σ-álgebra

Una medida sobre${\displaystyle X}$es una función que asigna un número real no negativo a subconjuntos de${\displaystyle X;}$Esto puede entenderse como una forma precisa de definir el concepto de "tamaño" o "volumen" para conjuntos. Queremos que el tamaño de la unión de conjuntos disjuntos sea la suma de sus tamaños individuales, incluso para una secuencia infinita de conjuntos disjuntos .

Uno quisiera asignar un tamaño a cada subconjunto de${\displaystyle X,}$pero en muchos entornos naturales, esto no es posible. Por ejemplo, el axioma de elección implica que cuando el tamaño considerado es la noción ordinaria de longitud para subconjuntos de la recta real, entonces existen conjuntos para los cuales no existe tamaño, por ejemplo, los conjuntos de Vitali . Por esta razón, se considera en cambio una colección más pequeña de subconjuntos privilegiados de${\displaystyle X.}$Estos subconjuntos se denominarán conjuntos medibles. Son cerrados bajo las operaciones esperables para conjuntos medibles; es decir, el complemento de un conjunto medible es un conjunto medible y la unión numerable de conjuntos medibles también lo es. Las colecciones no vacías de conjuntos con estas propiedades se denominan σ-álgebras.

Muchos usos de la medida, como el concepto de probabilidad de convergencia casi segura , implican límites de secuencias de conjuntos . Para ello, la clausura bajo uniones e intersecciones numerables es fundamental. Los límites de conjuntos se definen de la siguiente manera en σ-álgebras.

• El límite supremo o límite exterior de una secuencia${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$de subconjuntos de${\displaystyle X}$es$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{m=n}^{\infty }A_{m}=\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\cup A_{n+1}\cup \cdots .}$$Consta de todos los puntos${\displaystyle x}$que están en infinitos de estos conjuntos (o equivalentemente, que están en cofinalmente muchos de ellos). Es decir,${\displaystyle x\in \limsup _{n\to \infty }A_{n}}$si y solo si existe una subsecuencia infinita${\displaystyle A_{n_{1}},A_{n_{2}},\ldots }$(dónde${\displaystyle n_{1}<n_{2}<\cdots }$) de conjuntos que contienen todos${\displaystyle x;}$es decir, de tal manera que${\displaystyle x\in A_{n_{1}}\cap A_{n_{2}}\cap \cdots .}$
• El límite infimum o límite interno de una secuencia${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$de subconjuntos de${\displaystyle X}$es$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcap _{m=n}^{\infty }A_{m}=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\cap A_{n+1}\cap \cdots .}$$Consiste en todos los puntos que están en todos menos en un número finito de estos conjuntos (o equivalentemente, que eventualmente están en todos ellos). Es decir,${\displaystyle x\in \liminf _{n\to \infty }A_{n}}$si y solo si existe un índice${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$de tal manera que${\displaystyle A_{N},A_{N+1},\ldots }$todos contienen${\displaystyle x;}$es decir, de tal manera que${\displaystyle x\in A_{N}\cap A_{N+1}\cap \cdots .}$

El límite interior es siempre un subconjunto del límite exterior:$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}~\subseteq ~\limsup _{n\to \infty }A_{n}.}$$ Si estos dos conjuntos son iguales, entonces su límite${\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}}$existe y es igual a este conjunto común: $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}:=\liminf _{n\to \infty }A_{n}=\limsup _{n\to \infty }A_{n}.}$$

En gran parte de la probabilidad, especialmente cuando interviene la esperanza condicional , uno se ocupa de conjuntos que representan solo una parte de toda la información posible que se puede observar. Esta información parcial se puede caracterizar con un álgebra σ más pequeña que es un subconjunto del álgebra σ principal; consiste en la colección de subconjuntos relevantes solo para y determinados solo por la información parcial. Formalmente, si${\displaystyle \Sigma ,\Sigma '}$son σ-álgebras en${\displaystyle X}$, entonces${\displaystyle \Sigma '}$es una sub σ-álgebra de${\displaystyle \Sigma }$si${\displaystyle \Sigma '\subseteq \Sigma }$.

