Ecuaciones de Bloch para semiconductores

Las ecuaciones de Bloch para semiconductores ^{[ 1 ]} (abreviadas como EBS) describen la respuesta óptica de semiconductores excitados por fuentes de luz clásica coherente , como los láseres . Se basan en una teoría cuántica completa y forman un conjunto cerrado de ecuaciones integro-diferenciales para la dinámica cuántica de la polarización microscópica y la distribución de portadores de carga . ^{[ 2 ] [ 3 ]} Las EBS reciben su nombre por la analogía estructural con las ecuaciones de Bloch ópticas que describen la dinámica de excitación en un átomo de dos niveles que interactúa con un campo electromagnético clásico . Como principal complicación más allá del enfoque atómico, las EBS deben abordar las interacciones de muchos cuerpos resultantes de la fuerza de Coulomb entre cargas y el acoplamiento entre vibraciones de la red y electrones.

La respuesta óptica de un semiconductor se obtiene si se puede determinar su polarización macroscópica.${\displaystyle \mathbf {P} }$en función del campo eléctrico${\displaystyle \mathbf {E} }$que lo excita. La conexión entre${\displaystyle \mathbf {P} }$y la polarización microscópica${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$es dado por

${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {d} \,\sum _{\mathbf {k} }P_{\mathbf {k} }+\operatorname {cc} \;,}$

donde la suma involucra momentos cristalinos${\displaystyle \hbar {\mathbf {k} }}$de todos los estados electrónicos relevantes. En la óptica de semiconductores, normalmente se excitan transiciones entre una banda de valencia y una banda de conducción . En este sentido,${\displaystyle \mathbf {d} }$es el elemento de matriz dipolar entre la banda de conducción y la banda de valencia y${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$define la amplitud de transición correspondiente.

La derivación de las SBE parte de un hamiltoniano del sistema que incluye completamente las partículas libres , la interacción de Coulomb , la interacción dipolar entre la luz clásica y los estados electrónicos, así como las contribuciones de los fonones . ^{[ 3 ]} Como casi siempre en la física de muchos cuerpos , es más conveniente aplicar el formalismo de segunda cuantización después del hamiltoniano del sistema apropiado.${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathrm {Sistema} }}$Se identifica. A partir de ahí, se puede derivar la dinámica cuántica de los observables relevantes.${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}}$mediante el uso de la ecuación de movimiento de Heisenberg

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {\mathcal {O}}}\rangle =\langle [{\hat {\mathcal {O}}},{\hat {H}}_{\mathrm {System} }]_{-}\rangle \;.}$

Debido a las interacciones de muchos cuerpos dentro${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathrm {Sistema} }}$, la dinámica de lo observable${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}}$se acoplan a nuevos observables y la estructura de la ecuación no puede cerrarse. Este es el conocido problema de jerarquía BBGKY que puede truncarse sistemáticamente con diferentes métodos, como el enfoque de expansión de clústeres . ^{[ 4 ]}

A nivel de operador, la polarización microscópica se define mediante un valor esperado para una única transición electrónica entre una banda de valencia y una banda de conducción. En la segunda cuantización, los electrones de la banda de conducción se definen mediante operadores de creación y aniquilación fermiónicos .${\displaystyle {\hat {a}}_{c,{\mathbf {k} }}^{\dagger }}$y${\displaystyle {\hat {a}}_{c,{\mathbf {k} }}}$, respectivamente. Una identificación análoga, es decir,${\displaystyle {\hat {a}}_{v,{\mathbf {k} }}^{\dagger }}$y${\displaystyle {\hat {a}}_{v,{\mathbf {k} }}}$, está hecha para los electrones de la banda de valencia. La transición interbanda electrónica correspondiente se convierte entonces en

${\displaystyle P_{\mathbf {k} }^{\star }=\langle {\hat {a}}_{c,\mathbf {k} }^{\dagger }{\hat {a}}_{v,\mathbf {k} }\rangle \,,\qquad P_{\mathbf {k} }=\langle {\hat {a}}_{v,\mathbf {k} }^{\daga }{\hat {a}}_{c,\mathbf {k} }\rangle \,,}$

que describen las amplitudes de transición para mover un electrón de la banda de conducción a la banda de valencia (${\displaystyle P_{\mathbf {k} }^{\star }}$término) o viceversa (${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$término). Al mismo tiempo, se obtiene una distribución de electrones a partir de

