Variedad de banderas generalizada

En matemáticas , una variedad de banderas generalizada (o simplemente variedad de banderas ) es un espacio homogéneo cuyos puntos son banderas en un espacio vectorial V de dimensión finita sobre un cuerpo F. Cuando F son los números reales o complejos, una variedad de banderas generalizada es una variedad diferenciable o compleja , llamada variedad de banderas real o compleja . Las variedades de banderas son naturalmente variedades proyectivas .

Las variedades de banderas pueden definirse con distintos grados de generalidad. Un prototipo es la variedad de banderas completas en un espacio vectorial V sobre un cuerpo F , que es una variedad de banderas para el grupo lineal especial sobre F. Otras variedades de banderas surgen al considerar banderas parciales o al restringir el grupo lineal especial a subgrupos como el grupo simpléctico . Para las banderas parciales, es necesario especificar la secuencia de dimensiones de las banderas consideradas. Para los subgrupos del grupo lineal, deben imponerse condiciones adicionales a las banderas.

En el sentido más general, una variedad de bandera generalizada se define como una variedad homogénea proyectiva , es decir, una variedad proyectiva suave X sobre un cuerpo F con una acción transitiva de un grupo reductivo G (y subgrupo estabilizador suave; es decir, sin restricción para F de característica cero). Si X tiene un punto racional F , entonces es isomorfo a G / P para algún subgrupo parabólico P de G. Una variedad homogénea proyectiva también puede realizarse como la órbita de un vector de peso máximo en una representación proyectiva de G. Las variedades homogéneas proyectivas complejas son los espacios modelo planos compactos para geometrías de Cartan de tipo parabólico. Son variedades riemannianas homogéneas bajo cualquier subgrupo compacto maximal de G , y son precisamente las órbitas coadjuntas de grupos de Lie compactos .

Las variedades de banderas pueden ser espacios simétricos . Sobre los números complejos, las variedades de banderas correspondientes son los espacios simétricos hermíticos . Sobre los números reales, un espacio R es sinónimo de una variedad de banderas real, y los espacios simétricos correspondientes se denominan espacios R simétricos .

Una bandera en un espacio vectorial de dimensión finita V sobre un cuerpo F es una secuencia creciente de subespacios , donde "creciente" significa que cada uno es un subespacio propio del siguiente (ver filtración ):

${\displaystyle \{0\}=V_{0}\subsetneq V_{1}\subsetneq V_{2}\subsetneq \cdots \subsetneq V_{k}=V.}$

Si escribimos dim V _i = d _i entonces tenemos

${\displaystyle 0=d_{0}<d_{1}<d_{2}<\cdots <d_{k}=n,}$

donde n es la dimensión de V. Por lo tanto, debemos tener k ≤ n . Una bandera se llama bandera completa si d _i = i para todo i , de lo contrario se llama bandera parcial . La firma de la bandera es la secuencia ( d ₁ , ..., d _k ).

Se puede obtener una bandera parcial a partir de una bandera completa eliminando algunos de los subespacios. A la inversa, cualquier bandera parcial se puede completar (de muchas maneras diferentes) insertando los subespacios adecuados.

Según los principios básicos del álgebra lineal , cualesquiera dos banderas completas en un espacio vectorial V de dimensión n sobre un cuerpo F no difieren entre sí desde un punto de vista geométrico. Es decir, el grupo lineal general actúa transitivamente sobre el conjunto de todas las banderas completas.

Fijemos una base ordenada para V , identificándola con F ⁿ , cuyo grupo lineal general es el grupo GL( n , F ) de matrices invertibles n × n . La bandera estándar asociada a esta base es aquella en la que el i -ésimo subespacio está generado por los primeros i vectores de la base. En relación con esta base, el estabilizador de la bandera estándar es el grupo de matrices triangulares inferiores no singulares , que denotamos por B _n . Por lo tanto, la variedad de bandera completa puede escribirse como un espacio homogéneo GL( n , F ) / B _n , que muestra en particular que tiene dimensión n ( n − 1)/2 sobre F .