El proceso de Bernoulli proporciona un ejemplo sencillo. Consiste en una secuencia de lanzamientos de moneda aleatorios, obteniendo cara (${\displaystyle H}$) o Colas (${\displaystyle T}$), de longitud ilimitada. El espacio muestral Ω consta de todas las posibles secuencias infinitas de${\displaystyle H}$o${\displaystyle T:}$$${\displaystyle \Omega =\{H,T\}^{\infty }=\{(x_{1},x_{2},x_{3},\dots ):x_{i}\in \{H,T\},i\geq 1\}.}$$

El álgebra sigma completa se puede generar a partir de una secuencia ascendente de subálgebras, considerando la información que se podría obtener después de observar algunas o todas las primeras.${\displaystyle n}$lanzamientos de moneda. Esta secuencia de subálgebras está dada por $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}=\{A\times \Omega :A\subseteq \{H,T\}^{n}\}}$$ Cada una de ellas es más fina que la anterior, por lo que se puede pedir como filtro.

$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}\subseteq {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}\subseteq \cdots \subseteq {\mathcal {G}}_{\infty }}$$

La primera subálgebra${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}=\{\varnothing,\Omega \}}$es el álgebra trivial: tiene solo dos elementos, el conjunto vacío y el espacio total. La segunda subálgebra${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}}$tiene cuatro elementos: los dos en${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}}$más dos más: secuencias que comienzan con${\displaystyle H}$y secuencias que comienzan con${\displaystyle T}$Cada subálgebra es más fina que la anterior.${\displaystyle n}$la subálgebra contiene${\displaystyle 2^{n+1}}$elementos: divide el espacio total${\displaystyle \Omega }$en todas las secuencias posibles que podrían haberse observado después${\displaystyle n}$giros, incluyendo la posible no observación de algunos de los giros.

El álgebra límite${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\infty }}$es el álgebra σ más pequeña que contiene a todas las demás. Es el álgebra generada por la topología producto o la topología débil en el espacio producto.${\displaystyle \{H,T\}^{\infty }.}$

Dejar${\displaystyle X}$sea ​​algún conjunto, y deje que${\displaystyle P(X)}$representa su conjunto potencia , el conjunto de todos los subconjuntos de${\displaystyle X}$. Luego un subconjunto${\displaystyle \Sigma \subseteq P(X)}$Se denomina σ-álgebra si satisface las siguientes tres propiedades: ^{[ 2 ]}

1. ${\displaystyle X}$está en${\displaystyle \Sigma }$.
2. ${\displaystyle \Sigma }$está cerrado bajo complementación : Si algún conjunto${\displaystyle A}$está en${\displaystyle \Sigma ,}$entonces también lo es su complemento ,${\displaystyle X\setminus A.}$
3. ${\displaystyle \Sigma }$está cerrado bajo uniones contables : Si${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$están en${\displaystyle \Sigma ,}$entonces también lo es${\displaystyle A=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \cdots .}$

De estas propiedades se deduce que el álgebra σ también es cerrada bajo intersecciones numerables (aplicando las leyes de De Morgan ).

También se deduce que el conjunto vacío${\displaystyle \varnothing }$está en${\displaystyle \Sigma ,}$puesto que por (1)${\displaystyle X}$está en${\displaystyle \Sigma }$y (2) afirma que su complemento, el conjunto vacío, también está en${\displaystyle \Sigma .}$ Además, dado que${\displaystyle \{X,\varnothing \}}$Si se cumplen las 3 condiciones, se deduce que${\displaystyle \{X,\varnothing \}}$es el álgebra σ más pequeña posible en${\displaystyle X.}$El σ-álgebra más grande posible en${\displaystyle X}$es${\displaystyle P(X).}$

Los elementos del álgebra σ se denominan conjuntos medibles . Un par ordenado${\displaystyle (X,\Sigma ),}$dónde${\displaystyle X}$es un conjunto y${\displaystyle \Sigma }$es un σ-álgebra sobre${\displaystyle X,}$Se denomina espacio medible . Una función entre dos espacios medibles se denomina función medible si la preimagen de cada conjunto medible es medible. La colección de espacios medibles forma una categoría , con las funciones medibles como morfismos . Las medidas se definen como ciertos tipos de funciones de un σ-álgebra a${\displaystyle [0,\infty ].}$

Un álgebra σ es a la vez un sistema π y un sistema de Dynkin (sistema λ). Lo contrario también es cierto, según el teorema de Dynkin (véase más abajo).

Este teorema (o el teorema de la clase monótona relacionado ) es una herramienta esencial para demostrar muchos resultados sobre propiedades de σ-álgebras específicas. Se basa en la naturaleza de dos clases de conjuntos más simples, a saber, las siguientes.

