Fórmula Izbash

La fórmula de Izbash es una expresión matemática que se utiliza para calcular la estabilidad de la piedra de protección en entornos de agua corriente.

Para evaluar la estabilidad de materiales granulares en una corriente, se suelen emplear las fórmulas de Shields e Izbash. La primera es más apropiada para materiales de grano fino como arena y grava, mientras que la fórmula de Izbash está diseñada para tamaños de piedra mayores. La fórmula de Izbash fue ideada por Sergei Vladimirovich Izbash . Su expresión general es la siguiente: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\frac {u_{c}}{\sqrt {\Delta gd}}}=1,7}$

o alternativamente

${\displaystyle \Delta d=0.7{\frac {u^{2}}{2g}}}$

Aquí, las variables representan:

u _c = velocidad del flujo en las proximidades de la piedra

Δ = densidad relativa de la piedra, calculada como ( ρ _s - ρ _w )/ ρ _w donde ρ _s denota la densidad de la piedra y ρ _w es la densidad del agua.

g = aceleración gravitatoria

d = diámetro de la piedra

El coeficiente 1,7 es una constante experimental determinada por Izbash que engloba efectos como la fricción , la inercia y la turbulencia de la corriente . Por lo tanto, su aplicación se limita a condiciones donde la turbulencia se debe principalmente a la rugosidad de los materiales de construcción en el agua. Se requieren ajustes cuando estas condiciones no se dan.

La derivación de la fórmula comienza considerando las fuerzas que actúan sobre una piedra en una corriente de agua. Estas se agrupan en fuerzas activas que tienden a desplazar la piedra y fuerzas pasivas que se oponen a este movimiento:

• Fuerzas activas :
  • Fuerza de sustentación (F _L ) : Surge debido al flujo de agua alrededor de la piedra, creando una diferencia de presión.
  • Fuerza de fricción (F _S ) : Resulta del contacto entre la piedra y el lecho del río.
  • Fuerza de arrastre (F _D ) : Generada por el flujo de agua contra la superficie de la piedra.
• Fuerzas pasivas :
  • El peso de la piedra (W) : La fuerza descendente debida a la gravedad.
  • Fuerza de Resistencia (F _F ) : La oposición que ofrece la superficie del lecho u otras piedras. ^{[ 1 ]}

Cada fuerza activa puede cuantificarse en términos de la densidad del agua (ρ _w ), la velocidad del flujo (u) y los coeficientes y áreas de influencia respectivos (C _D , C _F , C _L , A _D , A _S , A _L ). Se consideran las tres fuerzas activas y las dos fuerzas pasivas descritas anteriormente. El análisis del equilibrio de momentos alrededor del punto A da como resultado que F _F se desestime debido a su longitud de brazo cero. Las fuerzas activas pueden entonces detallarse como:

${\displaystyle {\begin{matrix}F_{D}&={\frac {1}{2}}C_{D}\rho _{w}u^{2}A_{D}\\F_{S}&={\frac {1}{2}}C_{F}\rho _{w}u^{2}A_{S}\\F_{L}&={\frac {1}{2}}C_{L}\rho _{w}u^{2}A_{L}\end{matrix}}\quad {\Biggr ]}\quad F\sim \rho _{w}u^{2}d^{2}}$

La fuerza activa total es proporcional al cuadrado de la velocidad del flujo y al diámetro de la piedra, representada como ρ _w u²d². La fuerza pasiva resistente es proporcional al peso sumergido de la piedra, que involucra la constante gravitacional (g), el volumen de la piedra (proporcional a d³) y la diferencia de densidad entre la piedra y el agua (ρ _s - ρ _w ), representada por Δ.

Al equilibrar las fuerzas activas con las pasivas, se obtiene la ecuación de velocidad de flujo crítica:

${\displaystyle u_{c}^{2}=K\Delta gd}$

K es un coeficiente empírico calibrado mediante observaciones experimentales, y se ha determinado que su valor ronda el 1,7.

Por lo tanto, la fórmula proporciona una estimación de velocidad crítica: el umbral en el que las fuerzas que actúan sobre una piedra debido al flujo superan la resistencia de la piedra al movimiento. ^{[ 2 ]}

Consideremos la posibilidad de determinar el tamaño de piedra necesario para proteger la base de un canal con una profundidad de 1 m y un caudal medio de 2  m/s.

