descomposición semiortogonal

En matemáticas, una descomposición semiortogonal es una forma de dividir una categoría triangulada en partes más simples. Una forma de producir una descomposición semiortogonal es a partir de una colección excepcional , una secuencia especial de objetos en una categoría triangulada. Para una variedad algebraica X , ha sido fructífero estudiar las descomposiciones semiortogonales de la categoría derivada acotada de haces coherentes .${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)}$.

Alexei Bondal y Mikhail Kapranov (1989) definieron una descomposición semiortogonal de una categoría triangulada${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ser una secuencia${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1},\ldots ,{\mathcal {A}}_{n}}$de subcategorías trianguladas estrictamente completas tales que: ^{[ 1 ]}

• a pesar de${\displaystyle 1\leq i<j\leq n}$y todos los objetos${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}}$y${\displaystyle A_{j}\in {\mathcal {A}}_{j}}$, cada morfismo de${\displaystyle A_{j}}$a${\displaystyle A_{i}}$es cero. Es decir, no hay "morfismos de derecha a izquierda".
• ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$es generado por${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1},\ldots ,{\mathcal {A}}_{n}}$. Es decir, la subcategoría triangulada estrictamente completa más pequeña de${\displaystyle {\mathcal {T}}}$que contiene${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1},\ldots ,{\mathcal {A}}_{n}}$es igual a${\displaystyle {\mathcal {T}}}$.

La notación${\displaystyle {\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {A}}_{1},\ldots ,{\mathcal {A}}_{n}\rangle }$se utiliza para una descomposición semiortogonal.

Tener una descomposición semiortogonal implica que cada objeto de${\displaystyle {\mathcal {T}}}$tiene una "filtración" canónica cuyas piezas graduadas están (sucesivamente) en las subcategorías${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1},\ldots ,{\mathcal {A}}_{n}}$. Es decir, para cada objeto T de${\displaystyle {\mathcal {T}}}$, hay una secuencia

${\displaystyle 0=T_{n}\to T_{n-1}\to \cdots \to T_{0}=T}$

de morfismos en${\displaystyle {\mathcal {T}}}$de tal manera que el cono de${\displaystyle T_{i}\to T_{i-1}}$está en${\displaystyle {\mathcal {A}}_{i}}$, para cada i . Además, esta secuencia es única salvo un único isomorfismo. ^{[ 2 ]}

También se pueden considerar descomposiciones "ortogonales" de una categoría triangulada, exigiendo que no haya morfismos de${\displaystyle {\mathcal {A}}_{i}}$a${\displaystyle {\mathcal {A}}_{j}}$para cualquier${\displaystyle i\neq j}$Sin embargo, esa propiedad es demasiado fuerte para la mayoría de los propósitos. Por ejemplo, para una variedad proyectiva lisa (irreducible) X sobre un cuerpo , la categoría derivada acotada${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)}$Los haces coherentes nunca tienen una descomposición ortogonal no trivial, mientras que sí pueden tener una descomposición semiortogonal, como se muestra en los ejemplos a continuación.

Una descomposición semiortogonal de una categoría triangulada puede considerarse análoga a una filtración finita de un grupo abeliano . Alternativamente, se puede considerar una descomposición semiortogonal.${\displaystyle {\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\rangle }$cuanto más cerca de una secuencia exacta dividida , porque la secuencia exacta${\displaystyle 0\to {\mathcal {A}}\to {\mathcal {T}}\to {\mathcal {T}}/{\mathcal {A}}\to 0}$de categorías trianguladas se divide por la subcategoría${\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {T}}}$, mapeando isomórficamente a${\displaystyle {\mathcal {T}}/{\mathcal {A}}}$.

