Integral singular

En matemáticas , las integrales singulares son fundamentales para el análisis armónico y están íntimamente relacionadas con el estudio de las ecuaciones diferenciales parciales. En términos generales, una integral singular es un operador integral.

${\displaystyle T(f)(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy,}$

cuya función kernel${\displaystyle K:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$es singular a lo largo de la diagonal${\displaystyle x=y}$. Específicamente, la singularidad es tal que${\displaystyle |K(x,y)|}$es de tamaño${\displaystyle |xy|^{-n}}$asintóticamente como${\displaystyle |xy|\to 0}$Dado que tales integrales pueden no ser en general absolutamente integrables, una definición rigurosa debe definirlas como el límite de la integral sobre${\displaystyle |yx|\to \epsilon }$como${\displaystyle \epsilon \a 0}$, pero en la práctica esto es una cuestión técnica. Normalmente se requieren suposiciones adicionales para obtener resultados como su acotación en espacios Lp , por ejemplo${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$.

El operador integral singular arquetípico es la transformada de Hilbert.${\displaystyle H}$Se obtiene mediante convolución con respecto al núcleo.${\displaystyle K(x)=1/(\pi x)}$para${\displaystyle x}$en${\displaystyle \mathbb {R} }$. Más precisamente,

${\displaystyle H(f)(x)={\frac {1}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|xy|>\varepsilon }{\frac {1}{xy}}f(y)\,dy.}$

Los análogos de dimensiones superiores más sencillos de estos son las transformaciones de Riesz , que reemplazan${\displaystyle K(x)=1/x}$con

${\displaystyle K_{i}(x)={\frac {x_{i}}{|x|^{n+1}}}}$

dónde${\displaystyle i=1,...,n}$y ${\displaystyle x_{i}}$es el${\displaystyle i}$-ésimo componente de${\displaystyle x}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Todos estos operadores están acotados en${\displaystyle L^{p}}$y satisfacer el tipo débil${\displaystyle (1,1)}$estimaciones. ^{[ 1 ]}

Una integral singular de tipo convolución es un operador${\displaystyle T}$definido por convolución con un núcleo${\displaystyle K}$que sea localmente integrable en${\displaystyle R^{n}\setminus \{0\}}$, en el sentido de que

Supongamos que el núcleo satisface:

1. La condición de tamaño en la transformada de Fourier de${\displaystyle K}$

   ${\displaystyle {\hat {K}}\in L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$

2. La condición de suavidad : para algunos${\displaystyle C>0}$,

   ${\displaystyle \sup _{y\neq 0}\int _{|x|>2|y|}|K(xy)-K(x)|\,dx\leq C.}$

Entonces se puede demostrar que${\displaystyle T}$está delimitado por${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$y satisface un tipo débil${\displaystyle (1,1)}$estimar.

La propiedad 1 es necesaria para asegurar que la convolución ( 1 ) con la distribución templada pv ${\displaystyle K}$dada por la integral del valor principal

${\displaystyle \operatorname {pv} \,\,K[\phi ]=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\epsilon }\phi (x)K(x)\,dx}$

es un multiplicador de Fourier bien definido en${\displaystyle L^{2}}$Ninguna de las propiedades 1 o 2 es necesariamente fácil de verificar, y existen diversas condiciones suficientes. Normalmente, en las solicitudes, también se incluye una condición de cancelación .

${\displaystyle \int _{R_{1}<|x|<R_{2}}K(x)\,dx=0,\ \forall R_{1},R_{2}>0}$

lo cual es bastante fácil de comprobar. Es automático, por ejemplo, si${\displaystyle K}$es una función impar . Si, además, se asume 2 y la siguiente condición de tamaño

${\displaystyle \sup _{R>0}\int _{R<|x|<2R}|K(x)|\,dx\leq C,}$

Entonces se puede demostrar que 1. se deduce.

La condición de suavidad 2 también suele ser difícil de comprobar en principio, la siguiente condición suficiente de un núcleo${\displaystyle K}$se puede utilizar:

• ${\displaystyle K\in C^{1}(\mathbf {R} ^{n}\setminus \{0\})}$
• ${\displaystyle |\nabla K(x)|\leq {\frac {C}{|x|^{n+1}}}}$

Obsérvese que estas condiciones se satisfacen para las transformadas de Hilbert y Riesz, por lo que este resultado es una extensión de esos resultados. ^{[ 2 ]}

Estos son operadores aún más generales. Sin embargo, dado que nuestras suposiciones son tan débiles, no es necesariamente cierto que estos operadores estén acotados en${\displaystyle L^{p}}$.

• Operadores integrales singulares en curvas cerradas

• Calderón, AP ; Zygmund, A. (1952), "Sobre la existencia de ciertas integrales singulares", Acta Mathematica , 88 (1): 85–139 , doi : 10.1007/BF02392130 , ISSN 0001-5962 , MR 0052553 , Zbl 0047.10201   .
• Calderón, AP ; Zygmund, A. (1956), "Sobre integrales singulares", American Journal of Mathematics , 78 (2), The Johns Hopkins University Press: 289–309 , doi : 10.2307/2372517 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2372517 , MR 0084633 , Zbl 0072.11501    .
• Coifman, Ronald ; Meyer, Yves (1997), Wavelets: Calderón-Zygmund and multilinear operators , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol.  48, Cambridge University Press, pp.  xx+315, ISBN 0-521-42001-6, MR 1456993 , Zbl 0916.42023  .
• Mikhlin, Solomon G. (1948), "Ecuaciones integrales singulares" , UMN , 3 (25): 29–112 , MR 0027429 (en ruso ).
• Mikhlin, Solomon G. (1965), Integrales singulares multidimensionales y ecuaciones integrales , Serie internacional de monografías en matemáticas puras y aplicadas, vol.  83, Oxford – Londres – Edimburgo – Nueva York – París – Fráncfort : Pergamon Press , pp.  XII+255, MR 0185399 , Zbl 0129.07701  .
• Mikhlin, Solomon G.; Prössdorf, Siegfried (1986), Operadores integrales singulares , Berlín – Heidelberg – Nueva York : Springer Verlag , pág.  528, ISBN 0-387-15967-3, MR 0867687 , Zbl 0612.47024  (Edición europea: ISBN) 3-540-15967-3).
• Stein, Elias (1970), Integrales singulares y propiedades de diferenciabilidad de funciones , Princeton Mathematical Series, vol.  30, Princeton, NJ : Princeton University Press , pp.  XIV+287, ISBN 0-691-08079-8, MR 0290095 , Zbl 0207.13501  

• Stein, Elias M. (octubre de 1998). "Integrales singulares: los roles de Calderón y Zygmund" (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 45 (9): 1130– 1140.