secuencia de Sheffer

En matemáticas , una sucesión de Sheffer o poweroide es una sucesión de polinomios , es decir, una sucesión ( p _n ( x ) : n = 0, 1, 2, 3, ... )    de polinomios en la que el índice de cada polinomio es igual a su grado , que satisface condiciones relacionadas con el cálculo umbral en combinatoria . Reciben su nombre de Isador M. Sheffer .

Fijemos una secuencia de polinomios ( p _n ) .   Definamos un operador lineal Q sobre polinomios en x mediante $${\displaystyle Q[p_{n}(x)]=np_{n-1}(x)~.}$$

Esto determina Q en todos los polinomios. La secuencia de polinomios ( p _n )   es una secuencia de Sheffer si el operador lineal Q que acabamos de definir es equivariante por desplazamiento ; tal Q es entonces un operador delta . Aquí, definimos un operador lineal Q en polinomios como equivariante por desplazamiento si, siempre que f ( x ) = g ( x + a ) = T _a g ( x ) es un "desplazamiento" de g ( x ) , entonces ( Qf )( x ) = ( Qg )( x + a )  ; es decir, Q conmuta con cada operador de desplazamiento : T _a Q = QT _a .

El conjunto de todas las secuencias de Sheffer es un grupo bajo la operación de composición umbral de secuencias polinómicas, definida de la siguiente manera. Supongamos que ( p _n (x) : n = 0, 1, 2, 3, ... )    y ( q _n (x) : n = 0, 1, 2, 3, ... )    son secuencias polinómicas, dadas por $${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}\ {\mbox{y}}\ q_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}~.}$$

Luego la composición umbral${\displaystyle p\circ q}$es la secuencia polinómica cuyo n- ésimo término es $${\displaystyle (p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\sum _{0\leq \ell \leq k\leq n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell }}$$ (el subíndice n aparece en p _n , puesto que este es el n-ésimo término de esa secuencia, pero no en q , puesto que este se refiere a la secuencia en su conjunto y no a uno de sus términos).

El elemento neutro de este grupo es la base monomial estándar. $${\displaystyle e_{n}(x)=x^{n}=\sum _{k=0}^{n}\delta _{n,k}x^{k}.}$$

Dos subgrupos importantes son el grupo de secuencias de Appell , que son aquellas secuencias para las cuales el operador Q es una mera diferenciación , y el grupo de secuencias de tipo binomial , que son aquellas que satisfacen la identidad. $${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}\ {n \choose k}\ p_{k}(x)\ p_{nk}(y)~.}$$ Una secuencia de Sheffer ( p _n ( x ) : n = 0, 1, 2, ... )    es de tipo binomial si y solo si se cumplen ambas condiciones. $${\displaystyle p_{0}(x)=1\ }$$ y $${\displaystyle p_{n}(0)=0\quad {\mbox{ para }}\quad n\geq 1~.}$$

El grupo de secuencias de Appell es abeliano ; el grupo de secuencias binomiales no lo es. El grupo de secuencias de Appell es un subgrupo normal ; el grupo de secuencias binomiales no lo es. El grupo de secuencias de Sheffer es un producto semidirecto del grupo de secuencias de Appell y el grupo de secuencias binomiales. De ello se deduce que cada clase lateral del grupo de secuencias de Appell contiene exactamente una secuencia binomial. Dos secuencias de Sheffer pertenecen a la misma clase lateral si y solo si el operador Q descrito anteriormente —denominado « operador delta » de dicha secuencia— es el mismo operador lineal en ambos casos. (Generalmente, un operador delta es un operador lineal equivariante por traslación aplicado a polinomios que reduce el grado en uno. El término se debe a F. Hildebrandt).

Si s _n ( x ) es una secuencia de Sheffer y p _n ( x ) es la única secuencia de tipo binomial que comparte el mismo operador delta, entonces $${\displaystyle s_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}\ {n \choose k}\ p_{k}(x)\ s_{nk}(y)~.}$$

A veces, el término secuencia de Sheffer se define como una secuencia que guarda esta relación con alguna secuencia de tipo binomial. En particular, si ( s _n ( x ) )   es una secuencia de Appell, entonces $${\displaystyle s_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}\ {n \choose k}\ x^{k}\ s_{nk}(y)~.}$$

La sucesión de polinomios de Hermite , la sucesión de polinomios de Bernoulli y los monomios ( x ⁿ : n = 0, 1, 2, ... )    son ejemplos de sucesiones de Appell.

Una secuencia de Sheffer p _n se caracteriza por su función generadora exponencial.$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\ {\frac {p_{n}(x)}{n!}}\ t^{n}=A(t)\ \exp \!{\bigl (}\ x\ B(t)\ {\bigr )}\ }$$ donde A y B son series de potencias ( formales ) en t . Las secuencias de Sheffer son, por lo tanto, ejemplos de polinomios de Appell generalizados y, por consiguiente, tienen una relación de recurrencia asociada .

Algunos ejemplos de secuencias polinómicas que son secuencias de Sheffer son:

• Los polinomios de Abel
• Los polinomios de Bernoulli
• Los polinomios de Euler
• Los polinomios factoriales centrales
• Los polinomios de Hermite
• Los polinomios de Laguerre
• Los monomios ( x ⁿ  : n = 0, 1, 2, ... )
• Los polinomios de Mott
• Los polinomios de Bernoulli de segundo tipo
• Los factoriales descendentes y ascendentes
• Los polinomios de Touchard
• Los polinomios de Mittag-Leffler

• Weisstein, Eric W. "Secuencia de Sheffer" . MathWorld .