Función de configuración

Una función de conjunto${\displaystyle \mu }$en${\displaystyle {\mathcal {F}}}$Se dice que es ^{[ 1 ]}

• no negativo si se valora en${\displaystyle [0,\infty ].}$
• finitamente aditivo si${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{n}F_{i}\right)}$para todas las secuencias finitas disjuntas por pares${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}}$de tal manera que${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{n}F_{i}\in {\mathcal {F}}.}$
  • Si${\displaystyle {\mathcal {F}}}$entonces está cerrado bajo uniones binarias${\displaystyle \mu }$es finitamente aditivo si y solo si${\displaystyle \mu (E\cup F)=\mu (E)+\mu (F)}$para todos los pares disjuntos${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}.}$
  • Si${\displaystyle \mu }$es finitamente aditivo y si${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}$luego tomando${\displaystyle E:=F:=\varnothing }$muestra que${\displaystyle \mu (\varnothing )=\mu (\varnothing )+\mu (\varnothing )}$lo cual solo es posible si${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$o${\displaystyle \mu (\varnothing )=\pm \infty ,}$donde en este último caso,${\displaystyle \mu (E)=\mu (E\cup \varnothing )=\mu (E)+\mu (\varnothing )=\mu (E)+(\pm \infty )=\pm \infty }$por cada${\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}$(por lo tanto, solo el caso${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$es útil).
• numerablemente aditivo oσ-aditivo ^{[ 2 ]} si además de ser finitamente aditivo, para todaslas secuenciasdisjuntas por pares${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots \,}$en${\displaystyle {\mathcal {F}}}$de tal manera que${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\in {\mathcal {F}},}$Se cumplen todas las siguientes condiciones:
  1. ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$
     • La serie del lado izquierdo se define de la forma habitual como el límite.${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\displaystyle \lim _{n\to \infty }}\mu \left(F_{1}\right)+\cdots +\mu \left(F_{n}\right).}$
     • Como consecuencia, si${\displaystyle \rho$ :\mathbb {N} \to \mathbb {N} } es cualquier permutación / biyección entonces${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{\rho (i)}\right);}$Esto se debe a que${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}=\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{\rho (i)}}$y aplicar esta condición (a) dos veces garantiza que ambos${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$y${\displaystyle \mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{\rho (i)}\right)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{\rho (i)}\right)}$Se cumple. Por definición, una serie convergente con esta propiedad se denomina incondicionalmente convergente . Dicho en lenguaje sencillo , esto significa que reorganizar/renombrar los conjuntos${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots }$al nuevo orden${\displaystyle F_{\rho (1)},F_{\rho (2)},\ldots }$no afecta la suma de sus medidas. Esto es deseable ya que, al igual que la unión${\displaystyle F~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\textstyle \bigcup \limits _{i\in \mathbb {N} }F_{i}}$no depende del orden de estos conjuntos, lo mismo debería ser cierto para las sumas${\displaystyle \mu (F)=\mu \left(F_{1}\right)+\mu \left(F_{2}\right)+\cdots }$y${\displaystyle \mu (F)=\mu \left(F_{\rho (1)}\right)+\mu \left(F_{\rho (2)}\right)+\cdots \,.}$
  2. si${\displaystyle \mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$Si no es infinito, entonces esta serie${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)}$También debe converger absolutamente , lo que por definición significa que${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\left|\mu \left(F_{i}\right)\right|}$debe ser finito. Esto es automáticamente cierto si${\displaystyle \mu }$es no negativo (o incluso simplemente valorado en los números reales extendidos).
     • Como ocurre con cualquier serie convergente de números reales, según el teorema de la serie de Riemann , la serie${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)={\displaystyle \lim _{N\to \infty }}\mu \left(F_{1}\right)+\mu \left(F_{2}\right)+\cdots +\mu \left(F_{N}\right)}$converge absolutamente si y solo si su suma no depende del orden de sus términos (una propiedad conocida como convergencia incondicional ). Dado que la convergencia incondicional está garantizada por (a) anterior, esta condición es automáticamente verdadera si${\displaystyle \mu }$es valorado en${\displaystyle [-\infty ,\infty ].}$
