Fórmula de Shields

La fórmula de Shields es una fórmula para el cálculo de la estabilidad de materiales granulares ( arena , grava ) en agua corriente.

La estabilidad del material granular en flujo puede determinarse mediante la fórmula de Shields o la fórmula de Izbash . La primera es más adecuada para materiales de grano fino (como arena y grava ), mientras que la fórmula de Izbash es más adecuada para piedras de mayor tamaño. La fórmula de Shields fue desarrollada por Albert F. Shields (1908-1974). De hecho, el método de Shields determina si el material del suelo se moverá o no. El parámetro de Shields determina, por lo tanto, si se inicia o no el movimiento. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

El movimiento del material del suelo (de grano suelto) se produce cuando la presión cortante ejercida por el agua sobre el suelo es mayor que la resistencia que ofrece el suelo. Esta relación adimensional (el parámetro de Shields ) fue descrita por primera vez por Albert Shields y se expresa como:

${\displaystyle \Psi _{c}*={\frac {carga}{resistencia}}={\frac {\tau _{c}d^{2}}{(\rho _{s}-\rho _{w})gd^{3}}}}$,

dónde:

• ${\displaystyle \tau _{c}}$es la tensión cortante crítica en el fondo ;
• ${\displaystyle \rho _{s}}$es la densidad del sedimento;
• ${\displaystyle \rho _{w}}$es la densidad del agua;
• ${\displaystyle g}$es la aceleración de la gravedad ;
• ${\displaystyle d}$es el diámetro del sedimento.

La tensión cortante que actúa en la parte inferior (con un flujo uniforme normal a lo largo de una pendiente) es:

${\displaystyle \tau =\rho _ {w}ghI}$,

dónde:

• ${\displaystyle \tau }$es la tensión cortante ejercida por el flujo sobre el lecho;
• ${\displaystyle h}$es la profundidad del agua;
• ${\displaystyle I}$es el gradiente (= la pendiente de la corriente).

Es importante darse cuenta de que${\displaystyle \tau }$es el esfuerzo cortante ejercido por el flujo (es decir, una propiedad del flujo) y${\displaystyle \tau _{c}}$es la tensión cortante a la que se mueven los granos (es decir, una propiedad de los granos).

La velocidad de esfuerzo cortante se usa a menudo en lugar del esfuerzo cortante:

${\displaystyle u_{*}={\sqrt {\tau /\rho _ {w}}}}$

La velocidad de esfuerzo cortante tiene las dimensiones de una velocidad (m/s), pero en realidad es una representación del esfuerzo cortante. Por lo tanto, la velocidad de esfuerzo cortante nunca se puede medir con un velocímetro.

Utilizando la velocidad de esfuerzo cortante, el parámetro de Shields también se puede escribir como:

${\displaystyle \Psi _{c*}={\frac {carga}{resistencia}}={\frac {u_{*c}^{2}}{\Delta gd}}}$

dónde:

• ${\displaystyle \Delta }$es la densidad de grano adimensional${\displaystyle {\frac {(\rho _ {s}-\rho _ {w})}{\rho _ {w}}}}$

Shields descubrió que el parámetro${\displaystyle \Psi _{c*}}$es una función de${\displaystyle {\frac {u_{*c}d}{\nu }}}$, en el cual${\displaystyle \nu }$es la viscosidad cinemática . Este parámetro también se denomina número de Reynolds granular :

${\displaystyle Re_{*}={\frac {u_{*c}d}{\nu }}}$

Shields ha realizado pruebas con granos de diferentes densidades y el valor encontrado de${\displaystyle \Psi _{c*}}$representado gráficamente en función de${\displaystyle Re_{*}}$Esto dio lugar al gráfico anterior. ^{[ 1 ]}

Van Rijn descubrió que en lugar del número de Reynolds granular se podía utilizar un tamaño de grano adimensional: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {d_{*}}=d{\left({\frac {\Delta g}{\nu ^{2}}}\right)}^{1/3}}$

Porque normalmente los valores de${\displaystyle \Delta ,g,\nu }$son bastante constantes, el tamaño real del grano también se puede establecer en el eje horizontal (ver figura b de la derecha). Esto significa que el valor de${\displaystyle \Psi _{c*}}$es únicamente función del diámetro del grano y se puede leer directamente.

.

De esto se deduce que para granos mayores de 5  mm el parámetro de Shields obtiene un valor constante de 0,055.

La pendiente de un río ( I ) se puede determinar mediante la fórmula de Chézy :

${\displaystyle u=C{\sqrt {hI}}}$

en el cual ${\displaystyle C}$= el coeficiente de Chézy ( m ^1/2 / s ) ; Este suele ser del orden de 50 ( m ^1/2 / s ) . Para un lecho plano (es decir , sin ondulaciones) , C se puede aproximar con:

${\displaystyle C=18\log _{10}{\frac {12h}{2d}}}$^{[ 4 ]}

Al introducir esto en la fórmula de estabilidad, se obtiene una fórmula de tamaño de grano crítico para un caudal determinado:

${\displaystyle d_{c}={\frac {u^{2}}{\Psi _{c}\Delta C^{2}}}}$

En esta forma, la relación de estabilidad se suele denominar "fórmula de Shields".

La línea de Shields (y de Van Rijn) en el gráfico representa la separación entre "movimiento" y "sin movimiento". Shields definió como "movimiento" el desplazamiento de casi todos los granos en el fondo. Esta definición es útil para determinar el inicio del transporte de arena por flujo. Sin embargo, para proteger un lecho de la erosión, es necesario que los granos apenas se muevan. Para poner esto en práctica, Breusers definió 7 fases de movimiento en 1969: ^{[ 5 ]}

1. De vez en cuando aparece una piedra en movimiento
2. Movimiento frecuente en algunos lugares
3. Movimiento frecuente en varios lugares
4. Movimiento frecuente en muchos lugares
5. Movimiento continuo en todos los puntos
6. Transporte de todos los granos por la parte inferior

Estas fases se muestran en la siguiente figura:

En la práctica, esto significa que para las protecciones de lecho (donde el grano siempre es mayor de 5 mm), se debe utilizar un valor de diseño de Ψ=0,03.

Pregunta: ¿A qué velocidad de flujo se mueve la arena de 0,2 cm a una profundidad de agua de 1 m?

El valor de Chézy entonces se convierte en C = 62 (este es un valor alto, por lo que indica un suelo liso; esto se debe a que suponemos que no hay crestas). Al completar este valor, obtenemos una velocidad de 0,83 m/s.

Pregunta: ¿Qué tamaño de piedra se necesita para proteger este suelo contra una corriente de 2  m/s?

Esto no se puede resolver directamente; primero hay que hacer una suposición sobre d . Tomemos un tamaño de piedra de 5 cm. Esto da un valor de Chézy de 37. Al introducirlo en la fórmula de Shields, se obtiene un tamaño de piedra de 5,7 cm. Los 5 cm eran un poco pequeños. Tras varias pruebas, finalmente se encuentra un tamaño de piedra de 6,5 cm. (En este caso, la fórmula de Izbash da 6,3 cm).

El método de Shields se basa en un flujo uniforme y permanente con una turbulencia generada por la rugosidad del lecho (es decir, sin turbulencia adicional producida, por ejemplo, por una corriente de hélice). En el caso de un lecho rugoso en aguas poco profundas y en caso de turbulencia inusual, se recomienda la fórmula de Izbash . ^{[ 6 ]}