Clase Selberg

En matemáticas , la clase de Selberg es una definición axiomática de una clase de funciones L. Los miembros de la clase son series de Dirichlet que obedecen cuatro axiomas que parecen capturar las propiedades esenciales que satisfacen la mayoría de las funciones comúnmente llamadas funciones L o funciones zeta . Aunque la naturaleza exacta de la clase es conjetural, se espera que su definición conduzca a una clasificación de su contenido y a una elucidación de sus propiedades, incluyendo una comprensión de su relación con las formas automórficas y la hipótesis de Riemann . La clase fue definida por Atle Selberg en ( Selberg 1992 ) , quien prefirió no usar la palabra "axioma" que autores posteriores han empleado. ^{[ 1 ]}

Definición

La definición formal de la clase S es el conjunto de todas las series de Dirichlet.

F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}

absolutamente convergentes para Re( s ) > 1 que satisfacen cuatro axiomas (o supuestos, como los llama Selberg):

Analiticidad : $F(s)$ tiene una continuación meromorfa a todo el plano complejo, con el único polo posible (si lo hay) cuando s = 1.
Conjetura de Ramanujan : $a_{1}=1$ y $a_{n}=O(n^{\varepsilon })$ para cualquier ε > 0;
Ecuación funcional : existe un factor gamma de la forma
$\gamma (s)=Q^{s}\prod _{i=1}^{k}\Gamma (\omega _{i}s+\mu _{i})$
donde Q es real y positivo, Γ la función gamma , ω _i real y positivo, y μ _i complejo con parte real no negativa, así como un llamado número raíz.
$\alpha \in \mathbb {C} ,\;|\alpha |=1$ ,
de tal manera que la función
$\Phi (s)=\gamma (s)F(s)\,$
Satisface
$\Phi (s)=\alpha \,{\overline {\Phi (1-{\overline {s}})}};$
Producto de Euler : Para Re( s ) > 1, F ( s ) se puede escribir como un producto sobre números primos:
$F(s)=\prod _{p}F_{p}(s)$
con
$F_{p}(s)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b_{p^{n}}}{p^{ns}}}\right)$
y, para algún θ < 1/2,
$b_{p^{n}}=O(p^{n\theta }).\,$

Comentarios sobre la definición

Sin la condición $a_{n}=O(n^{\varepsilon })$ , habría:

L(s+1/3,\chi _{4})L(s-1/3,\chi _{4})

lo cual viola la hipótesis de Riemann.

Sin esta ecuación funcional tendríamos funciones L de Dirichlet para cualquier carácter imprimitivo. Si ${\textstyle \chi }$ ¿El carácter de Dirichlet es inducido por? ${\textstyle \chi ^{\star }}$ , entonces tenemos:

L(s,\chi )=L(s,\chi ^{\star })\prod _{p\,|\,q}\left(1-\chi ^{\star }(p)p^{-s}\right)

A pesar de que esta función satisface cualquier otro axioma, de esos factores adicionales se deduce que tiene infinitos ceros en

\operatorname {Re} (s)=0

No son simétricos con respecto a

\operatorname {Re} (s)={\tfrac {1}{2}}

y sin la ecuación funcional propuesta por Selberg es difícil distinguir entre los ceros triviales y no triviales de esta función.

Si la función F satisface la ecuación funcional con diferentes factores gamma, entonces, utilizando la fórmula de Stirling para la función gamma, se puede demostrar:

\gamma _{2}(s)=C\cdot \gamma _{1}(s)\quad {\text{donde: }}C\in \mathbb {R}

.

Sin embargo, mediante la fórmula de multiplicación , el mismo factor gamma puede expresarse de muchas maneras diferentes, involucrando un número distinto de funciones gamma con diferentes constantes. A pesar de esto, Selberg demostró que la suma

{\textstyle \sum _{i=1}^{k}\omega _{i}}

es independiente de la elección de la fórmula del factor gamma.

La condición de que la parte real de μ _i sea no negativa se debe a que existen funciones L conocidas que no satisfacen la hipótesis de Riemann cuando μ _i es negativo. En concreto, existen formas de Maass asociadas a autovalores excepcionales, para las cuales se cumple la conjetura de Ramanujan-Petersson , y que poseen una ecuación funcional, pero no satisfacen la hipótesis de Riemann.