• Un sistema π${\displaystyle P}$es una colección de subconjuntos de${\displaystyle X}$que se cierra bajo un número finito de intersecciones, y
• Un sistema Dynkin (o sistema λ)${\displaystyle D}$es una colección de subconjuntos de${\displaystyle X}$que contiene${\displaystyle X}$y es cerrado bajo el complemento y bajo uniones numerables de subconjuntos disjuntos .

El teorema π-λ de Dynkin dice que si${\displaystyle P}$es un sistema π y${\displaystyle D}$es un sistema Dynkin que contiene${\displaystyle P,}$luego el álgebra σ${\displaystyle \sigma (P)}$generado por${\displaystyle P}$está contenido en${\displaystyle D.}$ Dado que ciertos sistemas π son clases relativamente simples, puede que no sea difícil verificar que todos los conjuntos en${\displaystyle P}$disfrutar de la propiedad en cuestión mientras, por otro lado, se muestra que la colección${\displaystyle D}$de todos los subconjuntos con la propiedad es un sistema de Dynkin también puede ser sencillo. El teorema π-λ de Dynkin implica entonces que todos los conjuntos en${\displaystyle \sigma (P)}$disfrutar de la propiedad, evitando la tarea de comprobarla para un conjunto arbitrario en${\displaystyle \sigma (P).}$

Uno de los usos más fundamentales del teorema π-λ es demostrar la equivalencia de medidas o integrales definidas por separado. Por ejemplo, se utiliza para igualar una probabilidad para una variable aleatoria.${\displaystyle X}$con la integral de Lebesgue-Stieltjes típicamente asociada con el cálculo de la probabilidad: $${\displaystyle \mathbb {P} (X\in A)=\int _{A}\,F(dx)}$$a pesar de${\displaystyle A}$en el σ-álgebra de Borel en${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ dónde${\displaystyle F(x)}$es la función de distribución acumulativa para${\displaystyle X,}$definido en${\displaystyle \mathbb {R} ,}$mientras${\displaystyle \mathbb {P} }$es una medida de probabilidad , definida en un σ-álgebra${\displaystyle \Sigma }$de subconjuntos de algún espacio muestral${\displaystyle \Omega .}$

Suponer${\displaystyle \textstyle \left\{\Sigma _{\alpha }:\alpha \in {\mathcal {A}}\right\}}$es una colección de σ-álgebras en un espacio${\displaystyle X.}$

Suponer${\displaystyle Y}$es un subconjunto de${\displaystyle X}$y dejar${\displaystyle (X,\Sigma )}$ser un espacio mensurable.

• La colección${\displaystyle \{Y\cap B:B\in \Sigma \}}$es un σ-álgebra de subconjuntos de${\displaystyle Y.}$
• Suponer${\displaystyle (Y,\Lambda )}$es un espacio mensurable. La colección${\displaystyle \{A\subseteq X:A\cap Y\in \Lambda \}}$es un σ-álgebra de subconjuntos de${\displaystyle X.}$

Un álgebra σ${\displaystyle \Sigma }$es simplemente un anillo σ que contiene el conjunto universal${\displaystyle X.}$^{[ 3 ]} Unσ-anillo no tiene por qué ser unσ-álgebra, como por ejemplo los subconjuntos medibles de medida de Lebesgue cero en la recta real son unσ-anillo, pero no unσ-álgebra, puesto que la recta real tiene medida infinita y, por lo tanto, no puede obtenerse mediante su unión numerable. Si, en lugar de medida cero, se toman subconjuntos medibles de medida de Lebesgue finita, estos son unanillo, pero no unσ-anillo, puesto que la recta real puede obtenerse mediante su unión numerable, pero su medida no es finita.

Las σ -álgebras a veces se denotan usando letras mayúsculas caligráficas o la tipografía Fraktur . Por lo tanto${\displaystyle (X,\Sigma )}$puede denotarse como${\displaystyle (X,\,{\mathcal {F}})}$o ${\displaystyle (X,\,{\mathfrak {F}}).}$

Un separable${\displaystyle \sigma }$-álgebra (o separable)${\displaystyle \sigma }$-campo ) es un${\displaystyle \sigma }$-álgebra${\displaystyle {\mathcal {F}}}$que es un espacio separable cuando se considera como un espacio métrico con métrica${\displaystyle \rho (A,B)=\mu (A{\mathbin {\triangle }}B)}$para${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}$y una medida finita dada${\displaystyle \mu }$(y con${\displaystyle \triangle }$siendo el operador de diferencia simétrica ). ^{[ 4 ]} Cualquier${\displaystyle \sigma }$El álgebra generada por una colección numerable de conjuntos es separable, pero lo contrario no tiene por qué ser cierto. Por ejemplo, el álgebra de Lebesgue.${\displaystyle \sigma }$El álgebra es separable (ya que todo conjunto medible de Lebesgue es equivalente a algún conjunto de Borel) pero no es numerablemente generada (ya que su cardinalidad es mayor que la del continuo).