  3. si${\displaystyle \mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)}$es infinito entonces también se requiere que el valor de al menos una de las series${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in \mathbb {N} }{\mu \left(F_{i}\right)>0}}\mu \left(F_{i}\right)\;{\text{ and }}\;\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in \mathbb {N} }{\mu \left(F_{i}\right)<0}}\mu \left(F_{i}\right)\;}$ser finito (de modo que la suma de sus valores esté bien definida). Esto es automáticamente cierto si${\displaystyle \mu }$es no negativo .
• apremedida si esno negativa,numerablemente aditiva(incluyendofinitamente aditiva) y tiene unconjunto vacío nulo.
• amedida si es unapremedidacuyo dominio es unσ-álgebra. Es decir, una medida es una función de conjunto no negativa numerablemente aditiva en un σ-álgebra que tiene unconjunto vacío nulo.
• amedida de probabilidad si es una medida que tiene unamasade${\displaystyle 1.}$
• unmedida externa si es no negativa,numerablemente subaditiva, tiene unconjunto vacío nuloy tiene elconjunto potencia.${\displaystyle \wp (\Omega )}$como su dominio.
  • Las medidas externas aparecen en el teorema de extensión de Carathéodory y a menudo están restringidas a subconjuntos medibles de Carathéodory.
• amedida con signo si es numerablemente aditiva, tiene unconjunto vacío nuloy${\displaystyle \mu }$no asume ambos${\displaystyle -\infty }$y${\displaystyle +\infty }$como valores.
• completo si cada subconjunto de cadaconjunto nuloes nulo; explícitamente, esto significa: siempre que${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}{\text{ satisfies }}\mu (F)=0}$y${\displaystyle N\subseteq F}$es cualquier subconjunto de${\displaystyle F}$entonces${\displaystyle N\in {\mathcal {F}}}$y${\displaystyle \mu (N)=0.}$
  • A diferencia de muchas otras propiedades, la completitud impone requisitos al conjunto.${\displaystyle \operatorname {domain} \mu ={\mathcal {F}}}$(y no solo en${\displaystyle \mu }$valores).
• 𝜎-finito si existe una secuencia${\displaystyle F_{1},F_{2},F_{3},\ldots \,}$en${\displaystyle {\mathcal {F}}}$de tal manera que${\displaystyle \mu \left(F_{i}\right)}$es finito para cada índice${\displaystyle i,}$y también${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }F_{n}=\textstyle \bigcup \limits _{F\in {\mathcal {F}}}F.}$
• descomponible si existe una subfamilia${\displaystyle {\mathcal {P}}\subseteq {\mathcal {F}}}$de conjuntos disjuntos por pares tales que${\displaystyle \mu (P)}$es finito para cada${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$y también${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{P\in {\mathcal {P}}}\,P=\textstyle \bigcup \limits _{F\in {\mathcal {F}}}F}$(dónde${\displaystyle {\mathcal {F}}=\operatorname {domain} \mu }$).
  • Toda función de conjunto 𝜎 -finita es descomponible, aunque no a la inversa. Por ejemplo, la medida de conteo en${\displaystyle \mathbb {R} }$(cuyo dominio es${\displaystyle \wp (\mathbb {R} )}$) es descomponible pero no 𝜎- finito.
• amedida vectorial si es una función de conjunto numerablemente aditiva${\displaystyle \mu$ :{\mathcal {F}}\to X} con valores en un espacio vectorial topológico${\displaystyle X}$(como un espacio normado ) cuyo dominio es un σ-álgebra .
  • Si${\displaystyle \mu }$se valora en un espacio normalizado${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$entonces es numerablemente aditivo si y solo si para cualquier secuencia disjunta por pares${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots \,}$en${\displaystyle {\mathcal {F}},}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|\mu \left(F_{1}\right)+\cdots +\mu \left(F_{n}\right)-\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)\right\|=0.}$Si${\displaystyle \mu }$Si es finitamente aditiva y tiene valor en un espacio de Banach , entonces es numerablemente aditiva si y solo si para cualquier secuencia disjunta por pares${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots \,}$en${\displaystyle {\mathcal {F}},}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|\mu \left(F_{n}\cup F_{n+1}\cup F_{n+2}\cup \cdots \right)\right\|=0.}$
• amedida compleja si es unafunción de conjunto con valorescomplejos${\displaystyle \mu$ :{\mathcal {F}}\to \mathbb {C} } cuyo dominio es un σ-álgebra .
  • Por definición, una medida compleja nunca tarda${\displaystyle \pm \infty }$como valor y por lo tanto tiene un conjunto vacío nulo .
• amedida aleatoria si es unelemento aleatorio.