Utilizando esa observación, una descomposición semiortogonal${\displaystyle {\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {A}}_{1},\ldots ,{\mathcal {A}}_{n}\rangle }$implica una descomposición mediante suma directa de los grupos de Grothendieck :

${\displaystyle K_{0}({\mathcal {T}})\cong K_{0}({\mathcal {A}}_{1})\oplus \cdots \oplus K_{0}({\mathcal {A_{n}}}).}$

Por ejemplo, cuando${\displaystyle {\mathcal {T}}={\text{D}}^{\text{b}}(X)}$es la categoría derivada acotada de haces coherentes sobre una variedad proyectiva lisa X ,${\displaystyle K_{0}({\mathcal {T}})}$puede identificarse con el grupo Grothendieck${\displaystyle K_{0}(X)}$de haces vectoriales algebraicos en X. En esta situación geométrica, utilizando que${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)}$proviene de una dg-categoría , una descomposición semiortogonal da en realidad una división de todos los K-grupos algebraicos de X :

${\displaystyle K_{i}(X)\cong K_{i}({\mathcal {A}}_{1})\oplus \cdots \oplus K_{i}({\mathcal {A_{n}}})}$

para todo i . ^{[ 3 ]}

Una forma de producir una descomposición semiortogonal es a partir de una subcategoría admisible. Por definición, una subcategoría triangulada completa${\displaystyle {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {T}}}$se deja admisible si el functor de inclusión${\displaystyle i\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {T}}}$tiene un functor adjunto izquierdo , escrito${\displaystyle i^{*}}$. Asimismo,${\displaystyle {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {T}}}$es admisible derecho si la inclusión tiene un adjunto derecho, escrito${\displaystyle i^{!}}$y es admisible si es admisible tanto por la izquierda como por la derecha.

Una subcategoría admisible por derecho${\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {T}}}$determina una descomposición semiortogonal

${\displaystyle {\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {B}}^{\perp },{\mathcal {B}}\rangle }$,

dónde

${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\perp }:=\{T\in {\mathcal {T}}:\operatorname {Hom} ({\mathcal {B}},T)=0\}}$

es la ortogonal derecha de${\displaystyle {\mathcal {B}}}$en${\displaystyle {\mathcal {T}}}$. ^{[ 2 ]} Por el contrario, toda descomposición semiortogonal${\displaystyle {\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\rangle }$surge de esta manera, en el sentido de que${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es correcto admisible y${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}^{\perp }}$. Asimismo, para cualquier descomposición semiortogonal${\displaystyle {\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\rangle }$, la subcategoría${\displaystyle {\mathcal {A}}}$se deja admisible y${\displaystyle {\mathcal {B}}={}^{\perp }{\mathcal {A}}}$, dónde

${\displaystyle {}^{\perp }{\mathcal {A}}:=\{T\in {\mathcal {T}}:\operatorname {Hom} (T,{\mathcal {A}})=0\}}$

es la ortogonal izquierda de${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

Si${\displaystyle {\mathcal {T}}}$es la categoría derivada acotada de una variedad proyectiva suave sobre un cuerpo k , entonces toda subcategoría admisible por la izquierda o por la derecha de${\displaystyle {\mathcal {T}}}$es de hecho admisible. ^{[ 4 ]} Según los resultados de Bondal y Michel Van den Bergh , esto se cumple de manera más general para${\displaystyle {\mathcal {T}}}$cualquier categoría triangulada propia regular que sea idempotente-completa . ^{[ 5 ]}

Además, para una categoría triangulada idempotente-completa propia y regular${\displaystyle {\mathcal {T}}}$, una subcategoría triangulada completa es admisible si y solo si es regular e idempotente-completa. Estas propiedades son intrínsecas a la subcategoría. ^{[ 6 ]} Por ejemplo, para X una variedad proyectiva lisa e Y una subvariedad distinta de X , la subcategoría de${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)}$No se admiten objetos soportados en Y.