Un espacio de medida separable posee una pseudométrica natural que lo convierte en un espacio pseudométrico separable . La distancia entre dos conjuntos se define como la medida de la diferencia simétrica entre ellos. La diferencia simétrica de dos conjuntos distintos puede tener medida cero; por lo tanto, la pseudométrica definida anteriormente no tiene por qué ser una métrica verdadera. Sin embargo, si se identifican conjuntos cuya diferencia simétrica tiene medida cero en una única clase de equivalencia , el conjunto cociente resultante puede ser metrizado correctamente mediante la métrica inducida . Si el espacio de medida es separable, se puede demostrar que el espacio métrico correspondiente también lo es.

Dejar${\displaystyle X}$ser cualquier conjunto.

• La familia que consta únicamente del conjunto vacío y el conjunto${\displaystyle X,}$llamada σ-álgebra mínima o trivial sobre${\displaystyle X.}$
• El conjunto de poderes de${\displaystyle X,}$llamada σ-álgebra discreta .
• La colección${\displaystyle \{\varnothing ,A,X\setminus A,X\}}$es un σ-álgebra simple generada por el subconjunto${\displaystyle A.}$
• La colección de subconjuntos de${\displaystyle X}$que son numerables o cuyos complementos son numerables es un σ-álgebra (que es distinto del conjunto potencia de${\displaystyle X}$si y solo si${\displaystyle X}$es incontable). Esta es la σ-álgebra generada por los singletons de${\displaystyle X.}$Nota: "contable" incluye elementos finitos o vacíos.
• La colección de todas las uniones de conjuntos en una partición contable de${\displaystyle X}$es un σ-álgebra.

Un tiempo de parada${\displaystyle \tau }$puede definir un${\displaystyle \sigma }$-álgebra${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau },}$la denominada sigma-álgebra de tiempo de parada , que en un espacio de probabilidad filtrado describe la información hasta el tiempo aleatorio.${\displaystyle \tau }$en el sentido de que, si el espacio de probabilidad filtrado se interpreta como un experimento aleatorio, la información máxima que se puede obtener sobre el experimento repitiéndolo arbitrariamente a menudo hasta el momento${\displaystyle \tau }$es${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }.}$^{[ 5 ]}

Dejar${\displaystyle F}$sea ​​una familia arbitraria de subconjuntos de${\displaystyle X.}$Entonces existe un único σ-álgebra más pequeño que contiene cada conjunto en${\displaystyle F}$(a pesar de${\displaystyle F}$puede o no ser en sí misma una σ-álgebra). De hecho, es la intersección de todas las σ-álgebras que contienen${\displaystyle F.}$(Véase la intersección de σ-álgebras más arriba). Esta σ-álgebra se denota${\displaystyle \sigma (F)}$y se denomina σ-álgebra generada por${\displaystyle F.}$

Si${\displaystyle F}$está vacío, entonces${\displaystyle \sigma (\varnothing )=\{\varnothing ,X\}.}$ De lo contrario${\displaystyle \sigma (F)}$consta de todos los subconjuntos de${\displaystyle X}$que se pueden hacer a partir de elementos de${\displaystyle F}$mediante un número contable de operaciones de complemento, unión e intersección.

Como ejemplo sencillo, consideremos el conjunto${\displaystyle X=\{1,2,3\}.}$Luego, el σ-álgebra generado por el único subconjunto${\displaystyle \{1\}}$es ${\displaystyle \sigma (\{1\})=\{\varnothing ,\{1\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}.}$ Por un abuso de notación , cuando una colección de subconjuntos contiene solo un elemento,${\displaystyle A,}$${\displaystyle \sigma (A)}$puede escribirse en lugar de${\displaystyle \sigma (\{A\});}$en el ejemplo anterior${\displaystyle \sigma (\{1\})}$en lugar de${\displaystyle \sigma (\{\{1\}\}).}$De hecho, usando${\displaystyle \sigma \left(A_{1},A_{2},\ldots \right)}$significar${\displaystyle \sigma \left(\left\{A_{1},A_{2},\ldots \right\}\right)}$También es bastante común.

