} }$es el tensor de cuarto orden que representa la constante de proporcionalidad, llamada tensor de viscosidad o elasticidad , y  : es el producto escalar doble .
• Se supone que el fluido es isotrópico , como ocurre con los gases y los líquidos simples, y en consecuencia${\textstyle \mathbf {C} }$es un tensor isotrópico; además, dado que el tensor de esfuerzos desviadores es simétrico, mediante la descomposición de Helmholtz puede expresarse en términos de dos parámetros escalares de Lamé , siendo el segundo la viscosidad.${\textstyle \lambda }$y la viscosidad dinámica${\textstyle \mu }$, como es habitual en la elasticidad lineal :
  Ecuación constitutiva de tensión lineal (expresión similar a la de un sólido elástico)  

  ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})=-p\mathbf {I} +\lambda \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

  dónde${\textstyle \mathbf {I} }$es el tensor identidad y${\textstyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}$es la traza del tensor de velocidad de deformación. Por lo tanto, esta descomposición se puede definir explícitamente como: $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +\lambda (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right).}$$

Dado que la traza del tensor de velocidad de deformación en tres dimensiones es la divergencia (es decir, la tasa de expansión) del flujo: $${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})=\nabla \cdot \mathbf {u} .}$$

Dada esta relación, y puesto que la traza del tensor identidad en tres dimensiones es tres: $${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {I}})=3.}$$

La traza del tensor de tensiones en tres dimensiones se convierte en: $${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})=-3p+(3\lambda +2\mu )\nabla \cdot \mathbf {u} .}$$

Así, descomponiendo alternativamente el tensor de esfuerzos en partes isotrópicas y desviadoras , como es habitual en la dinámica de fluidos: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-\left[p-\left(\lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu \right)\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\right]\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathsf {T}}-{\tfrac {2}{3}}\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\mathbf {I} \right)}$$

Introducción de la viscosidad global${\textstyle \zeta }$, $${\displaystyle \zeta \equiv \lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu ,}$$

llegamos a la ecuación constitutiva lineal en la forma que se emplea habitualmente en termohidráulica : ^{[ 6 ]}

que también puede organizarse en la otra forma habitual: ^{[ 8 ]}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)+\left(\zeta -{\tfrac {2}{3}}\mu \right)(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} .}$$

Nótese que en el caso compresible la presión ya no es proporcional al término de tensión isotrópica , puesto que existe el término adicional de viscosidad volumétrica: $${\displaystyle p=-{\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})+\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )}$$

y el tensor de tensiones desviadoras${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'}$sigue coincidiendo con el tensor de esfuerzo cortante${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$(es decir, la tensión desviadora en un fluido newtoniano no tiene componentes de tensión normal), y tiene un término de compresibilidad además del caso incompresible, que es proporcional a la viscosidad de corte:

$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'={\boldsymbol {\tau }}=\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]}$$

Tanto la viscosidad global como la viscosidad volumétrica${\textstyle \zeta }$y viscosidad dinámica${\textstyle \mu }$No es necesario que sean constantes; en general, dependen de dos variables termodinámicas si el fluido contiene una sola especie química, por ejemplo, la presión y la temperatura. Cualquier ecuación que explicite uno de estos coeficientes de transporte en las variables de conservación se denomina ecuación de estado . ^{[ 9 ]}

Las ecuaciones de Navier-Stokes más generales se convierten en:

En notación de índices, la ecuación se puede escribir como ^{[ 10 ].}

La ecuación correspondiente en forma de conservación se puede obtener considerando que, dada la ecuación de continuidad de masa , el lado izquierdo es equivalente a:

${\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} )}$

dar finalmente:

Además de su dependencia de la presión y la temperatura, el coeficiente de viscosidad secundaria también depende del proceso; es decir, no es solo una propiedad del material. Ejemplo: en el caso de una onda sonora con una frecuencia definida que comprime y expande alternativamente un elemento fluido, el coeficiente de viscosidad secundaria depende de la frecuencia de la onda. Esta dependencia se denomina dispersión . En algunos casos, la viscosidad secundaria${\textstyle \zeta }$se puede suponer que es constante, en cuyo caso, el efecto de la viscosidad volumétrica${\textstyle \zeta }$es que la presión mecánica no es equivalente a la presión termodinámica : ^{[ 11 ]} como se demuestra a continuación. $${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} ),\\&{\bar {p}}\equiv p-\zeta \,\nabla \cdot \mathbf {u} ,\end{aligned}}}$$ Sin embargo, esta diferencia suele pasarse por alto la mayor parte del tiempo (es decir, cuando no estamos tratando con procesos como la absorción del sonido y la atenuación de ondas de choque, ^{[ 12 ]} donde el segundo coeficiente de viscosidad se vuelve importante) al asumir explícitamente${\textstyle \zeta =0}$. El supuesto de configuración${\textstyle \zeta =0}$se denomina hipótesis de Stokes . ^{[ 13 ]} La validez de la hipótesis de Stokes puede demostrarse para gases monoatómicos tanto experimentalmente como a partir de la teoría cinética; ^{[ 14 ]} para otros gases y líquidos, la hipótesis de Stokes es generalmente incorrecta. Con la hipótesis de Stokes, las ecuaciones de Navier-Stokes se convierten en

Si la dinámica${\displaystyle \mu }$y a granel${\displaystyle \zeta }$Se supone que las viscosidades son uniformes en el espacio, por lo que las ecuaciones en forma convectiva se pueden simplificar aún más. Al calcular la divergencia del tensor de esfuerzos, dado que la divergencia del tensor${\textstyle \nabla \mathbf {u} }$es${\textstyle \nabla ^{2}\mathbf {u} }$y la divergencia del tensor${\textstyle \left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathsf {T}}}$es${\textstyle \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}$, finalmente se llega a la ecuación de momento de Navier-Stokes compresible: ^{[ 15 ]}

dónde${\textstyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}}$es el derivado material .${\textstyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$es la viscosidad cinemática de corte y${\textstyle \xi ={\frac {\zeta }{\rho }}}$es la viscosidad cinemática global. El lado izquierdo cambia en la forma de conservación de la ecuación de momento de Navier-Stokes. Al trasladar el operador de la velocidad del flujo al lado izquierdo, también se tiene:

El término de aceleración convectiva también se puede escribir como $${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} +{\tfrac {1}{2}}\nabla \mathbf {u} ^{2},}$$ donde el vector${\textstyle (\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} }$se conoce como el vector Lamb .

Para el caso especial de un flujo incompresible , la presión restringe el flujo de modo que el volumen de los elementos de fluido es constante: flujo isocórico que resulta en un campo de velocidad solenoidal con${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$. ^{[ 16 ]}

La ecuación de Navier-Stokes de momento incompresible resulta de las siguientes suposiciones sobre el tensor de tensiones de Cauchy: ^{[ 6 ]}

• La tensión es invariante galileana : no depende directamente de la velocidad del flujo, sino solo de las derivadas espaciales de dicha velocidad. Por lo tanto, la variable de tensión es el gradiente tensorial.${\textstyle \nabla \mathbf {u} }$.
• Se supone que el fluido es isotrópico , como ocurre con los gases y los líquidos simples, y en consecuencia${\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}$es un tensor isotrópico; además, dado que el tensor de esfuerzos desviadores puede expresarse en términos de la viscosidad dinámica${\textstyle \mu }$:
  Ecuación constitutiva de la tensión de Stokes (expresión utilizada para sólidos elásticos incompresibles)  

  ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

  dónde $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {\nabla u} +\mathbf {\nabla u} ^{\mathsf {T}}\right)}$$es el tensor de velocidad de deformación . Por lo tanto, esta descomposición se puede hacer explícita como: ^{[ 6 ]}

  Ecuación constitutiva de tensiones de Stokes (expresión utilizada para fluidos viscosos incompresibles)  

  ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right]}$

Esta ecuación constitutiva también se denomina ley newtoniana de viscosidad . La viscosidad dinámica μ no tiene por qué ser constante; en flujos incompresibles puede depender de la densidad y de la presión. Cualquier ecuación que explicite uno de estos coeficientes de transporte en las variables conservativas se denomina ecuación de estado . ^{[ 9 ]}

La divergencia de la tensión desviadora en el caso de viscosidad uniforme viene dada por: $${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}=2\mu \nabla \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}=\mu \nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {u} +\nabla \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\right)=\mu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} }$$ porque${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$para un fluido incompresible.