sumas arbitrarias

Como se describe en la sección de este artículo sobre series generalizadas , para cualquier familia${\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i\in I}}$de números reales indexados por un conjunto de índices arbitrario${\displaystyle I,}$es posible definir su suma${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$como límite de la red de sumas parciales finitas${\displaystyle F\in \operatorname {FiniteSubsets} (I)\mapsto \textstyle \sum \limits _{i\in F}r_{i}}$donde el dominio${\displaystyle \operatorname {FiniteSubsets} (I)}$está dirigido por${\displaystyle \,\subseteq .\,}$ Cuando esta red converge , su límite se denota mediante los símbolos${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$mientras que si esta red diverge en cambio a${\displaystyle \pm \infty }$entonces esto puede indicarse por escrito${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}=\pm \infty .}$ Cualquier suma sobre el conjunto vacío se define como cero; es decir, si${\displaystyle I=\varnothing }$entonces${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in \varnothing }r_{i}=0}$por definición.

Por ejemplo, si${\displaystyle z_{i}=0}$por cada${\displaystyle i\in I}$entonces${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}z_{i}=0.}$ Y se puede demostrar que${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}=\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}=0}}r_{i}+\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}\neq 0}}r_{i}=0+\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}\neq 0}}r_{i}=\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}\neq 0}}r_{i}.}$ Si${\displaystyle I=\mathbb {N} }$luego la serie generalizada${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$converge en${\displaystyle \mathbb {R} }$si y solo si${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }r_{i}}$converge incondicionalmente (o equivalentemente, converge absolutamente ) en el sentido habitual. Si una serie generalizada${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$converge en${\displaystyle \mathbb {R} }$entonces ambos${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}>0}}r_{i}}$y${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}<0}}r_{i}}$también convergen a elementos de${\displaystyle \mathbb {R} }$y el conjunto${\displaystyle \left\{i\in I:r_{i}\neq 0\right\}}$es necesariamente numerable (es decir, finito o infinitamente numerable ); esto sigue siendo cierto si${\displaystyle \mathbb {R} }$se reemplaza con cualquier espacio normado . ^{[ prueba 1 ]} De ello se deduce que para que exista una serie generalizada${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$converger en${\displaystyle \mathbb {R} }$o${\displaystyle \mathbb {C} ,}$es necesario que todos, excepto como máximo, unos pocos contables${\displaystyle r_{i}}$será igual a${\displaystyle 0,}$lo que significa que${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}~=~\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}\neq 0}}r_{i}}$es una suma de como máximo una cantidad numerable de términos distintos de cero. Dicho de otro modo, si${\displaystyle \left\{i\in I:r_{i}\neq 0\right\}}$es incontable entonces la serie generalizada${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$no converge.

En resumen, debido a la naturaleza de los números reales y su topología, toda serie generalizada de números reales (indexada por un conjunto arbitrario) que converge puede reducirse a una serie ordinaria absolutamente convergente de una cantidad numerable de números reales. Por lo tanto, en el contexto de la teoría de la medida, se obtiene poco beneficio al considerar conjuntos no numerables y series generalizadas. En particular, esta es la razón por la que la definición de " aditivo numerable " rara vez se extiende a partir de conjuntos numerables.${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots \,}$en${\displaystyle {\mathcal {F}}}$(y las series contables habituales${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)}$) a un número arbitrario de conjuntos${\displaystyle \left(F_{i}\right)_{i\in I}}$(y la serie generalizada${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}\mu \left(F_{i}\right)}$).