Nótese que los múltiplos de la identidad actúan trivialmente sobre todas las banderas, por lo que se puede restringir la atención al grupo lineal especial SL( n , F ) de matrices con determinante uno, que es un grupo algebraico semisimple; el conjunto de matrices triangulares inferiores de determinante uno es un subgrupo de Borel .

Si el campo F son los números reales o complejos, podemos introducir un producto interno en V tal que la base elegida sea ortonormal . Cualquier bandera completa se divide entonces en una suma directa de subespacios unidimensionales tomando complementos ortogonales. De ello se deduce que la variedad de banderas completa sobre los números complejos es el espacio homogéneo.

${\displaystyle U(n)/T^{n}}$

donde U( n ) es el grupo unitario y Tn ^es el n -toro de matrices unitarias diagonales. Existe una descripción similar sobre los números reales con U( n ) reemplazado por el grupo ortogonal O( n ), y Tn ^por las matrices ortogonales diagonales (que tienen entradas diagonales ±1).

La variedad de bandera parcial

${\displaystyle F(d_{1},d_{2},\ldots d_{k},\mathbb {F} )}$

es el espacio de todas las banderas de firma ( d ₁ , d ₂ , ... d _k ) en un espacio vectorial V de dimensión n = d _k sobre F . La variedad completa de banderas es el caso especial en que d _i = i para todo i . Cuando k =2, esto es una grassmanniana de subespacios d _{1- dimensionales de} V .

Este es un espacio homogéneo para el grupo lineal general G de V sobre F. Para ser explícito, tomemos V = F ⁿ de modo que G = GL( n , F ). El estabilizador de una bandera de subespacios anidados V _i de dimensión d _i puede tomarse como el grupo de matrices triangulares inferiores de bloques no singulares , donde las dimensiones de los bloques son n _i  := d _i − d _{i − 1} (con d ₀ = 0).

Restringiéndonos a matrices de determinante uno, este es un subgrupo parabólico P de SL( n , F ), y por lo tanto la variedad de banderas parcial es isomorfa al espacio homogéneo SL( n , F )/ P .

Si F son los números reales o complejos, entonces se puede usar un producto interno para dividir cualquier bandera en una suma directa, y por lo tanto la variedad de banderas parciales también es isomorfa al espacio homogéneo.

${\displaystyle U(n)/U(n_{1})\times \cdots \times U(n_{k})}$

en el caso complejo, o

${\displaystyle O(n)/O(n_{1})\times \cdots \times O(n_{k})}$

en el caso real.

Las matrices triangulares superiores de determinante uno son un subgrupo de Borel de SL( n , F ), y por lo tanto, los estabilizadores de banderas parciales son subgrupos parabólicos. Además, una bandera parcial está determinada por el subgrupo parabólico que la estabiliza.

Por lo tanto, de forma más general, si G es un grupo algebraico o de Lie semisimple , entonces la variedad de banderas (generalizada) para G es G / P , donde P es un subgrupo parabólico de G. La correspondencia entre subgrupos parabólicos y variedades de banderas generalizadas permite comprender cada una en términos de la otra.

La extensión de la terminología "variedad de banderas" es razonable, porque los puntos de G / P aún pueden describirse usando banderas. Cuando G es un grupo clásico , como un grupo simpléctico o un grupo ortogonal , esto es particularmente transparente. Si ( V , ω ) es un espacio vectorial simpléctico , entonces una bandera parcial en V es isotrópica si la forma simpléctica se anula en subespacios propios de V en la bandera. El estabilizador de una bandera isotrópica es un subgrupo parabólico del grupo simpléctico Sp( V , ω ). Para grupos ortogonales hay una imagen similar, con un par de complicaciones. Primero, si F no es algebraicamente cerrado, entonces los subespacios isotrópicos pueden no existir: para una teoría general, se necesita usar los grupos ortogonales escindidos . En segundo lugar, para espacios vectoriales de dimensión par 2 m , los subespacios isotrópicos de dimensión m se presentan en dos variantes ("autoduales" y "antiautoduales") y es necesario distinguirlos para obtener un espacio homogéneo.