${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{e}=\langle {\hat {a}}_{c,\mathbf {k} }^{\dagger }{\hat {a}}_{c,\mathbf {k} }\rangle \;.}$

También es conveniente seguir la distribución de vacantes electrónicas, es decir, los huecos ,

${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{h}=1-\langle {\hat {a}}_{v,\mathbf {k} }^{\dagger }{\hat {a}}_{v,\mathbf {k} }\rangle =\langle {\hat {a}}_{v,\mathbf {k} }{\hat {a}}_{v,\mathbf {k} }^{\daga }\rangle }$

que quedan en la banda de valencia debido a procesos de excitación óptica.

La dinámica cuántica de las excitaciones ópticas produce ecuaciones integro-diferenciales que constituyen las SBE ^{[ 1 ] [ 3 ]}

Estos contienen la energía de Rabi renormalizada

${\displaystyle \Omega _{\mathbf {k} }=\mathbf {d} \cdot \mathbf {E} +\sum _{\mathbf {k} '\neq \mathbf {k} }V_{\mathbf {k} -\mathbf {k} '}P_{\mathbf {k} '}}$

así como la energía portadora renormalizada

${\displaystyle {\tilde {\varepsilon }}_{\mathbf {k} }=\varepsilon _{\mathbf {k} }-\sum _{\mathbf {k} '\neq \mathbf {k} }V_{\mathbf {k} -\mathbf {k} '}\left[f_{\mathbf {k} '}^{e}+f_{\mathbf {k} '}^{h}\right]\,,}$

dónde${\displaystyle \varepsilon _ {\mathbf {k} }}$corresponde a la energía de pares electrón-hueco libres y${\displaystyle V_{\mathbf {k} }}$es el elemento de la matriz de Coulomb, dado aquí en términos del vector de onda portadora.${\displaystyle \mathbf {k} }$.

El denotado simbólicamente${\displaystyle \left.\cdots \right|_{\mathrm {scatter} }}$Las contribuciones provienen del acoplamiento jerárquico debido a las interacciones de muchos cuerpos. Conceptualmente,${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$,${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{e}}$, y${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{h}}$son valores esperados de partícula única, mientras que el acoplamiento jerárquico se origina a partir de correlaciones de dos partículas, como correlaciones de densidad de polarización o correlaciones de fonones de polarización. Físicamente, estas correlaciones de dos partículas introducen varios efectos no triviales, como el apantallamiento de la interacción de Coulomb, la dispersión de tipo Boltzmann de${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{e}}$y${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{h}}$hacia la distribución de Fermi-Dirac , la decoherencia inducida por excitación y la posterior renormalización de las energías debido a las correlaciones.

Todos estos efectos de correlación pueden incluirse sistemáticamente resolviendo también la dinámica de las correlaciones de dos partículas. ^{[ 5 ]} A este nivel de sofisticación, se pueden usar las EBS para predecir la respuesta óptica de los semiconductores sin parámetros fenomenológicos , lo que les confiere un grado de predictibilidad muy alto. De hecho, se pueden usar las EBS para predecir diseños de láser adecuados mediante el conocimiento preciso que proporcionan sobre el espectro de ganancia del semiconductor . Incluso se pueden usar las EBS para deducir la existencia de correlaciones, como excitones ligados, a partir de mediciones cuantitativas. ^{[ 6 ]}

Las SBE presentadas se formulan en el espacio de momentos ya que el momento cristalino del portador se deriva de${\displaystyle \hbar \mathbf {k} }$. También se puede formular un conjunto equivalente de ecuaciones en el espacio de posición. ^{[ 7 ]} Sin embargo, en particular, los cálculos de correlación son mucho más sencillos de realizar en el espacio de momento.

El${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$La dinámica muestra una estructura donde un individuo${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$está acoplada a todas las demás polarizaciones microscópicas debido a la interacción de Coulomb.${\displaystyle V_{\mathbf {k} }}$. Por lo tanto, la amplitud de transición${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$se modifica colectivamente por la presencia de otras amplitudes de transición. Solo si se establece${\displaystyle V_{\mathbf {k} }}$a cero, se encuentran transiciones aisladas dentro de cada${\displaystyle {\mathbf {k} }}$estado que sigue exactamente la misma dinámica que predicen las ecuaciones ópticas de Bloch . Por lo tanto, ya la interacción de Coulomb entre${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$Produce un nuevo efecto de estado sólido en comparación con las transiciones ópticas en átomos simples.