La incompresibilidad descarta las ondas de densidad y presión como las ondas sonoras o de choque , por lo que esta simplificación no es útil si estos fenómenos son de interés. La suposición de flujo incompresible generalmente se cumple bien con todos los fluidos a números de Mach bajos (por ejemplo, hasta aproximadamente Mach 0,3), como para modelar vientos de aire a temperaturas normales. ^{[ 17 ]} Las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles se visualizan mejor dividiendo para la densidad: ^{[ 18 ]}

dónde${\textstyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$Se denomina viscosidad cinemática . Al aislar la velocidad del fluido, también se puede afirmar:

Si la densidad es constante en todo el dominio del fluido, o, en otras palabras, si todos los elementos del fluido tienen la misma densidad,${\textstyle \rho }$, entonces tenemos

dónde${\textstyle {\frac {p}{\rho }}}$se denomina unidad de presión .

En flujos incompresibles, el campo de presión satisface la ecuación de Poisson , ^{[ 10 ].}

${\displaystyle \nabla ^{2}p=-\rho {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}=-\rho {\frac {\partial ^{2}u_{i}u_{k}}{\partial x_{k}x_{i}}},}$

que se obtiene tomando la divergencia de las ecuaciones de momento.

Vale la pena observar el significado de cada término (compárelo con la ecuación de momento de Cauchy ):

$${\displaystyle \overbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}\underbrace {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}} _{\text{Variación}}+\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} } _{\begin{smallmatrix}{\text{Aceleración convectiva}}\\{\text{}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{Inercia (por volumen)}}=\overbrace {{\vphantom {\frac {\partial }{\partial }}}\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}-\nabla w} _{\begin{smallmatrix}{\text{Fuente interna}}\\{\text{\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} } _{\text{Difusión}}} ^{\text{Divergencia de la tensión}}+\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}\mathbf {g} } _{\begin{smallmatrix}{\text{Fuente externa}}\\{\text{\nubla}}\end{smallmatrix}}.}$$

El término de orden superior, es decir, la divergencia del esfuerzo cortante${\textstyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}}$, simplemente se ha reducido al término laplaciano vectorial${\textstyle \mu \nabla ^{2}\mathbf {u} }$. ^{[ 19 ]} Este término laplaciano puede interpretarse como la diferencia entre la velocidad en un punto y la velocidad media en un pequeño volumen circundante. Esto implica que, para un fluido newtoniano, la viscosidad opera como una difusión de momento , de forma muy similar a la conducción de calor . De hecho, si se desprecia el término de convección, las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles conducen a una ecuación de difusión vectorial (es decir, ecuaciones de Stokes ), pero en general el término de convección está presente, por lo que las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles pertenecen a la clase de ecuaciones de convección-difusión .

En el caso habitual de que un campo externo sea un campo conservativo : $${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \varphi }$$ definiendo la altura hidráulica : $${\displaystyle h\equiv w+\varphi}$$

Finalmente, se puede condensar toda la fuente en un solo término, llegando a la ecuación de Navier-Stokes incompresible con campo externo conservativo: $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} -\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\nabla h.}$$