Sea k un cuerpo, y sea${\displaystyle {\mathcal {T}}}$sea ​​una categoría triangulada k -lineal. Un objeto E de${\displaystyle {\mathcal {T}}}$Se denomina excepcional si Hom( E , E ) = k y Hom( E , E [ t ]) = 0 para todos los enteros distintos de cero t , donde [ t ] es el functor de desplazamiento en${\displaystyle {\mathcal {T}}}$. (En la categoría derivada de una variedad proyectiva compleja suave X , el espacio de deformación de primer orden de un objeto E es${\displaystyle \operatorname {Ext} _{X}^{1}(E,E)\cong \operatorname {Hom} (E,E[1])}$y, por lo tanto, un objeto excepcional es particularmente rígido. De ello se deduce, por ejemplo, que hay como máximo una cantidad numerable de objetos excepcionales en${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)}$(hasta el isomorfismo. Eso ayuda a explicar el nombre.)

La subcategoría triangulada generada por un objeto excepcional E es equivalente a la categoría derivada.${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(k)}$de espacios k -vectoriales de dimensión finita , la categoría triangulada más simple en este contexto. (Por ejemplo, todo objeto de esa subcategoría es isomorfo a una suma directa finita de desplazamientos de E ).

Alexei Gorodentsev y Alexei Rudakov (1987) definieron una colección excepcional como una secuencia de objetos excepcionales.${\displaystyle E_{1},\ldots ,E_{m}}$de tal manera que${\displaystyle \operatorname {Hom} (E_{j},E_{i}[t])=0}$para todo i < j y todos los enteros t . (Es decir, no hay "morfismos de derecha a izquierda"). En una categoría triangulada propia${\displaystyle {\mathcal {T}}}$sobre k , como la categoría derivada acotada de haces coherentes en una variedad proyectiva lisa, cada colección excepcional genera una subcategoría admisible y, por lo tanto, determina una descomposición semiortogonal:

${\displaystyle {\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {A}},E_{1},\ldots,E_{m}\rangle,}$

dónde${\displaystyle {\mathcal {A}}=\langle E_{1},\ldots,E_{m}\rangle ^{\perp }}$, y${\displaystyle E_{i}}$denota la subcategoría triangulada completa generada por el objeto${\displaystyle E_{i}}$. ^{[ 7 ]} Una colección excepcional se llama completa si la subcategoría${\displaystyle {\mathcal {A}}}$es cero. (Por lo tanto, una colección excepcional completa divide toda la categoría triangulada en un número finito de copias de${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(k)}$.)

En particular, si X es una variedad proyectiva lisa tal que${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)}$tiene una colección excepcional completa${\displaystyle E_{1},\ldots ,E_{m}}$, entonces el grupo de Grothendieck de haces vectoriales algebraicos en X es el grupo abeliano libre en las clases de estos objetos:

${\displaystyle K_{0}(X)\cong \mathbb {Z} \{E_{1},\ldots ,E_{m}\}.}$

Una variedad proyectiva compleja suave X con una colección excepcional completa debe tener teoría de Hodge trivial , en el sentido de que${\displaystyle h^{p,q}(X)=0}$a pesar de${\displaystyle p\neq q}$; además, el mapa de clases de ciclo${\displaystyle CH^{*}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{*}(X,\mathbb {Q} )}$debe ser un isomorfismo. ^{[ 8 ]}

El ejemplo original de una colección excepcional completa fue descubierto por Alexander Beilinson (1978): la categoría derivada de espacio proyectivo sobre un cuerpo tiene la colección excepcional completa.