Una función de conjunto${\displaystyle \mu }$Se dice que es/satisface ^{[ 1 ]}

• monótono si${\displaystyle \mu (E)\leq \mu (F)}$cuando sea${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}}$satisfacer${\displaystyle E\subseteq F.}$
• Modular si satisface la siguiente condición, conocida comomodularidad:${\displaystyle \mu (E\cup F)+\mu (E\cap F)=\mu (E)+\mu (F)}$a pesar de${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}}$de tal manera que${\displaystyle E\cup F,E\cap F\in {\mathcal {F}}.}$
  • Toda función finitamente aditiva sobre un cuerpo de conjuntos es modular.
  • En geometría, una función de conjunto valorada en algún semigrupo abeliano que posee esta propiedad se conoce como valuación . Esta definición geométrica de "valuación" no debe confundirse con la definición teórica de la medida no equivalente más fuerte de "valuación" que se presenta a continuación .
• submodular si${\displaystyle \mu (E\cup F)+\mu (E\cap F)\leq \mu (E)+\mu (F)}$a pesar de${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}}$de tal manera que${\displaystyle E\cup F,E\cap F\in {\mathcal {F}}.}$
• finitamente subaditivo si${\displaystyle |\mu (F)|\leq \textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\left|\mu \left(F_{i}\right)\right|}$para todas las secuencias finitas${\displaystyle F,F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}}$que satisfacen${\displaystyle F\;\subseteq \;\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{n}F_{i}.}$
• contablemente subaditivo oσ-subaditivo si${\displaystyle |\mu (F)|\leq \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\left|\mu \left(F_{i}\right)\right|}$para todas las secuencias${\displaystyle F,F_{1},F_{2},F_{3},\ldots \,}$en${\displaystyle {\mathcal {F}}}$que satisfacen${\displaystyle F\;\subseteq \;\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}.}$
  • Si${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es cerrado bajo uniones finitas entonces esta condición se cumple si y solo si${\displaystyle |\mu (F\cup G)|\leq |\mu (F)|+|\mu (G)|}$a pesar de${\displaystyle F,G\in {\mathcal {F}}.}$Si${\displaystyle \mu }$Si es no negativo, entonces se pueden eliminar los valores absolutos.
  • Si${\displaystyle \mu }$es una medida entonces esta condición se cumple si y solo si${\displaystyle \mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)\leq \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)}$a pesar de${\displaystyle F_{1},F_{2},F_{3},\ldots \,}$en${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$^{[ 3 ]} Si${\displaystyle \mu }$Si es una medida de probabilidad , entonces esta desigualdad es la desigualdad de Boole .
  • Si${\displaystyle \mu }$es subaditivo contable y${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}$con${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$entonces${\displaystyle \mu }$es finitamente subaditivo .
• superaditivo si${\displaystyle \mu (E)+\mu (F)\leq \mu (E\cup F)}$cuando sea${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}}$están disjuntos con${\displaystyle E\cup F\in {\mathcal {F}}.}$
• continuo desde arriba si${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$para todas las secuencias no crecientes de conjuntos${\displaystyle F_{1}\supseteq F_{2}\supseteq F_{3}\cdots \,}$en${\displaystyle {\mathcal {F}}}$de tal manera que${\displaystyle \textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\in {\mathcal {F}}}$con${\displaystyle \mu \left(\textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$y todo${\displaystyle \mu \left(F_{i}\right)}$finito.
  • Medida de Lebesgue${\displaystyle \lambda }$es continuo desde arriba pero no lo sería si se asumiera que todo${\displaystyle \mu \left(F_{i}\right)}$La frase "son eventualmente finitos" se omitió de la definición, como muestra este ejemplo: Para cada entero${\displaystyle i,}$dejar${\displaystyle F_{i}}$sea ​​el intervalo abierto${\displaystyle (i,\infty )}$de modo que${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lambda \left(F_{i}\right)=\lim _{n\to \infty }\infty =\infty \neq 0=\lambda (\varnothing )=\lambda \left(\textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$dónde${\displaystyle \textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}=\varnothing .}$
• continuo desde abajo si${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$para todas las secuencias no decrecientes de conjuntos${\displaystyle F_{1}\subseteq F_{2}\subseteq F_{3}\cdots \,}$en${\displaystyle {\mathcal {F}}}$de tal manera que${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\in {\mathcal {F}}.}$
• El infinito se alcanza desde abajo si siempre que${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$Satisface${\displaystyle \mu (F)=\infty }$entonces para cada real${\displaystyle r>0,}$existe algo${\displaystyle F_{r}\in {\mathcal {F}}}$de tal manera que${\displaystyle F_{r}\subseteq F}$y${\displaystyle r\leq \mu \left(F_{r}\right)<\infty .}$
• una medida exterior si${\displaystyle \mu }$es no negativo, numerablemente subaditivo , tiene un conjunto vacío nulo y tiene el conjunto potencia.${\displaystyle \wp (\Omega )}$como su dominio.
• unmedida interna si${\displaystyle \mu }$es no negativo, superaditivo , continuo superiormente , tiene un conjunto vacío nulo , tiene el conjunto potencia${\displaystyle \wp (\Omega )}$como su dominio, y${\displaystyle +\infty }$Se aborda desde abajo .
• atómico si cada conjunto medible de medida positiva contiene un átomo .