Conceptualmente,${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$es simplemente una amplitud de transición para excitar un electrón de la banda de valencia a la banda de conducción. Al mismo tiempo, la parte homogénea de${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$La dinámica produce un problema de valores propios que puede expresarse mediante la ecuación de Wannier generalizada . Los autoestados de la ecuación de Wannier son análogos a las soluciones ligadas del problema del hidrógeno en mecánica cuántica. Estas soluciones se conocen comúnmente como soluciones de excitones y describen formalmente la interacción coulombiana entre electrones y huecos con cargas opuestas.

Sin embargo, un excitón real es una verdadera correlación de dos partículas porque entonces debe existir una correlación entre un electrón y otro hueco. Por lo tanto, la aparición de resonancias de excitones en la polarización no significa la presencia de excitones porque${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$es una amplitud de transición de partícula única. Las resonancias excitónicas son una consecuencia directa del acoplamiento de Coulomb entre todas las transiciones posibles en el sistema. En otras palabras, las transiciones de partícula única se ven influenciadas por la interacción de Coulomb, lo que permite detectar la resonancia de excitones en la respuesta óptica incluso cuando no hay excitones reales presentes. ^{[ 8 ]}

Por lo tanto, a menudo es habitual especificar las resonancias ópticas como excitónicas en lugar de resonancias de excitones. El papel real de los excitones en la respuesta óptica solo puede deducirse mediante cambios cuantitativos que inducen en el ancho de línea y el desplazamiento de energía de las resonancias excitónicas. ^{[ 6 ]}

Las soluciones de la ecuación de Wannier proporcionan información valiosa sobre las propiedades básicas de la respuesta óptica de un semiconductor. En particular, se pueden resolver las soluciones de estado estacionario de las ecuaciones de Schrödinger para predecir analíticamente el espectro de absorción óptica mediante la denominada fórmula de Elliott . De esta forma, se puede verificar que un semiconductor no excitado presenta varias resonancias de absorción excitónica muy por debajo de la energía de la banda prohibida fundamental. Obviamente, esta situación no puede ser la detección de excitones, ya que el sistema inicial de muchos cuerpos no contiene electrones ni huecos. Además, la detección puede realizarse, en principio, con tanta suavidad que prácticamente no se excitan pares electrón-hueco. Este experimento mental ilustra claramente por qué se pueden detectar resonancias excitónicas sin la presencia de excitones en el sistema, todo ello debido al acoplamiento de Coulomb entre las amplitudes de transición.

Las ecuaciones de Schrödinger de Bloch (SBE, por sus siglas en inglés) son particularmente útiles para resolver la propagación de la luz a través de una estructura semiconductora. En este caso, es necesario resolver las SBE junto con las ecuaciones de Maxwell , considerando la polarización óptica. Este conjunto autoconsistente se denomina ecuaciones de Maxwell-SBE y se aplica frecuentemente para analizar experimentos actuales y simular diseños de dispositivos.

En este nivel, las SBE proporcionan un método extremadamente versátil que describe fenómenos lineales y no lineales como efectos excitónicos , efectos de propagación, efectos de microcavidades semiconductoras, mezcla de cuatro ondas , polaritones en microcavidades semiconductoras, espectroscopia de ganancia , etc. ^{[ 4 ] [ 8 ] [ 9 ]} También se pueden generalizar las SBE incluyendo la excitación con campos de terahercios (THz) ^{[ 5 ]} que son típicamente resonantes con transiciones intrabanda. También se puede cuantizar el campo de luz e investigar los efectos cuántico-ópticos resultantes. En esta situación, las SBE se acoplan a las ecuaciones de luminiscencia de semiconductores .

• Absorción
• Ecuaciones de luminiscencia de semiconductores
• Fórmula de Elliott
• Espectroscopia cuántico-óptica
• Ecuaciones de Bloch ópticas
• ecuación de Wannier
• Espectroscopia de ganancia de semiconductores
• Teoría del láser semiconductor
• Teoría no lineal de los láseres semiconductores

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