${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(\mathbf {P} ^{n})=\langle O,O(1),\ldots ,O(n)\rangle }$,

donde O( j ) para enteros j son los haces de líneas en el espacio proyectivo . ^{[ 9 ]} También se han construido colecciones excepcionales completas en todas las variedades tóricas proyectivas lisas , superficies de del Pezzo , muchas variedades homogéneas proyectivas y algunas otras variedades de Fano . ^{[ 10 ]}

De manera más general, si X es una variedad proyectiva suave de dimensión positiva tal que los grupos de cohomología de haces coherentes${\displaystyle H^{i}(X,O_{X})}$son cero para i > 0, entonces el objeto${\displaystyle O_{X}}$en${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)}$es excepcional y, por lo tanto, induce una descomposición semiortogonal no trivial.${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)=\langle (O_{X})^{\perp },O_{X}\rangle }$Esto se aplica a todas las variedades de Fano sobre un cuerpo de característica cero , por ejemplo. También se aplica a algunas otras variedades, como las superficies de Enriques y algunas superficies de tipo general .

Una fuente de ejemplos es la fórmula de explosión de Orlov relativa a la explosión.${\displaystyle X=\operatorname {Bl} _{Z}(Y)}$de una variedad proyectiva suave${\displaystyle Y}$en una subvariedad suave${\displaystyle Z}$de codimensión${\displaystyle k}$con ubicación excepcional${\displaystyle \iota :E\simeq \mathbb {P} _{Z}(N_{Z/Y})\to X}$Existe una descomposición semiortogonal.${\displaystyle D^{b}(X)=\langle \Phi _{1-k}(D^{b}(Z)),\ldots ,\Phi _{-1}(D^{b}(Z)),\pi ^{*}(D^{b}(Y))\rangle }$dónde${\displaystyle \Phi _{i}:D^{b}(Z)\to D^{b}(X)}$es el functor${\displaystyle \Phi _{i}(-)=\iota _{*}({\mathcal {O}}_{E}(i)\otimes p^{*}(-))}$dónde${\displaystyle p:X\to Y}$es el mapa de proyección natural. ^{[ 11 ]}

Si bien estos ejemplos abarcan un gran número de categorías derivadas bien estudiadas, muchas categorías trianguladas que aparecen de forma natural son "indescomponibles". En particular, para una variedad proyectiva lisa X cuyo fibrado canónico${\displaystyle K_{X}}$es libre de punto base , cada descomposición semiortogonal${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)=\langle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\rangle }$es trivial en el sentido de que${\displaystyle {\mathcal {A}}}$o${\displaystyle {\mathcal {B}}}$debe ser cero. ^{[ 12 ]} Por ejemplo, esto se aplica a toda variedad que sea Calabi-Yau en el sentido de que su fibrado canónico es trivial.

• Geometría algebraica no conmutativa derivada

• Bondal, Alexéi; Kapranov, Mikhail (1990), "Functores representables, functores de Serre y reconstrucciones", Matemáticas de la URSS-Izvestiya , 35 : 519– 541, doi : 10.1070/IM1990v035n03ABEH000716 , MR 1039961 
• Huybrechts, Daniel (2006), Transformadas de Fourier-Mukai en geometría algebraica , Oxford University Press , ISBN 978-0199296866, MR 2244106 
• Kuznetsov, Alexander (2007), "Dualidad proyectiva homológica", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 105 : 157– 220, arXiv : math/0507292 , doi : 10.1007/s10240-007-0006-8 , MR 2354207 
• Kuznetsov, Alexander (2014), "Descomposiciones semiorthogonales en geometría algebraica", Actas del Congreso Internacional de Matemáticos (Seúl, 2014) , vol.  2, Seúl: Kyung Moon Sa, pp. 635–660 , arXiv : 1404.3143 , MR 3728631  
• Marcolli, Matilde ; Tabuada, Gonçalo (2015), "De colecciones excepcionales a descomposiciones motívicas vía motivos no conmutativos", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 2015 (701): 153– 167, arXiv : 1202.6297 , doi : 10.1515/crelle-2013-0027 , Señor 3331729 
• Orlov, Dmitri (2016), "Esquemas no conmutativos suaves y propios y pegado de categorías DG", Advances in Mathematics , 302 : 59–105 , arXiv : 1402.7364 , doi : 10.1016/j.aim.2016.07.014 , MR 3545926