Si una operación binaria${\displaystyle \,+\,}$Se define, luego se establece una función${\displaystyle \mu }$Se dice que

• invariante de traslación si${\displaystyle \mu (\omega +F)=\mu (F)}$a pesar de${\displaystyle \omega \in \Omega }$y${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$de tal manera que${\displaystyle \omega +F\in {\mathcal {F}}.}$

Si${\displaystyle \tau }$es una topología en${\displaystyle \Omega }$luego una función de conjunto${\displaystyle \mu }$Se dice que es:

• aMedida de Borel si es una medida definida en el σ-álgebra de todoslos conjuntos de Borel, que es el σ-álgebra más pequeño que contiene todos los subconjuntos abiertos (es decir, que contiene${\displaystyle \tau }$).
• aMedida de Baire si es una medida definida en el σ-álgebra de todoslos conjuntos de Baire.
• localmente finito si para cada punto${\displaystyle \omega \in \Omega }$existe algún vecindario${\displaystyle U\in {\mathcal {F}}\cap \tau }$de este punto de tal manera que${\displaystyle \mu (U)}$es finito.
  • Si${\displaystyle \mu }$es finitamente aditivo, monótono y localmente finito entonces${\displaystyle \mu (K)}$es necesariamente finito para cada subconjunto medible compacto${\displaystyle K.}$
• ${\displaystyle \tau }$-aditivo si${\displaystyle \mu \left({\textstyle \bigcup }\,{\mathcal {D}}\right)=\sup _{D\in {\mathcal {D}}}\mu (D)}$cuando sea${\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq \tau \cap {\mathcal {F}}}$está dirigido con respecto a${\displaystyle \,\subseteq \,}$y satisface${\displaystyle {\textstyle \bigcup }\,{\mathcal {D}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\textstyle \bigcup \limits _{D\in {\mathcal {D}}}D\in {\mathcal {F}}.}$
  • ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$está dirigido con respecto a${\displaystyle \,\subseteq \,}$si y solo si no está vacío y para todos${\displaystyle A,B\in {\mathcal {D}}}$existe algo${\displaystyle C\in {\mathcal {D}}}$de tal manera que${\displaystyle A\subseteq C}$y${\displaystyle B\subseteq C.}$
• interno regular oapretado si para cada${\displaystyle F\in {\mathcal {F}},}$${\displaystyle \mu (F)=\sup\{\mu (K):F\supseteq K{\text{ with }}K\in {\mathcal {F}}{\text{ a compact subset of }}(\Omega ,\tau )\}.}$
• exterior regular si para cada${\displaystyle F\in {\mathcal {F}},}$${\displaystyle \mu (F)=\inf\{\mu (U):F\subseteq U{\text{ and }}U\in {\mathcal {F}}\cap \tau \}.}$
• regular si es regular tanto interna como externamente.
• aMedida regular de Borel si es una medida de Borel que también esregular.
• aMedida de Radon si es una medida regular y localmente finita.
• Estrictamente positivo si todo subconjunto abierto no vacío tiene medida (estrictamente) positiva.
• avaloración si es no negativa,monótona,modular, tiene unconjunto vacío nuloy tiene dominio${\displaystyle \tau .}$