Existen muchas familias de subconjuntos que generan σ-álgebras útiles. Algunas de ellas se presentan aquí.

Si${\displaystyle f}$es una función de un conjunto${\displaystyle X}$a un conjunto${\displaystyle Y}$y${\displaystyle B}$es un${\displaystyle \sigma }$-álgebra de subconjuntos de${\displaystyle Y,}$entonces el${\displaystyle \sigma }$-álgebra generada por la función${\displaystyle f,}$denotado por${\displaystyle \sigma (f),}$es la colección de todas las imágenes inversas${\displaystyle f^{-1}(S)}$de los conjuntos${\displaystyle S}$en${\displaystyle B.}$Eso es, $${\displaystyle \sigma (f)=\left\{f^{-1}(S)\,:\,S\in B\right\}.}$$

Una función${\displaystyle f}$de un conjunto${\displaystyle X}$a un conjunto${\displaystyle Y}$es medible con respecto a un álgebra σ${\displaystyle \Sigma }$de subconjuntos de${\displaystyle X}$si y solo si${\displaystyle \sigma (f)}$es un subconjunto de${\displaystyle \Sigma .}$

Una situación común, y se entiende por defecto si${\displaystyle B}$no se especifica explícitamente, es cuando${\displaystyle Y}$es un espacio métrico o topológico y${\displaystyle B}$es la colección de conjuntos Borel en${\displaystyle Y.}$

Si${\displaystyle f}$es una función de${\displaystyle X}$a${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$entonces${\displaystyle \sigma (f)}$se genera mediante la familia de subconjuntos que son imágenes inversas de intervalos/rectángulos en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}:}$$${\displaystyle \sigma (f)=\sigma \left(\left\{f^{-1}(\left[a_{1},b_{1}\right]\times \cdots \times \left[a_{n},b_{n}\right]):a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right).}$$

Una propiedad útil es la siguiente. Sea${\displaystyle \left(X,\Sigma _{X}\right)}$,${\displaystyle \left(S,\Sigma _{S}\right)}$y${\displaystyle \left(T,\Sigma _{T}\right)}$sean espacios medibles y dejen${\displaystyle f:X\to S}$y${\displaystyle g:X\to T}$que existan mapas medibles entre ellos. Si existe un tercer mapa medible${\displaystyle h:T\to S}$de tal manera que${\displaystyle f=h\circ g}$, entonces${\displaystyle \sigma (f)\subseteq \sigma (g).}$Además, si${\displaystyle S}$es contable o, más generalmente, si${\displaystyle \left(S,\Sigma _{S}\right)}$Si es un espacio de Borel estándar , entonces también se cumple lo contrario. ^{[ 6 ]} Un ejemplo de un espacio de Borel estándar sería cualquier espacio métrico completo separable, como${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, con sus conjuntos de Borel asociados. Otro ejemplo es${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$con el álgebra σ cilíndrica que se describe a continuación.

Un ejemplo importante es el álgebra de Borel sobre cualquier espacio topológico : el álgebra σ generada por los conjuntos abiertos (o, equivalentemente, por los conjuntos cerrados ). Esta álgebra σ no es, en general, el conjunto potencia completo. Para un ejemplo no trivial que no es un conjunto de Borel, véase el conjunto de Vitali o los conjuntos no Borel .

En el espacio euclidiano${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$Otra σ-álgebra es importante: la de todos los conjuntos medibles de Lebesgue . Esta σ-álgebra contiene más conjuntos que la σ-álgebra de Borel en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$y es la preferida en la teoría de la integración , ya que proporciona un espacio de medida completo .

Dejar${\displaystyle \left(X_{1},\Sigma _{1}\right)}$y${\displaystyle \left(X_{2},\Sigma _{2}\right)}$Sean dos espacios medibles. El σ-álgebra para el espacio producto correspondiente${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$se denomina σ-álgebra de producto y se define por $${\displaystyle \Sigma _{1}\times \Sigma _{2}=\sigma \left(\left\{B_{1}\times B_{2}:B_{1}\in \Sigma _{1},B_{2}\in \Sigma _{2}\right\}\right).}$$

Observa que${\displaystyle \{B_{1}\times B_{2}:B_{1}\in \Sigma _{1},B_{2}\in \Sigma _{2}\}}$es un sistema π.