Si G es un grupo de Lie compacto y conexo, contiene un toro maximal T y el espacio G / T de clases laterales izquierdas con la topología cociente es una variedad real compacta. Si H es cualquier otro subgrupo cerrado y conexo de G que contiene a T , entonces G / H es otra variedad real compacta. (Ambos son, de hecho, espacios homogéneos complejos de forma canónica mediante la complejización ).

La presencia de una estructura compleja y una (co)homología celular hacen fácil ver que el anillo de cohomología de G / H está concentrado en grados pares, pero de hecho, se puede decir algo mucho más fuerte. Debido a que G → G/H es un fibrado H principal , existe un mapa clasificador G / H → BH con destino al espacio clasificador BH . Si reemplazamos G / H con el cociente de homotopía G _H en la secuencia G → G/H → BH , obtenemos un fibrado principal G llamado fibración de Borel de la acción de multiplicación derecha de H sobre G , y podemos usar la secuencia espectral de Serre cohomológica de este fibrado para entender el homomorfismo de restricción de fibra H *( G / H ) → H *( G ) y el mapa característico H *( BH ) → H *( G / H ), llamado así porque su imagen, el subanillo característico de H *( G / H ), lleva las clases características del fibrado original H → G → G / H .

Restringimos ahora nuestro anillo de coeficientes a un cuerpo k de característica cero, de modo que, por el teorema de Hopf , H *( G ) es un álgebra exterior sobre generadores de grado impar (el subespacio de elementos primitivos ). De ello se deduce que los homomorfismos de aristas

${\displaystyle E_{r+1}^{0,r}\to E_{r+1}^{r+1,0}}$

de la secuencia espectral debe eventualmente tomar el espacio de elementos primitivos en la columna izquierda H *( G ) de la página E ₂ biyectivamente en la fila inferior H *( BH ): sabemos que G y H tienen el mismo rango , por lo que si la colección de homomorfismos de aristas no fuera de rango completo en el subespacio primitivo, entonces la imagen de la fila inferior H *( BH ) en la página final H *( G / H ) de la secuencia sería de dimensión infinita como un espacio k -vectorial, lo cual es imposible, por ejemplo, por cohomología celular nuevamente, porque un espacio homogéneo compacto admite una estructura CW finita .

Así, el mapa de anillos H *( G / H ) → H *( G ) es trivial en este caso, y el mapa característico es sobreyectivo, de modo que H *( G / H ) es un cociente de H *( BH ). El núcleo del mapa es el ideal generado por las imágenes de elementos primitivos bajo los homomorfismos de aristas, que también es el ideal generado por elementos de grado positivo en la imagen del mapa canónico H *( BG ) → H *( BH ) inducido por la inclusión de H en G .

La aplicación H *( BG ) → H *( BT ) es inyectiva, e igualmente para H , con imagen el subanillo H *( BT ) ^{W ( G )} de elementos invariantes bajo la acción del grupo de Weyl , por lo que finalmente se obtiene la descripción concisa

${\displaystyle H^{*}(G/H)\cong H^{*}(BT)^{W(H)}/{\big (}{\widetilde {H}}^{*}(BT)^{W(G)}{\big )},}$

dónde${\displaystyle {\widetilde {H}}^{*}}$denota elementos de grado positivo y los paréntesis la generación de un ideal. Por ejemplo, para la variedad de banderas compleja completa U ( n )/ T ⁿ , se tiene

