El problema de Shephard

En matemáticas , el problema de Shephard es la siguiente pregunta geométrica planteada por Geoffrey Colin Shephard en 1964: si K y L son cuerpos convexos con simetría central en un espacio euclidiano n - dimensional tales que siempre que K y L se proyectan sobre un hiperplano , el volumen de la proyección de K es menor que el volumen de la proyección de L , ¿se deduce entonces que el volumen de K es menor que el de L ? ^{[ 1 ]}

En este caso, "simétrico centralmente" significa que la reflexión de K en el origen, − K , es una traslación de K , y de manera similar para L . Si π _k  : R ⁿ → Π _k es una proyección de R ⁿ sobre algún hiperplano k- dimensional Π _k (no necesariamente un hiperplano de coordenadas) y V _k denota un volumen k- dimensional, el problema de Shephard es determinar la verdad o falsedad de la implicación.   

${\displaystyle V_{k}(\pi _{k}(K))\leq V_{k}(\pi _{k}(L)){\mbox{ para todo }}1\leq k<n\implies V_{n}(K)\leq V_{n}(L).}$

V _k ( π _k ( K )) se conoce a veces como el brillo de K y la función V _k o π _k como una función de brillo ( k -dimensional) .  

En dimensiones n  =  1 y 2, la respuesta al problema de Shephard es "sí". Sin embargo, en 1967, Petty y Schneider demostraron que la respuesta es "no" para todo n  ≥  3. ^{[ 2 ] [ 3 ]} La solución del problema de Shephard requiere la primera desigualdad de Minkowski para cuerpos convexos y la noción de cuerpos de proyección de cuerpos convexos.

• Problema de Busemann-Petty

• Gardner, Richard J. (2002). "La desigualdad de Brunn-Minkowski" . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . Nueva Serie. 39 (3): 355–405 (electrónico). doi : 10.1090/S0273-0979-02-00941-2 .
• Petty, Clinton M. (1967). "Cuerpos de proyección". Actas del Coloquio sobre Convexidad (Copenhague, 1965) . Kobenhavns Univ. Mat. Inst., Copenhague. pp. 234–241 . MR 0216369 .  

• Schneider, Rolf (1967). "Zur einem Problem von Shephard über die Projektionen konvexer Körper" . Mathematische Zeitschrift (en alemán). 101 : 71– 82. doi : 10.1007/BF01135693 .
• Shephard, GC (1964), "Sistemas de sombras de conjuntos convexos", Israel Journal of Mathematics , 2 (4): 229– 236, doi : 10.1007/BF02759738 , ISSN 0021-2172 , MR 0179686