El diámetro de la piedra necesario para la protección puede estimarse reconfigurando la fórmula e insertando los datos pertinentes. La fórmula de Izbash requiere el uso de la velocidad "cerca de la piedra", lo cual resulta ambiguo. En la práctica, se asume una velocidad aproximadamente equivalente al diámetro de la piedra por encima de la capa protectora. Esto equivale a aproximadamente el 85 % de la velocidad media del flujo del canal al emplear un perfil de flujo logarítmico estándar, lo que resulta en un diámetro de piedra de aproximadamente 6,3  cm (comparable a los 6,5  cm predichos por la fórmula de Shields).

La aplicación de la fórmula requiere la medición de la velocidad cerca de la piedra, una tarea que puede resultar difícil, especialmente en suelos de grano fino y a profundidades de agua significativas. En tales condiciones, la fórmula de Shields suele considerarse una alternativa más adecuada. ^{[ 3 ]}

Reconociendo el uso generalizado del coeficiente 0,7, Krystian Pilarczyk refinó la fórmula en 1985 para mejorar su especificidad. ^{[ 2 ]} La ecuación revisada se expresa como:

${\displaystyle \Delta d=0.035{\frac {\Phi }{\Psi }}{\frac {K_{t}K_{h}}{K_{s}}}{\frac {u^{2}}{2g}}}$

dónde:

Φ representa el parámetro de estabilidad, que ajusta la fórmula para diferentes tipos de construcción:

Ψ denota el parámetro de Shields , cuyos valores típicos se muestran en la tabla siguiente:

K _t = factor de turbulencia, con los valores que se indican a continuación:

K _h = factor de profundidad

• Típicamente,${\displaystyle K_{h}={\frac {2}{\log({\frac {12h}{Nd}})^{2}}}}$donde N varía de 1 a 3
• k _h para un perfil de velocidad no desarrollado:${\displaystyle (1+{\frac {h}{d}})^{0.2}}$

K _s = factor de pendiente

• El valor de K _s corresponde a cualquiera de los siguientes${\displaystyle K(\alpha _{\parallel })}$o${\displaystyle K(\alpha )}$(como se detalla a continuación).

Las influencias desestabilizadoras sobre la estabilidad de una pendiente pueden cuantificarse examinando dos fuerzas principales:

1. Un componente de fuerza paralelo a la pendiente, expresado como W sin(α) , donde W es el peso del objeto y α es el ángulo de la pendiente. Esta fuerza favorece el movimiento cuesta abajo.
2. Un componente de fuerza perpendicular a la pendiente, W cos(α) , que aumenta la fuerza normal y, por lo tanto, la fricción que se opone al movimiento.

En la figura siguiente, φ representa el ángulo de fricción interna o el ángulo de reposo del suelo. Cuando la dirección del flujo se alinea con la inclinación de la pendiente ( Figura b ), la fuerza perpendicular que afecta la estabilidad es:

${\displaystyle F(\alpha _{\text{perpendicular}})=W\cos(\alpha )\tan(\phi )-W\sin(\alpha )}$

Si el flujo se produce en la dirección opuesta, la estabilidad de la piedra aumenta:

${\displaystyle F=W\cos(\alpha )\tan(\phi )+W\sin(\alpha )}$

El factor de reducción de resistencia debido a la pendiente es entonces:

${\displaystyle K(\alpha _{\parallel })={\frac {F(\alpha _{\parallel })}{F(0)}}={\frac {W\cos(\alpha )\tan(\phi )-W\sin(\alpha )}{W\tan(\phi )}}={\frac {\sin(\phi -\alpha )}{\sin(\phi )}}}$

Para pendientes transversales al flujo con un ángulo α ( Figura c ), el factor de reducción de estabilidad es:

${\displaystyle K(\alpha )={\frac {F(\alpha )}{F(0)}}={\sqrt {\frac {\cos ^{2}(\alpha )\tan ^{2}(\phi )-\sin ^{2}(\alpha )}{\tan ^{2}(\phi )}}}={\sqrt {1-{\frac {\sin ^{2}(\alpha )}{\sin ^{2}(\phi )}}}}}$

La figura d ilustra los factores de reducción de la estabilidad en una pendiente con un ángulo de φ = 40 grados, lo que demuestra el impacto del ángulo de la pendiente en relación con la dirección del flujo sobre la estabilidad de los objetos.