El σ-álgebra de Borel para${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$se genera mediante rectángulos semiinfinitos y mediante rectángulos finitos. Por ejemplo, $${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})=\sigma \left(\left\{(-\infty ,b_{1}]\times \cdots \times (-\infty ,b_{n}]:b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right)=\sigma \left(\left\{\left(a_{1},b_{1}\right]\times \cdots \times \left(a_{n},b_{n}\right]:a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right).}$$

En cada uno de estos dos ejemplos, la familia generadora es un sistema π.

Suponer $${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }=\{f:f(t)\in \mathbb {R} ,\ t\in \mathbb {T} \}}$$

es un conjunto de funciones de valor real. Sea${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$denotamos los subconjuntos de Borel de${\displaystyle \mathbb {R} .}$Un subconjunto de cilindros de${\displaystyle X}$es un conjunto finitamente restringido definido como $${\displaystyle C_{t_{1},\dots ,t_{n}}(B_{1},\dots ,B_{n})=\left\{f\in X:f(t_{i})\in B_{i},1\leq i\leq n\right\}.}$$

Cada $${\displaystyle \left\{C_{t_{1},\dots ,t_{n}}\left(B_{1},\dots ,B_{n}\right):B_{i}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),1\leq i\leq n\right\}}$$ es un sistema π que genera un álgebra σ${\displaystyle \textstyle \Sigma _{t_{1},\dots ,t_{n}}.}$Luego la familia de subconjuntos $${\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{t_{i}\in \mathbb {T} ,i\leq n}\Sigma _{t_{1},\dots ,t_{n}}}$$ es un álgebra que genera el álgebra σ cilíndrica para${\displaystyle X.}$Esta σ-álgebra es una subálgebra del σ-álgebra de Borel determinada por la topología del producto de${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$restringido a${\displaystyle X.}$

Un caso especial importante es cuando${\displaystyle \mathbb {T} }$es el conjunto de los números naturales y${\displaystyle X}$es un conjunto de secuencias de valores reales. En este caso, basta con considerar los conjuntos de cilindros. $${\displaystyle C_{n}\left(B_{1},\dots ,B_{n}\right)=\left(B_{1}\times \cdots \times B_{n}\times \mathbb {R} ^{\infty }\right)\cap X=\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots \right)\in X:x_{i}\in B_{i},1\leq i\leq n\right\},}$$ para qué $${\displaystyle \Sigma _{n}=\sigma \left(\{C_{n}\left(B_{1},\dots ,B_{n}\right):B_{i}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),1\leq i\leq n\}\right)}$$ es una secuencia no decreciente de σ-álgebras.

El álgebra σ de bolas es el álgebra σ más pequeña que contiene todas las bolas abiertas (y/o cerradas). Nunca es mayor que el álgebra σ de Borel . Cabe destacar que ambas álgebras σ son iguales para espacios separables. Para algunos espacios no separables, ciertas aplicaciones son medibles mediante bolas, aunque no sean medibles mediante Borel, lo que hace que el uso del álgebra σ de bolas sea útil en el análisis de dichas aplicaciones. ^{[ 7 ]}

Suponer${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mathbb {P} )}$es un espacio de probabilidad . Si${\displaystyle \textstyle Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$es medible con respecto al σ-álgebra de Borel en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$entonces${\displaystyle Y}$se denomina variable aleatoria (${\displaystyle n=1}$) o vector aleatorio (${\displaystyle n>1}$). El álgebra σ generada por${\displaystyle Y}$es $${\displaystyle \sigma (Y)=\left\{Y^{-1}(A):A\in {\mathcal {B}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)\right\}.}$$

Suponer${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mathbb {P} )}$es un espacio de probabilidad y${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$es el conjunto de funciones de valor real en${\displaystyle \mathbb {T} .}$Si${\displaystyle \textstyle Y:\Omega \to X\subseteq \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$es medible con respecto al álgebra σ cilíndrica${\displaystyle \sigma \left({\mathcal {F}}_{X}\right)}$(ver arriba) para${\displaystyle X}$entonces${\displaystyle Y}$se denomina proceso estocástico o proceso aleatorio . El álgebra σ generada por${\displaystyle Y}$es $${\displaystyle \sigma (Y)=\left\{Y^{-1}(A):A\in \sigma \left({\mathcal {F}}_{X}\right)\right\}=\sigma \left(\left\{Y^{-1}(A):A\in {\mathcal {F}}_{X}\right\}\right),}$$ el álgebra σ generada por las imágenes inversas de conjuntos de cilindros.