${\displaystyle H^{*}{\big (}U(n)/T^{n}{\big )}\cong \mathbb {Q} [t_{1},\ldots ,t_{n}]/(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}),}$

donde los t _j son de grado 2 y los σ _j son los primeros n polinomios simétricos elementales en las variables t _j . Para un ejemplo más concreto, tomemos n = 2, de modo que U ( 2 )/[ U (1) × U (1)] es la Grassmanniana compleja Gr(1,${\displaystyle \mathbb {C} }$² ) ≈${\displaystyle \mathbb {C} }$P ¹ ≈ S ² . Entonces esperamos que el anillo de cohomología sea un álgebra exterior en un generador de grado dos (la clase fundamental ), y de hecho,

${\displaystyle H^{*}{\big (}U(2)/T^{2}{\big )}\cong \mathbb {Q} [t_{1},t_{2}]/(t_{1}+t_{2},t_{1}t_{2})\cong \mathbb {Q} [t_{1}]/(t_{1}^{2}),}$

Como se esperaba.

Si G es un grupo algebraico semisimple (o grupo de Lie) y V es una representación de peso máximo (de dimensión finita) de G , entonces el espacio de peso máximo es un punto en el espacio proyectivo P( V ) y su órbita bajo la acción de G es una variedad algebraica proyectiva . Esta variedad es una variedad de banderas (generalizada) y, además, toda variedad de banderas (generalizada) para G surge de esta manera.

Armand Borel demostró que esto caracteriza las variedades de banderas de un grupo algebraico semisimple general G : son precisamente los espacios homogéneos completos de G , o equivalentemente (en este contexto), las G -variedades homogéneas proyectivas.

Sea G un grupo de Lie semisimple con subgrupo compacto maximal K. Entonces K actúa transitivamente sobre cualquier clase de conjugación de subgrupos parabólicos, y por lo tanto la variedad de banderas generalizada G / P es una variedad riemanniana homogénea compacta K /( K ∩ P ) con grupo de isometría K. Además, si G es un grupo de Lie complejo, G / P es una variedad de Kähler homogénea .

Al darle la vuelta a esto, los espacios homogéneos riemannianos

M = K /( K ∩ P )

admiten un grupo de transformaciones de Lie estrictamente mayor, a saber, G. Especializando al caso en que M es un espacio simétrico , esta observación produce todos los espacios simétricos que admiten dicho grupo de simetría mayor, y estos espacios han sido clasificados por Kobayashi y Nagano.

Si G es un grupo de Lie complejo, los espacios simétricos M que surgen de esta manera son los espacios simétricos hermíticos compactos : K es el grupo de isometrías y G es el grupo de biholomorfismos de M.

Sobre los números reales, una variedad de banderas real también se llama espacio R , y los espacios R que son espacios simétricos riemannianos bajo K se conocen como espacios R simétricos . Los espacios R simétricos que no son simétricos hermíticos se obtienen tomando G como una forma real del grupo de biholomorfismos G ^c de un espacio simétrico hermítico G ^c / P ^c tal que P  := P ^c ∩ G es un subgrupo parabólico de G. Ejemplos incluyen espacios proyectivos (con G el grupo de transformaciones proyectivas ) y esferas (con G el grupo de transformaciones conformes ).

• Álgebra de Lie parabólica
• descomposición de Bruhat

• Robert J. Baston y Michael G. Eastwood, La transformación de Penrose: su interacción con la teoría de la representación , Oxford University Press, 1989.
• Jürgen Berndt, Acciones de grupos de Lie en variedades , Apuntes de clase, Tokio, 2002.
• Jürgen Berndt, Sergio Console y Carlos Olmos, Subvariedades y holonomía , Chapman & Hall/CRC Press, 2003.
• Michel Brion, Lecciones sobre la geometría de las variedades de banderas , Apuntes de clase, Varsovia, 2003.
• James E. Humphreys , Grupos algebraicos lineales , Textos de posgrado en matemáticas, 21, Springer-Verlag, 1972.
• S. Kobayashi y T. Nagano, Sobre álgebras de Lie filtradas y estructuras geométricas I, II, J. Math. Mech. 13 (1964), 875–907, 14 (1965) 513–521.