Si${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \nu }$son dos funciones de conjunto sobre${\displaystyle \Omega ,}$entonces:

• ${\displaystyle \mu }$Se dice queabsolutamente continuo con respecto a${\displaystyle \nu }$o dominado por${\displaystyle \nu }$, escrito${\displaystyle \mu \ll \nu ,}$si para cada conjunto${\displaystyle F}$que pertenece al dominio de ambos${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \nu ,}$si${\displaystyle \nu (F)=0}$entonces${\displaystyle \mu (F)=0.}$
  • Si${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \nu }$son${\displaystyle \sigma }$-medidas finitas en el mismo espacio medible y si${\displaystyle \mu \ll \nu ,}$Luego, el derivado de Radon-Nikodym${\displaystyle {\frac {d\mu }{d\nu }}}$existe y para cada medida${\displaystyle F,}$$${\displaystyle \mu (F)=\int _{F}{\frac {d\mu }{d\nu }}d\nu .}$$
• ${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \nu }$se llamanequivalentes si cada una esabsolutamente continuacon respecto a la otra. ${\displaystyle \mu }$se llama unmedida de apoyo de una medida${\displaystyle \nu }$si${\displaystyle \mu }$es${\displaystyle \sigma }$-finitos y son equivalentes. ^{[ 4 ]}
• ${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \nu }$sonsingular , escrito${\displaystyle \mu \perp \nu ,}$si existen conjuntos disjuntos${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$en los dominios de${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \nu }$de tal manera que${\displaystyle M\cup N=\Omega ,}$${\displaystyle \mu (F)=0}$a pesar de${\displaystyle F\subseteq M}$en el dominio de${\displaystyle \mu ,}$y${\displaystyle \nu (F)=0}$a pesar de${\displaystyle F\subseteq N}$en el dominio de${\displaystyle \nu .}$

La medida Lebesgue sobre${\displaystyle \mathbb {R} }$es una función de conjunto que asigna un número real no negativo a cada conjunto de números reales que pertenece a la matriz de Lebesgue.${\displaystyle \sigma }$-álgebra. ^{[ 5 ]}

Su definición comienza con el conjunto${\displaystyle \operatorname {Intervals} (\mathbb {R} )}$de todos los intervalos de números reales, que es una semiálgebra en${\displaystyle \mathbb {R} .}$ La función que asigna a cada intervalo${\displaystyle I}$es${\displaystyle \operatorname {length} (I)}$es una función de conjunto finitamente aditiva (explícitamente, si${\displaystyle I}$tiene puntos finales${\displaystyle a\leq b}$entonces${\displaystyle \operatorname {length} (I)=b-a}$). Esta función de conjunto se puede extender a la medida exterior de Lebesgue en${\displaystyle \mathbb {R} ,}$que es la función de conjunto invariante a la traslación${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}:\wp (\mathbb {R} )\to [0,\infty ]}$que envía un subconjunto${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} }$al ínfimo$${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\operatorname {length} (I_{k}):{(I_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ is a sequence of open intervals with }}E\subseteq \bigcup _{k=1}^{\infty }I_{k}\right\}.}$$ La medida exterior de Lebesgue no es numerablemente aditiva (y por lo tanto no es una medida) aunque su restricción al álgebra 𝜎 de todos los subconjuntos${\displaystyle M\subseteq \mathbb {R} }$que satisfacen el criterio de Carathéodory : $${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(M)=\lambda ^{\!*\!}(M\cap E)+\lambda ^{\!*\!}(M\cap E^{c})\quad {\text{ for every }}S\subseteq \mathbb {R} }$$ es una medida que se llama medida de Lebesgue . Los conjuntos de Vitali son ejemplos de conjuntos no medibles de números reales.

