Transformación de secuencias

En matemáticas , una transformación de secuencias es un operador que actúa sobre un espacio de secuencias determinado . Las transformaciones de secuencias incluyen mapeos lineales, como la convolución discreta con otra secuencia y la resuma de una secuencia, y, en general, mapeos no lineales. Se utilizan comúnmente para acelerar series , es decir, para mejorar la tasa de convergencia de una secuencia o serie de convergencia lenta . Las transformaciones de secuencias también se utilizan habitualmente para calcular numéricamente el antilímite de una serie divergente y se emplean junto con métodos de extrapolación .

Algunos ejemplos clásicos de transformaciones de secuencias incluyen la transformación binomial , la transformación de Möbius y la transformación de Stirling .

Para una secuencia dada

${\displaystyle (s_{n})_{n\in \mathbb {N} },\,}$

y una transformación de secuencia${\displaystyle \mathbf {T} ,}$la secuencia resultante de la transformación por${\displaystyle \mathbf {T} }$es

${\displaystyle \mathbf {T} ((s_{n}))=(s'_{n})_{n\in \mathbb {N} },}$

donde los elementos de la secuencia transformada generalmente se calculan a partir de un número finito de miembros de la secuencia original, por ejemplo

${\displaystyle s_{n}'=T_{n}(s_{n},s_{n+1},\dots ,s_{n+k_{n}})}$

para algún número natural${\displaystyle k_{n}}$para cada${\displaystyle n}$y una función multivariada${\displaystyle T_{n}}$de${\displaystyle k_{n}+1}$variables para cada${\displaystyle n.}$Véase, por ejemplo, la transformación binomial y el proceso delta-cuadrado de Aitken . En el caso más simple, los elementos de las secuencias, el${\displaystyle s_{n}}$y${\displaystyle s'_{n}}$son números reales o complejos . De manera más general, pueden ser elementos de algún espacio vectorial o álgebra .

Si las funciones multivariadas${\displaystyle T_{n}}$son lineales en cada uno de sus argumentos para cada valor de${\displaystyle n,}$por ejemplo si

${\displaystyle s'_{n}=\sum _{m=0}^{k_{n}}c_{n,m}s_{n+m}}$

para algunas constantes${\displaystyle k_{n}}$y${\displaystyle c_{n,0},\dots ,c_{n,k_{n}}}$para cada${\displaystyle n,}$luego la transformación de secuencia${\displaystyle \mathbf {T} }$Se denomina transformación de secuencia lineal . Las transformaciones de secuencia que no son lineales se denominan transformaciones de secuencia no lineales.

En el contexto de la aceleración de series , cuando la secuencia original${\displaystyle (s_{n})}$y la secuencia transformada${\displaystyle (s'_{n})}$compartir el mismo límite${\displaystyle \ell }$como${\displaystyle n\rightarrow \infty ,}$Se dice que la secuencia transformada tiene una tasa de convergencia más rápida que la secuencia original si

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s'_{n}-\ell }{s_{n}-\ell }}=0.}$

Si la secuencia original es divergente , la transformación de la secuencia puede actuar como un método de extrapolación a un antilímite.${\displaystyle \ell }$.

Los ejemplos más sencillos de transformaciones de secuencias incluyen el desplazamiento de todos los elementos por un número entero.${\displaystyle k}$que no depende de${\displaystyle n,}$${\displaystyle s'_{n}=s_{n+k}}$si${\displaystyle n+k\geq 0}$y 0 en caso contrario, y multiplicación escalar de la secuencia alguna constante${\displaystyle c}$que no depende de${\displaystyle n,}$${\displaystyle s'_{n}=cs_{n}.}$Ambos son ejemplos de transformaciones de secuencias lineales.

Ejemplos menos triviales incluyen la convolución discreta de secuencias con otra secuencia de referencia. Un ejemplo particularmente básico es el operador de diferencia , que es la convolución con la secuencia.${\displaystyle (-1,1,0,\ldots )}$y es un análogo discreto de la derivada ; técnicamente, el operador de desplazamiento y la multiplicación escalar también pueden escribirse como convoluciones discretas triviales. La transformada binomial y la transformada de Stirling son dos transformaciones lineales de un tipo más general.

Un ejemplo de transformación de secuencia no lineal es el proceso delta-cuadrado de Aitken , utilizado para mejorar la tasa de convergencia de una secuencia de convergencia lenta. Una forma extendida de este es la transformación de Shanks . La transformación de Möbius también es una transformación no lineal, posible únicamente para secuencias de números enteros .

• Proceso delta-cuadrado de Aitken
• aceleración de Anderson
• Extrapolación polinómica mínima
• Extrapolación de Richardson
• Aceleración en serie
• El método de Steffensen

• Hugh J. Hamilton, " Teorema de Mertens y transformaciones de secuencias ", AMS (1947)

• Transformaciones de secuencias de enteros , una subpágina de la Enciclopedia en línea de secuencias de enteros.