Cuerpo de proyección

En geometría convexa , el cuerpo de proyección${\displaystyle \Pi K}$de un cuerpo convexo${\displaystyle K}$en el espacio euclidiano n -dimensional es el cuerpo convexo tal que para cualquier vector${\displaystyle u\in S^{n-1}}$, la función de soporte de${\displaystyle \Pi K}$en la dirección u es el volumen ( n  –  1)-dimensional de la proyección de K sobre el hiperplano ortogonal a u .

Hermann Minkowski demostró que el cuerpo de proyección de un cuerpo convexo es convexo. Petty (1967) y Schneider ( 1967 ) utilizaron cuerpos de proyección en su solución al problema de Shephard . 

Para${\displaystyle K}$un cuerpo convexo, sea${\displaystyle \Pi ^{\circ }K}$denotamos el cuerpo polar de su cuerpo de proyección. Hay dos notables desigualdades isoperimétricas afines para este cuerpo. Petty (1971) demostró que para todos los cuerpos convexos${\displaystyle K}$,

${\displaystyle V_{n}(K)^{n-1}V_{n}(\Pi ^{\circ }K)\leq V_{n}(B^{n})^{n-1}V_{n}(\Pi ^{\circ }B^{n}),}$

dónde${\displaystyle B^{n}}$denota la bola unitaria n -dimensional y${\displaystyle V_{n}}$es un volumen n -dimensional, y existe igualdad precisamente para elipsoides. Zhang ( 1991 ) demostró que para todos los cuerpos convexos ${\displaystyle K}$,

${\displaystyle V_{n}(K)^{n-1}V_{n}(\Pi ^{\circ }K)\geq V_{n}(T^{n})^{n-1}V_{n}(\Pi ^{\circ }T^{n}),}$

dónde${\displaystyle T^{n}}$denota cualquier${\displaystyle n}$simplex de dimensión -, y existe igualdad precisamente para tales símplices.

El cuerpo de intersección IK de K se define de manera similar, como el cuerpo estrellado tal que para cualquier vector u la función radial de IK desde el origen en la dirección u es el volumen ( n  – 1)-dimensional de la intersección de K con el hiperplano u ^⊥ . Equivalentemente, la función radial del cuerpo de intersección IK es la transformada de Funk de la función radial de K . Los cuerpos de intersección fueron introducidos por Lutwak ( 1988 ) .  

Koldobsky (1998a) demostró que un cuerpo estrellado con simetría central es un cuerpo de intersección si y solo si la función 1/|| x || es una distribución definida positiva, donde || x || es la función homogénea de grado 1 que es 1 en el límite del cuerpo, y Koldobsky (1998b) utilizó esto para demostrar que las bolas unitarias l ^p _n , 2  < p ≤ ∞ en el espacio n -dimensional con la norma l ^p son cuerpos de intersección para n =4 pero no son cuerpos de intersección para n ≥ 5.      

• Problema de Busemann-Petty
• El problema de Shephard

• Bourgain, Jean ; Lindenstrauss, J. (1988), "Cuerpos de proyección", Aspectos geométricos del análisis funcional (1986/87) , Lecture Notes in Math., vol.  1317, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , pp. 250–270 , doi : 10.1007/BFb0081746 , ISBN  978-3-540-19353-1, SR 0950986 
• Koldobsky, Alexander (1998a), "Cuerpos de intersección, distribuciones definidas positivas y el problema de Busemann-Petty", American Journal of Mathematics , 120 (4): 827–840 , CiteSeerX 10.1.1.610.5349 , doi : 10.1353/ajm.1998.0030 , ISSN 0002-9327 , MR 1637955   
• Koldobsky, Alexander (1998b), "Cuerpos de intersección en R⁴", Advances in Mathematics , 136 (1): 1– 14, doi : 10.1006/aima.1998.1718 , ISSN 0001-8708 , MR 1623669  
• Lutwak, Erwin (1988), "Cuerpos de intersección y volúmenes mixtos duales", Advances in Mathematics , 71 (2): 232– 261, doi : 10.1016/0001-8708(88)90077-1 , ISSN 0001-8708 , MR 0963487  
• Petty, Clinton M. (1967), "Proyección de cuerpos" , Actas del Coloquio sobre Convexidad (Copenhague, 1965) , Kobenhavns Univ. Mat. Inst., Copenhague, pp. 234–241 , MR 0216369  
• Petty, Clinton M. (1971), "Problemas isoperimétricos", Actas de la Conferencia sobre Convexidad y Geometría Combinatoria (Universidad de Oklahoma, Norman, Oklahoma, 1971). Departamento de Matemáticas, Universidad de Oklahoma, Norman, Oklahoma , págs. 26-41 , MR 0362057  
• Schneider, Rolf (1967). "Zur einem Problem von Shephard über die Projektionen konvexer Körper" . Mathematische Zeitschrift (en alemán). 101 : 71– 82. doi : 10.1007/BF01135693 .
• Zhang, Gaoyong (1991), "Proyección de cuerdas restringida y desigualdades afines", Geometriae Dedicata , 39 (4): 213–222 , doi : 10.1007/BF00182294 , MR 1119653