Las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles con densidad y viscosidad uniformes y campo externo conservativo son la ecuación fundamental de la hidráulica . El dominio para estas ecuaciones suele ser un espacio euclidiano de 3 o menos dimensiones , para el cual se suele establecer un sistema de coordenadas ortogonales para explicitar el sistema de ecuaciones diferenciales parciales escalares que se va a resolver. En 3 dimensiones, existen 3 sistemas de coordenadas ortogonales: cartesiano , cilíndrico y esférico . Expresar la ecuación vectorial de Navier-Stokes en coordenadas cartesianas es bastante sencillo y no se ve muy influenciado por el número de dimensiones del espacio euclidiano empleado, y esto también se aplica a los términos de primer orden (como los de variación y convección) también en sistemas de coordenadas ortogonales no cartesianos. Pero para los términos de orden superior (los dos que provienen de la divergencia de la tensión desviadora que distingue las ecuaciones de Navier-Stokes de las ecuaciones de Euler) se requiere algún cálculo tensorial para deducir una expresión en sistemas de coordenadas ortogonales no cartesianas. Un caso especial de la ecuación fundamental de la hidráulica es la ecuación de Bernoulli .

La ecuación de Navier-Stokes incompresible es compuesta, la suma de dos ecuaciones ortogonales, $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}&=\Pi ^{S}\left(-(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} \right)+\mathbf {f} ^{S}\\\rho ^{-1}\,\nabla p&=\Pi ^{I}\left(-(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} \right)+\mathbf {f} ^{I}\end{aligned}}}$$ dónde${\textstyle \Pi ^{S}}$y${\textstyle \Pi ^{I}}$son operadores de proyección solenoidales e irrotacionales que satisfacen${\estilo de texto \Pi ^{S}+\Pi ^{I}=1}$, y${\textstyle \mathbf {f} ^{S}}$y${\textstyle \mathbf {f} ^{I}}$son las partes no conservativa y conservativa de la fuerza del cuerpo. Este resultado se deriva del teorema de Helmholtz (también conocido como el teorema fundamental del cálculo vectorial). La primera ecuación es una ecuación gobernante sin presión para la velocidad, mientras que la segunda ecuación para la presión es un funcional de la velocidad y está relacionada con la ecuación de Poisson de la presión.

La forma funcional explícita del operador de proyección en 3D se obtiene a partir del teorema de Helmholtz: $${\displaystyle \Pi ^{S}\,\mathbf {F} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\nabla \times \int {\frac {\nabla ^{\prime }\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V',\quad \Pi ^{I}=1-\Pi ^{S}}$$ con una estructura similar en 2D. Por lo tanto, la ecuación que la rige es una ecuación integro-diferencial similar a la ley de Coulomb y la ley de Biot-Savart , lo que no resulta conveniente para el cálculo numérico.

Una forma débil o variacional equivalente de la ecuación, que se ha demostrado que produce la misma solución de velocidad que la ecuación de Navier-Stokes, ^{[ 20 ]} viene dada por: $${\displaystyle \left(\mathbf {w} ,{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\right)=-{\bigl (}\mathbf {w} ,\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} {\bigr )}-\nu \left(\nabla \mathbf {w}$$ :\nabla \mathbf {u} \right)+\left(\mathbf {w} ,\mathbf {f} ^{S}\right)}

para funciones de prueba sin divergencia${\textstyle \mathbf {w} }$que satisfacen las condiciones de contorno apropiadas. Aquí, las proyecciones se logran mediante la ortogonalidad de los espacios de funciones solenoidales e irrotacionales. La forma discreta de esto es sumamente adecuada para el cálculo de flujos sin divergencia mediante elementos finitos, como veremos en la siguiente sección. Allí, se podrá abordar la pregunta: "¿Cómo se especifican los problemas impulsados ​​por presión (Poiseuille) con una ecuación gobernante sin presión?".

La ausencia de fuerzas de presión en la ecuación de velocidad demuestra que no se trata de una ecuación dinámica, sino cinemática, donde la condición de divergencia nula cumple la función de una ecuación de conservación. Esto parece refutar las afirmaciones frecuentes de que la presión incompresible impone la condición de divergencia nula.

