Grupo cuasidiédrico

En matemáticas , los grupos cuasi-diédricos , también llamados grupos semi-diédricos , son ciertos grupos no abelianos de orden una potencia de 2. Para cada entero positivo n mayor o igual a 4, existen exactamente cuatro clases de isomorfismo de grupos no abelianos de orden 2 ⁿ que tienen un subgrupo cíclico de índice 2. Dos son bien conocidos, el grupo de cuaterniones generalizados y el grupo diedro . Uno de los dos grupos restantes se considera a menudo particularmente importante, ya que es un ejemplo de un 2-grupo de clase de nilpotencia máxima . En el texto de Bertram Huppert Endliche Gruppen , este grupo se llama "Quasidiedergruppe". En el texto de Daniel Gorenstein , Finite Groups , este grupo se llama "grupo semidiédrico". Dummit y Foote se refieren a él como el "grupo cuasidiédrico"; adoptamos ese nombre en este artículo. Todos dan la misma presentación para este grupo:

${\displaystyle \langle r,s\mid r^{2^{n-1}}=s^{2}=1,\ srs=r^{2^{n-2}-1}\rangle \, \!}$.

El otro grupo 2 no abeliano con subgrupo cíclico de índice 2 no recibe un nombre especial en ninguno de los textos, sino que se lo menciona simplemente como G o M _m (2). Cuando este grupo tiene orden 16, Dummit y Foote se refieren a este grupo como el "grupo modular de orden 16", ya que su red de subgrupos es modular . En este artículo, este grupo se llamará el grupo cíclico maximal modular de orden . Su presentación es: ${\estilo de visualización 2^{n}}$

${\displaystyle \langle r,s\mid r^{2^{n-1}}=s^{2}=1,\ srs=r^{2^{n-2}+1}\rangle \, \!}$.

Tanto estos dos grupos como el grupo diedro son productos semidirectos de un grupo cíclico < r > de orden 2 ^{n −1} con un grupo cíclico < s > de orden 2. Un producto semidirecto no abeliano de este tipo está determinado de forma única por un elemento de orden 2 en el grupo de unidades del anillo y hay precisamente tres elementos de este tipo, , , y , correspondientes al grupo diedro, al cuasidiédrico y al grupo cíclico maximal modular. ${\displaystyle \mathbb {Z} /2^{n-1}\mathbb {Z} }$$Estilo de visualización 2^{n-1}-1}$$Estilo de visualización 2^{n-2}-1$$Estilo de visualización 2^{n-2}+1$

El grupo de cuaterniones generalizado, el grupo diedro y el grupo cuasidiédrico de orden 2 ⁿ tienen todos una clase de nilpotencia n − 1, y son las únicas clases de isomorfismo de grupos de orden 2 ⁿ con una clase de nilpotencia n − 1. Los grupos de orden p ⁿ y la clase de nilpotencia n − 1 fueron el comienzo de la clasificación de todos los p -grupos a través de la coclase . El grupo cíclico maximal modular de orden 2 ⁿ siempre tiene una clase de nilpotencia 2. Esto hace que el grupo cíclico maximal modular sea menos interesante, ya que la mayoría de los grupos de orden p ⁿ para n grandes tienen una clase de nilpotencia 2 y han demostrado ser difíciles de entender directamente.

El cuaternión generalizado, el diedro y el grupo cuasidiédrico son los únicos 2-grupos cuyo subgrupo derivado tiene índice 4. El teorema de Alperin-Brauer-Gorenstein clasifica los grupos simples y, en cierta medida, los grupos finitos , con 2-subgrupos de Sylow cuasidiédricos.

Los subgrupos de Sylow 2 de los siguientes grupos son cuasidiédricos:

• PSL ₃ ( F _q ) para q ≡ 3 mod 4,
• Fuente de alimentación ₃ ( F _q ) para q ≡ 1 mod 4,
• El grupo Mathieu M ₁₁ ,
• GL ₂ ( F _q ) para q ≡ 3 mod 4.

• Dummit, DS; Foote, R. (2004). Álgebra abstracta (3.ª ed.). Wiley. págs. 71–72. ISBN 9780471433347.
• Huppert, B. (1967). Grupo Endliche . Saltador. págs. 90–93. SEÑOR  0224703.
• Gorenstein, D. (1980). Grupos finitos . Chelsea. Págs. 188-195. ISBN. 0-8284-0301-5.Sr .  0569209.