Tener el producto de Euler es esencial, como lo demuestra el notable contraejemplo dado por Davenport y Heilbronn:

F(s)={\frac {1-\alpha i}{2}}L(s,\chi _{5})+{\frac {1+\alpha i}{2}}L(s,{\overline {\chi }}_{5})\quad {\text{para: }}\alpha ={\frac {{\sqrt {10-{\sqrt {5}}}}-2}{{\sqrt {5}}-1}}

A pesar de tener continuación analítica, tener coeficientes periódicos (satisfaciendo así la conjetura de Ramanujan) y satisfacer la ecuación funcional, tienen ceros que se encuentran fuera de la línea crítica.

Propiedades

La clase de Selberg es cerrada bajo la multiplicación de funciones: el producto de cualquier par de funciones pertenecientes a S también está en S. También es fácil comprobar que si F está en S , entonces la función involucrada en la ecuación funcional:

{\overline {F({\overline {s}})}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\overline {a_{n}}}{n^{s}}}

satisface los axiomas y también está en S. Si F es una función entera en S , entonces ${\textstyle F(s+it)}$ para ${\textstyle t\in \mathbb {R}}$ También está en S.

De la conjetura de Ramanujan se deduce que, para cada $\epsilon >0$ :

{\textstyle \sum _{i=1}^{n}\vert a_{i}\vert =O(n^{1+\epsilon })}

Entonces, la función que define la serie de Dirichlet converge absolutamente en el semiplano: ${\textstyle \operatorname {Re} (s)>1}$ .

A pesar de la versión inusual del producto de Euler en los axiomas, mediante la exponenciación de la serie de Dirichlet, se puede deducir que a _n es una secuencia multiplicativa y que

F_{p}(s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{p^{n}}}{p^{ns}}}{\text{ para Re}}(s)>1.

De ${\textstyle \theta <{\tfrac {1}{2}}}$ De ello se deduce que para cada factor del producto de Euler:

\log F_{p}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b_{p^{n}}}{p^{ns}}}

es absolutamente convergente en ${\textstyle \operatorname {Re} (s)>{\tfrac {1}{2}}}$ . Entonces $F_{p}(s)$ es absolutamente convergente y $F_{p}(s)\neq 0$ en esta región. En el semiplano de convergencia absoluta de la función de la serie de Dirichlet original, es un producto absolutamente convergente de factores no nulos, entonces para funciones en la clase de Selberg ${\textstyle F(s)\neq 0}$ en ${\textstyle \operatorname {Re} (s)>1}$ .

De la ecuación funcional se deduce que cada polo del factor gamma γ( s ) en ${\textstyle {\text{Re}}(s)<0}$ debe cancelarse con un cero de F. Dichos ceros se denominan ceros triviales ; los demás ceros de F se denominan ceros no triviales . Todos los ceros no triviales se encuentran en la banda crítica. ${\textstyle 0<{\text{Re}}(s)<1}$ y, según la ecuación funcional, los ceros no triviales son simétricos con respecto a la línea crítica, ${\textstyle {\text{Re}}(s)={\frac {1}{2}}}$ .

El número real no negativo

d_{F}=2\sum _{i=1}^{k}\omega _{i}

Se denomina grado (o dimensión ) de F. Dado que esta suma es independiente de la elección de la ecuación funcional, está bien definida para cualquier función F. Si F y G pertenecen a la clase de Selberg, entonces el grado de su producto es:

d_{FG}=d_{F}+d_{G}.

Se puede demostrar que F = 1 es la única función en S cuyo grado es ${\textstyle d_{F}<1}$ . Kaczorowski y Perelli (2011) demostraron que los únicos casos de ${\textstyle d_{F}<2}$ son las funciones L de Dirichlet para caracteres de Dirichlet primitivos (incluida la función zeta de Riemann). Denotando el número de ceros no triviales de F con 0 ≤ Im( s ) ≤ T por N _F ( T ), ^{[ 2 ]} Selberg demostró que:

N_{F}(T)=d_{F}{\frac {T\log(T+C)}{2\pi }}+O(\log T).

Palojärvi (2019) demostró una versión explícita del resultado .