El sistema de referencia giratorio introduce algunas pseudofuerzas interesantes en las ecuaciones a través del término de derivada material . Consideremos un sistema de referencia inercial estacionario.${\textstyle K}$ y un marco de referencia no inercial${\textstyle K'}$, que se está trasladando con velocidad${\textstyle \mathbf {U} (t)}$y girando con velocidad angular${\textstyle \Omega (t)}$con respecto al sistema de referencia estacionario. La ecuación de Navier-Stokes observada desde el sistema de referencia no inercial se convierte entonces en:

Aquí${\textstyle \mathbf {x} }$y${\textstyle \mathbf {u} }$se miden en el sistema de referencia no inercial. El primer término entre paréntesis representa la aceleración de Coriolis , el segundo término se debe a la aceleración centrífuga , el tercero se debe a la aceleración lineal de${\textstyle K'}$con respecto a${\textstyle K}$y el cuarto término se debe a la aceleración angular de${\textstyle K'}$con respecto a${\textstyle K}$.

Las ecuaciones de Navier-Stokes describen estrictamente el balance de momento. Para describir completamente el flujo de fluidos, se necesita más información, cuya cantidad depende de las suposiciones realizadas. Esta información adicional puede incluir datos de contorno ( sin deslizamiento , superficie capilar , etc.), conservación de la masa, balance de energía y/o una ecuación de estado .

Tomar el rotacional de la ecuación de Navier-Stokes incompresible resulta en la eliminación de la presión. Esto es especialmente fácil de ver si se asume un flujo cartesiano 2D (como en el caso 3D degenerado con${\textstyle u_{z}=0}$y ninguna dependencia de nada en${\textstyle z}$), donde las ecuaciones se reducen a: $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\right)&=-{\frac {\partial p}{\partial x}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial y^{2}}}\right)+\rho g_{x}\\\rho \left({\frac {\partial u_{y}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\right)&=-{\frac {\partial p}{\partial y}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial y^{2}}}\right)+\rho g_{y}.\end{aligned}}}$$

Diferenciando el primero con respecto a${\textstyle y}$, el segundo con respecto a${\textstyle x}$y restando las ecuaciones resultantes se eliminará la presión y cualquier fuerza conservativa . Para flujo incompresible, definiendo la función de corriente${\textstyle \psi }$a través de $${\displaystyle u_{x}={\frac {\partial \psi }{\partial y}};\quad u_{y}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}}$$ como resultado, la continuidad de la masa se satisface incondicionalmente (dado que la función de corriente es continua), y entonces la conservación del momento y la masa newtonianas bidimensionales incompresibles se condensan en una sola ecuación: $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)=\nu \nabla ^{4}\psi }$$

dónde${\textstyle \nabla ^{4}}$es el operador biarmónico 2D y${\textstyle \nu }$es la viscosidad cinemática ,${\textstyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$También podemos expresar esto de forma compacta utilizando el determinante jacobiano : $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)+{\frac {\partial \left(\psi ,\nabla ^{2}\psi \right)}{\partial (y,x)}}=\nu \nabla ^{4}\psi .}$$

Esta ecuación, junto con las condiciones de contorno adecuadas, describe el flujo de fluidos en 2D, considerando únicamente la viscosidad cinemática como parámetro. Cabe destacar que la ecuación para el flujo lento se obtiene al considerar que el lado izquierdo es cero.

En el flujo axisimétrico , se puede utilizar otra formulación de la función de corriente, denominada función de corriente de Stokes , para describir las componentes de velocidad de un flujo incompresible con una función escalar .

La ecuación de Navier-Stokes incompresible es una ecuación diferencial algebraica , con la desventaja de no contar con un mecanismo explícito para el avance de la presión en el tiempo. Por consiguiente, se han realizado numerosos esfuerzos para eliminar la presión, total o parcialmente, del proceso computacional. La formulación de la función de corriente elimina la presión, pero solo en dos dimensiones y a costa de introducir derivadas de orden superior y eliminar la velocidad, que es la variable principal de interés.