La única medida invariante a la traslación en${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} }$con dominio${\displaystyle \wp (\mathbb {R} )}$que es finito en cada subconjunto compacto de${\displaystyle \mathbb {R} }$es la función de conjunto trivial${\displaystyle \wp (\mathbb {R} )\to [0,\infty ]}$que es idénticamente igual a${\displaystyle 0}$(es decir, envía cada${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} }$a${\displaystyle 0}$) ^{[ 6 ]} Sin embargo, si la aditividad contable se debilita a aditividad finita, entonces existe una función de conjunto no trivial con estas propiedades y, además, algunas incluso tienen valor en${\displaystyle [0,1].}$De hecho, tales funciones de conjunto no triviales existirán incluso si${\displaystyle \mathbb {R} }$es reemplazado por cualquier otro grupo abeliano${\displaystyle G.}$^{[ 7 ]}

Supongamos que${\displaystyle \mu }$es una función de conjunto en una semiálgebra${\displaystyle {\mathcal {F}}}$encima${\displaystyle \Omega }$y dejar $${\displaystyle \operatorname {algebra} ({\mathcal {F}}):=\left\{F_{1}\sqcup \cdots \sqcup F_{n}:n\in \mathbb {N} {\text{ and }}F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}{\text{ are pairwise disjoint }}\right\},}$$ que es el álgebra en${\displaystyle \Omega }$generado por${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ El ejemplo arquetípico de una semiálgebra que no es también un álgebra es la familia $${\displaystyle {\mathcal {S}}_{d}:=\{\varnothing \}\cup \left\{\left(a_{1},b_{1}\right]\times \cdots \times \left(a_{1},b_{1}\right]~:~-\infty \leq a_{i}<b_{i}\leq \infty {\text{ for all }}i=1,\ldots ,d\right\}}$$ en${\displaystyle \Omega$ :=\mathbb {R} ^{d}} donde${\displaystyle (a,b]:=\{x\in \mathbb {R} :a<x\leq b\}}$a pesar de${\displaystyle -\infty \leq a<b\leq \infty .}$^{[ 9 ]} Es importante destacar que las dos desigualdades no estrictas${\displaystyle \,\leq \,}$en${\displaystyle -\infty \leq a_{i}<b_{i}\leq \infty }$no puede ser reemplazado por desigualdades estrictas${\displaystyle \,<\,}$ya que las semiálgebras deben contener todo el conjunto subyacente${\displaystyle \mathbb {R} ^{d};}$eso es,${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}\in {\mathcal {S}}_{d}}$es un requisito de las semiálgebras (como es${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {S}}_{d}}$).

Si${\displaystyle \mu }$Si es finitamente aditivo, entonces tiene una extensión única a una función de conjunto.${\displaystyle {\overline {\mu }}}$en${\displaystyle \operatorname {algebra} ({\mathcal {F}})}$definido por envío${\displaystyle F_{1}\sqcup \cdots \sqcup F_{n}\in \operatorname {algebra} ({\mathcal {F}})}$(dónde${\displaystyle \,\sqcup \,}$indica que estos${\displaystyle F_{i}\in {\mathcal {F}}}$son disjuntos por pares ) a: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle {\overline {\mu }}\left(F_{1}\sqcup \cdots \sqcup F_{n}\right):=\mu \left(F_{1}\right)+\cdots +\mu \left(F_{n}\right).}$$ Esta extensión${\displaystyle {\overline {\mu }}}$también será finitamente aditivo: para cualquier disjunto por pares${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}\in \operatorname {algebra} ({\mathcal {F}}),}$^{[ 9 ]}$${\displaystyle {\overline {\mu }}\left(A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}\right)={\overline {\mu }}\left(A_{1}\right)+\cdots +{\overline {\mu }}\left(A_{n}\right).}$$