Kaczorowski y Perelli (2003) demostraron que para F en la clase de Selberg, ${\textstyle F(1+it)\neq 0}$ para $t\in \mathbb {R}$ es equivalente a

\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\sum _{p\leq x}\vert a_{p}\vert ^{2}}{\pi (x)}}=\kappa _{F},

dónde $\kappa _{F}>0$ es un número real y ${\textstyle \pi }$ es la función de conteo de números primos . Este resultado puede considerarse una generalización del teorema de los números primos . Nagoshi y Steuding (2010) demostraron que las funciones que satisfacen la condición del teorema de los números primos tienen una propiedad de universalidad para la tira ${\textstyle \sigma <Re(s)<1}$ , dónde ${\textstyle \sigma =\max \lbrace {\frac {1}{2}},1-{\frac {1}{d_{F}}}\rbrace }$ Generaliza la propiedad de universalidad de la función zeta de Riemann y las funciones L de Dirichlet .

Una función $F\neq 1$ en S se llama primitivo si, siempre que se escribe como $F=F_{1}\cdot F_{2}$ , con ambas funciones en la clase Selberg, entonces $F=F_{1}$ o $F=F_{2}$ . Como consecuencia, ese grado es aditivo con respecto a la multiplicación de funciones y solo función de grado $d_{F}<1$ es $F=1$ Toda función F ≠ 1 puede escribirse como un producto de funciones primitivas. Sin embargo, la unicidad de esta factorización aún no ha sido demostrada.

Ejemplos

El ejemplo prototípico de un elemento en S es la función zeta de Riemann . ^{[ 3 ]} Además, la mayoría de las generalizaciones de la función zeta, como las funciones L de Dirichlet o las funciones zeta de Dedekind , pertenecen a la clase de Selberg.

Ejemplos de funciones primitivas incluyen la función zeta de Riemann y las funciones L de Dirichlet de caracteres de Dirichlet primitivos o algunas funciones L de Artin para representaciones irreducibles del grupo de Galois de la extensión de Galois de los números racionales (en el caso general de la no existencia de polos de la función L de Artin que violan el axioma de analicidad es objeto de la conjetura de Artin ).

Otro ejemplo es la función L del discriminante modular Δ,

L(s,\Delta )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n)/n^{11/2}}{n^{s}}},

dónde ${\textstyle \tau (n)}$ es la función tau de Ramanujan . ^{[ 4 ]} Este ejemplo puede considerarse una función L "normalizada" o "desplazada" para la función L de Ramanujan original, definida como

L(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n)}{n^{s}}},

cuyos coeficientes satisfacen ${\textstyle \vert \tau (n)\vert \leq n^{\frac {11}{2}}}$ Tiene la ecuación funcional

({\frac {1}{2\pi }})^{s}\Gamma (s)L(s)=({\frac {1}{2\pi }})^{12-s}\Gamma (12-s)L(12-s)

y se espera que tenga todos los ceros no triviales en la línea ${\textstyle Re(s)=6}$ .

Todos los ejemplos conocidos son funciones L automorfas , y los recíprocos de F _p ( s ) son polinomios en p ^{− s} de grado acotado. ^{[ 5 ]}

Conjeturas

Las conjeturas de Selberg

En ( Selberg 1992 ) , Selberg hizo conjeturas sobre las funciones en S :

Conjetura 1: Para todo F en S , existe un entero n _F tal que $\sum _{p\leq x}{\frac {|a_{p}|^{2}}{p}}=n_{F}\log \log x+O(1)$ y n _F = 1 siempre que F sea primitivo.
Conjetura 2: Para distintos F primitivos , F ′ ∈ S , $\sum _{p\leq x}{\frac {a_{p}{\overline {a_{p}^{\prime }}}}{p}}=O(1).$
Conjetura 3: Si F está en S con factorización primitiva $F=\prod _{i=1}^{m}F_{i},$ χ es un carácter primitivo de Dirichlet y la función $F^{\chi }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)a_{n}}{n^{s}}}$ Si también está en S , entonces las funciones F _i^χ son elementos primitivos de S (y, en consecuencia, forman la factorización primitiva de F ^χ ).
Hipótesis generalizada de Riemann para S : Para todo F en S , los ceros no triviales de F se encuentran todos en la línea Re( s ) = 1/2.

Las dos primeras conjeturas de Selberg se conocen a menudo de forma conjunta como la conjetura de ortogonalidad de Selberg .

Otras conjeturas

Se conjetura que la clase de Selberg es igual a la clase de funciones L automórficas . Se espera que las funciones primitivas estén asociadas con representaciones automórficas irreducibles.

Se conjetura que todos los recíprocos de los factores F _p ( s ) de los productos de Euler son polinomios en p ^{− s} de grado acotado.