Las ecuaciones de Navier-Stokes, incluso cuando se formulan explícitamente para fluidos específicos, son bastante genéricas y su aplicación a problemas concretos puede ser muy diversa. Esto se debe, en parte, a la enorme variedad de problemas que se pueden modelar, desde la distribución de la presión estática hasta el flujo multifásico impulsado por la tensión superficial , que resulta muy complejo .

En general, la aplicación a problemas específicos comienza con algunas suposiciones sobre el flujo y la formulación de las condiciones iniciales y de contorno; a esto le puede seguir un análisis de escala para simplificar aún más el problema.

Existen algunas soluciones exactas para las ecuaciones de Navier-Stokes. Ejemplos de casos degenerados —con los términos no lineales en las ecuaciones de Navier-Stokes iguales a cero— son el flujo de Poiseuille , el flujo de Couette y la capa límite oscilatoria de Stokes . Pero también existen ejemplos más interesantes, soluciones para las ecuaciones no lineales completas, como el flujo de Jeffery-Hamel , el flujo de remolino de Von Kármán , el flujo de punto de estancamiento , el chorro de Landau-Squire y el vórtice de Taylor-Green . ^{[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]} Las soluciones autosimilares dependientes del tiempo de las ecuaciones de Navier-Stokes tridimensionales no compresibles en coordenadas cartesianas se pueden dar con la ayuda de las funciones de Kummer con argumentos cuadráticos. ^{[ 36 ]} Para las ecuaciones de Navier-Stokes compresibles, las soluciones autosimilares dependientes del tiempo son, sin embargo, las funciones de Whittaker nuevamente con argumentos cuadráticos cuando se utiliza la ecuación de estado politrópica como condición de cierre. ^{[ 37 ]} Nótese que la existencia de estas soluciones exactas no implica que sean estables: puede desarrollarse turbulencia a números de Reynolds más altos.

Bajo supuestos adicionales, las partes componentes pueden separarse. ^{[ 38 ]}

Una solución de vórtice tridimensional en estado estacionario

Un ejemplo de estado estacionario sin singularidades proviene de considerar el flujo a lo largo de las líneas de una fibración de Hopf . Sea${\textstyle r}$sea ​​un radio constante de la bobina interior. Un conjunto de soluciones viene dado por: ^{[ 40 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (x,y,z)&={\frac {3B}{r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\p(x,y,z)&={\frac {-A^{2}B}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}\\\mathbf {u} (x,y,z)&={\frac {A}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}}{\begin{pmatrix}2(-ry+xz)\\2(rx+yz)\\r^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}\end{pmatrix}}\\g&=0\\\mu &=0\end{aligned}}}$$

para constantes arbitrarias${\textstyle A}$y${\textstyle B}$. Esta es una solución en un gas no viscoso (fluido compresible) cuya densidad, velocidades y presión tienden a cero lejos del origen. (Tenga en cuenta que esta no es una solución al problema del Milenio de Clay porque ese se refiere a fluidos incompresibles donde${\textstyle \rho }$es una constante, y tampoco aborda la unicidad de las ecuaciones de Navier-Stokes con respecto a ninguna propiedad de la turbulencia . También vale la pena señalar que las componentes del vector velocidad son exactamente las de la parametrización cuádruple pitagórica . Se pueden elegir otras densidades y presiones con el mismo campo de velocidad:

Otras opciones de densidad y presión

Otra opción de presión y densidad con el mismo vector de velocidad anterior es aquella en la que la presión y la densidad caen a cero en el origen y son máximas en el bucle central en z = 0 , x ² + y ² = r ² : $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (x,y,z)&={\frac {20B\left(x^{2}+y^{2}\right)}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}\\p(x,y,z)&={\frac {-A^{2}B}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{4}}}+{\frac {-4A^{2}B\left(x^{2}+y^{2}\right)}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{5}}}.\end{aligned}}}$$

De hecho, en general existen soluciones sencillas para cualquier función polinómica f cuya densidad sea: $${\displaystyle \rho (x,y,z)={\frac {1}{r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}f\left({\frac {x^{2}+y^{2}}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}}\right).}$$