Si además${\displaystyle \mu }$es de valor real extendido y monótono (lo cual, en particular, será el caso si${\displaystyle \mu }$es no negativo ) entonces${\displaystyle {\overline {\mu }}}$será monótono y finitamente subaditivo : para cualquier${\displaystyle A,A_{1},\ldots ,A_{n}\in \operatorname {algebra} ({\mathcal {F}})}$de tal manera que${\displaystyle A\subseteq A_{1}\cup \cdots \cup A_{n},}$^{[ 9 ]}$${\displaystyle {\overline {\mu }}\left(A\right)\leq {\overline {\mu }}\left(A_{1}\right)+\cdots +{\overline {\mu }}\left(A_{n}\right).}$$

Si${\displaystyle \mu$ :{\mathcal {F}}\to [0,\infty ]} es una medida previa en un anillo de conjuntos (como un álgebra de conjuntos ).${\displaystyle {\mathcal {F}}}$encima${\displaystyle \Omega }$entonces${\displaystyle \mu }$tiene una extensión a una medida${\displaystyle {\overline {\mu }}:\sigma ({\mathcal {F}})\to [0,\infty ]}$sobre el álgebra σ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}})}$generado por${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$Si${\displaystyle \mu }$Si es σ-finito , entonces esta extensión es única.

Para definir esta extensión, primero extienda${\displaystyle \mu }$a una medida exterior${\displaystyle \mu ^{*}}$en${\displaystyle 2^{\Omega }=\wp (\Omega )}$por $${\displaystyle \mu ^{*}(T)=\inf \left\{\sum _{n}\mu \left(S_{n}\right):T\subseteq \cup _{n}S_{n}{\text{ with }}S_{1},S_{2},\ldots \in {\mathcal {F}}\right\}}$$ y luego restringirlo al conjunto${\displaystyle {\mathcal {F}}_{M}}$de${\displaystyle \mu ^{*}}$conjuntos medibles (es decir, conjuntos medibles de Carathéodory ), que es el conjunto de todos${\displaystyle M\subseteq \Omega }$de tal manera que $${\displaystyle \mu ^{*}(S)=\mu ^{*}(S\cap M)+\mu ^{*}(S\cap M^{\mathrm {c} })\quad {\text{ for every subset }}S\subseteq \Omega .}$$Es un${\displaystyle \sigma }$-álgebra y${\displaystyle \mu ^{*}}$es sigma-aditivo en él, por el lema de Carathéodory.

Si${\displaystyle \mu ^{*}:\wp (\Omega )\to [0,\infty ]}$es una medida exterior en un conjunto${\displaystyle \Omega ,}$donde (por definición) el dominio es necesariamente el conjunto potencia${\displaystyle \wp (\Omega )}$de${\displaystyle \Omega ,}$entonces un subconjunto${\displaystyle M\subseteq \Omega }$se llama${\displaystyle \mu ^{*}}$–medible o medible según Carathéodory si satisface el siguiente criterio de Carathéodory : $${\displaystyle \mu ^{*}(S)=\mu ^{*}(S\cap M)+\mu ^{*}(S\cap M^{\mathrm {c} })\quad {\text{ for every subset }}S\subseteq \Omega ,}$$ dónde${\displaystyle M^{\mathrm {c} }:=\Omega \setminus M}$es el complemento de${\displaystyle M.}$

La familia de todos${\displaystyle \mu ^{*}}$–los subconjuntos medibles son una σ-álgebra y la restricción de la medida exterior${\displaystyle \mu ^{*}}$Para esta familia es una medida .