Se conjetura que, para cualquier F en la clase de Selberg, ${\textstyle d_{F}}$ es un entero no negativo. El mejor resultado particular debido a Kaczorowski y Perelli muestra esto solo para ${\textstyle d_{F}<2}$ .

Consecuencias de las conjeturas

La conjetura de ortogonalidad de Selberg tiene numerosas consecuencias para las funciones de la clase de Selberg:

La factorización de la función F en S en funciones primitivas sería única.
Si ${\textstyle F=F_{1}^{e_{1}}\dots F_{n}^{e_{n}}}$ es una factorización de F en S en funciones primitivas, entonces ${\textstyle n_{F}=e_{1}^{2}+\dots +e_{n}^{2}}$ . En particular, esto implica que ${\textstyle n_{F}=1}$ si y solo si F es una función primitiva. ^{[ 6 ]}
Las funciones en S no tienen ceros en ${\textstyle Re(s)=1}$ Esto implica que satisfacen una generalización del teorema de los números primos y poseen una propiedad de universalidad.
Si F tiene un polo de orden m en s = 1, entonces F ( s )/ζ( s ) ^m es entero. En particular, implican la conjetura de Dedekind. ^{[ 7 ]}
M. Ram Murty demostró en ( Murty 1994 ) que la conjetura de ortogonalidad implica la conjetura de Artin . ^{[ 8 ]}
En el mismo artículo, Murty demostró que la conjetura de ortogonalidad implica la reciprocidad de Langlands para las funciones L de Artin de extensiones resolubles.
Las funciones L de representaciones automorfas cuspidales irreducibles que satisfacen la conjetura de Ramanujan son primitivas. ^[⁹^]

La hipótesis generalizada de Riemann para S implica muchas generalizaciones diferentes de la hipótesis original de Riemann, siendo las más notables la hipótesis generalizada de Riemann para funciones L de Dirichlet y la hipótesis extendida de Riemann para funciones zeta de Dedekind, con múltiples consecuencias en la teoría analítica de números , la teoría algebraica de números , la teoría de cuerpos de clases y numerosas ramas de las matemáticas.

Combinadas con la hipótesis generalizada de Riemann, diferentes versiones de la conjetura de ortogonalidad implican ciertas tasas de crecimiento para la función y su derivada logarítmica. ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}

Si la clase de Selberg es igual a la clase de funciones L automorfas , entonces la hipótesis de Riemann para S sería equivalente a la hipótesis de Gran Riemann .

Véase también

Lista de funciones zeta

Notas

↑ El título del artículo de Selberg es una especie de parodia de Paul Erdős , quien tenía muchos artículos titulados (aproximadamente) "(Algunos) problemas y resultados antiguos y nuevos sobre...". De hecho, la conferencia de Amalfi de 1989 fue bastante sorprendente, ya que tanto Selberg como Erdős estuvieron presentes, y se dice que Selberg no sabía que Erdős asistiría.
↑ Los ceros en el límite se cuentan con multiplicidad media.
↑ Murty 2008
↑ Murty 2008
↑ Murty 1994
↑ Conrey y Ghosh 1993 , § 4
↑ Una célebre conjetura de Dedekind afirma que para cualquier extensión algebraica finita $F$ de $\mathbb {Q}$ la función zeta $\zeta _{F}(s)$ es divisible por la función zeta de Riemann $\zeta (s)$ . Es decir, el cociente $\zeta _{F}(s)/\zeta (s)$ es entera. De manera más general, Dedekind conjetura que si $K$ es una extensión finita de $F$ , entonces $\zeta _{K}(s)/\zeta _{F}(s)$ debería ser completo. Esta conjetura aún está abierta.
↑ De hecho, Murty demostró que las funciones L de Artin correspondientes a representaciones irreducibles del grupo de Galois de una extensión resoluble de los racionales son representaciones automorfas, tal como predijeron las conjeturas de Langlands. Murty 1994 , Teorema 4.3
↑ Murty 1994 , Lema 4.2
^ Aistleitner, Christoph; Pańkowski, Łukasz (2017). "Grandes valores de funciones L de la clase Selberg". J. Matemáticas. Anal. Aplica . 446 (1): 345– 364. arXiv : 1507.06066 . doi : 10.1016/j.jmaa.2016.08.044 .
↑ Palojärvi, Neea; Simonič, Aleksander (2022). "Estimaciones condicionales para funciones L en la clase Selberg". arXiv : 2211.01121 [ matemáticas.NT ].
↑ Palojärvi, Neea; Simonič, Aleksander (2024). "Límites superiores e inferiores condicionales para funciones L en la clase de Selberg cerca de la línea crítica". arXiv : 2410.22711 [ math.NT ].