Debido a que esta versión de la fórmula de Izbash incluye un factor de profundidad, K _h , se puede considerar la velocidad promedio por encima de las piedras para la velocidad utilizada en los cálculos. Esto representa una revisión de la fórmula original de Izbash, que especificaba de forma ambigua que la velocidad era "cerca de la piedra". ^{[ 4 ]}

La turbulencia ejerce un efecto significativo sobre la estabilidad. Los vórtices turbulentos generan velocidades localmente elevadas en la piedra, creando una fuerza de sustentación en un lado, mientras que la ausencia de dicha fuerza en el otro lado puede expulsar la piedra de su lecho. Este mecanismo se ilustra en la imagen adjunta (ver a la derecha), donde el dibujo detallado muestra la piedra en la coordenada (0,0), con la velocidad relativa generando una fuerza de sustentación hacia arriba a la izquierda y ninguna fuerza de sustentación a la derecha, lo que resulta en un momento en sentido horario que puede expulsar la piedra del lecho junto con la fuerza de sustentación normal del flujo principal. Este movimiento selectivo explica por qué no todas las piedras se ponen en movimiento con una velocidad de corriente determinada, sino solo cuando pasa un vórtice apropiado.

Estas ilustraciones representan mediciones de caudal en un plano vertical sobre una piedra, con el flujo moviéndose de izquierda a derecha. Se muestra la velocidad después de restar la velocidad media, es decir, las componentes u y v (para una explicación más detallada, consulte el artículo principal sobre modelado de turbulencia ).

El impacto de la turbulencia es particularmente pronunciado cuando el tamaño de los vórtices turbulentos es comparable al de las piedras. Es factible modificar la fórmula de Izbash para incorporar de forma más explícita los efectos de la turbulencia. ^{[ 6 ]} Una piedra en reposo no se moverá hasta que la velocidad total (es decir, la velocidad promedio más la velocidad adicional de los vórtices turbulentos) supere un umbral específico. La investigación indica que esta velocidad crítica es${\displaystyle {\overline {u}}+3\sigma =(1+3r){\overline {u}}}$, dónde${\displaystyle \sigma }$representa la desviación estándar de la velocidad y r denota la turbulencia relativa. En la fórmula original de Izbash, el coeficiente de 1,7 incluye un componente que tiene en cuenta la turbulencia. La fórmula se puede reformular como:

${\displaystyle \Delta d=0.7{\frac {u^{2}}{2g}}=c_{iz}{\frac {\left[u(1+3r)\right]^{2}}{2g}}}$

Suponiendo una turbulencia relativa de r=0,075 para la turbulencia inducida por la rugosidad del lecho, la fórmula revisada conduce a:${\displaystyle c_{iz}}$= 0,47. Esta revisión introduce un parámetro de turbulencia explícito en la fórmula de Izbash:

${\displaystyle \Delta d=0.47{\frac {\left[u(1+3r)\right]^{2}}{2g}}}$

Esta adaptación permite el uso de la fórmula de Izbash en escenarios donde la turbulencia no es únicamente el resultado de la rugosidad del lecho, sino que también ocurre en flujos influenciados por barcos y hélices. En la estela de un buque en un canal estrecho, se observa un fuerte flujo de retorno con mayor turbulencia, donde r es típicamente alrededor de 0,2. Para la turbulencia inducida por hélices, se recomienda un valor de r de 0,45. ^{[ 7 ]} Dado que la turbulencia relativa aparece cuadráticamente en la fórmula, es evidente que para un flujo de hélice, se requiere un tamaño de piedra sustancialmente mayor para la protección del lecho en comparación con las condiciones de flujo "normales".

Para casos atípicos, se puede utilizar un modelo de turbulencia como el modelo k-epsilon para calcular el valor de r . Este valor se puede luego insertar en la fórmula de Izbash modificada mencionada anteriormente para determinar el tamaño de piedra necesario. ^{[ 8 ]}

• Referencia general: CIRIA, CUR, CETMEF (2007). The rock manual  : the use of rock in hydraulic engineering . Londres: CIRIA C683. pág.  1268. ISBN 9780860176831.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )

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