Referencias

Selberg, Atle (1992), "Conjeturas y resultados antiguos y nuevos sobre una clase de series de Dirichlet", Actas de la Conferencia de Amalfi sobre Teoría Analítica de Números (Maiori, 1989) , Salerno: Univ. Salerno, pp. 367–385 , MR 1220477 , Zbl 0787.11037 Reimpreso en Collected Papers, vol . 2 , Springer-Verlag, Berlín (1991)
Conrey, J. Brian ; Ghosh, Amit (1993), "Sobre la clase de Selberg de series de Dirichlet: grados pequeños", Duke Mathematical Journal , 72 (3): 673–693 , arXiv : math.NT/9204217 , doi : 10.1215/s0012-7094-93-07225-0 , MR 1253620 , Zbl 0796.11037

Murty, M. Ram (1994), "Conjeturas de Selberg y funciones L de Artin ", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , Nueva Serie, 31 (1): 1– 14, arXiv : math/9407219 , doi : 10.1090/s0273-0979-1994-00479-3 , MR 1242382 , S2CID 265909 , Zbl 0805.11062

Murty, M. Ram (2008), Problemas en teoría analítica de números , Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas en matemáticas, vol. 206 (Segunda ed.), Springer-Verlag , Capítulo 8, doi : 10.1007/978-0-387-72350-1 , ISBN 978-0-387-72349-5, MR 2376618 , Zbl 1190.11001

Kaczorowski, Jerzy y Perelli, Alberto (2011). "Sobre la estructura de la clase de Selberg, VII" (PDF) . Annals of Mathematics . 173 : 1397–1441 . doi : 10.4007/annals.2011.173.3.4 .

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Nagoshi, Hirofumi y Steuding, Jörn (2010). "Sobre el teorema de los números primos para la clase de Selberg" . Lithuanian Mathematical Journal . 50 : 293–311 . doi : 10.1007/s10986-010-9087-z .

[1] El título del artículo de Selberg es una especie de parodia de Paul Erdős , quien tenía muchos artículos titulados (aproximadamente) "(Algunos) problemas y resultados antiguos y nuevos sobre...". De hecho, la conferencia de Amalfi de 1989 fue bastante sorprendente, ya que tanto Selberg como Erdős estuvieron presentes, y se dice que Selberg no sabía que Erdős asistiría.

[2] Los ceros en el límite se cuentan con multiplicidad media.

[3] Murty 2008

[4] Murty 2008

[5] Murty 1994

[6] Conrey y Ghosh 1993 , § 4

[7] Una célebre conjetura de Dedekind afirma que para cualquier extensión algebraica finita $F$ de $\mathbb {Q}$ la función zeta $\zeta _{F}(s)$ es divisible por la función zeta de Riemann $\zeta (s)$ . Es decir, el cociente $\zeta _{F}(s)/\zeta (s)$ es entera. De manera más general, Dedekind conjetura que si $K$ es una extensión finita de $F$ , entonces $\zeta _{K}(s)/\zeta _{F}(s)$ debería ser completo. Esta conjetura aún está abierta.

[8] De hecho, Murty demostró que las funciones L de Artin correspondientes a representaciones irreducibles del grupo de Galois de una extensión resoluble de los racionales son representaciones automorfas, tal como predijeron las conjeturas de Langlands. Murty 1994 , Teorema 4.3

[9] Murty 1994 , Lema 4.2

[AinPan2017-10] Aistleitner, Christoph; Pańkowski, Łukasz (2017). "Grandes valores de funciones L de la clase Selberg". J. Matemáticas. Anal. Aplica . 446 (1): 345– 364. arXiv : 1507.06066 . doi : 10.1016/j.jmaa.2016.08.044 .

[PalSim2022-11] Palojärvi, Neea; Simonič, Aleksander (2022). "Estimaciones condicionales para funciones L en la clase Selberg". arXiv : 2211.01121 [ matemáticas.NT ].

[PalSim2024-12] Palojärvi, Neea; Simonič, Aleksander (2024). "Límites superiores e inferiores condicionales para funciones L en la clase de Selberg cerca de la línea crítica". arXiv : 2410.22711 [ math.NT ].

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