Producto de tapa

En topología algebraica, el producto cap es un método para adjuntar una cadena de grado${\displaystyle p}$con una cocadena de grado${\displaystyle q}$, de tal manera que${\displaystyle q\leq p}$, para formar una cadena compuesta de grado${\displaystyle pq}$Fue introducido por Eduard Čech en 1936, e independientemente por Hassler Whitney en 1938.

Sea X un espacio topológico y R un anillo de coeficientes. El producto cap es una aplicación bilineal en homología y cohomología singulares .

${\displaystyle \frown \;:H_{p}(X;R)\times H^{q}(X;R)\rightarrow H_{pq}(X;R).}$

definido por la contracción de una cadena singular${\displaystyle \sigma$ :\Delta ^{p}\rightarrow X} con una cocadena singular${\displaystyle \psi \in C^{q}(X;R),}$mediante la fórmula:

${\displaystyle \sigma \frown \psi =\psi (\sigma |_{[v_{0},\ldots ,v_{q}]})\sigma |_{[v_{q},\ldots ,v_{p}]}.}$

Aquí, la notación${\displaystyle \sigma |_{[v_{0},\ldots,v_{q}]}}$indica la restricción del mapa simplicial${\displaystyle \sigma }$a su cara abarcada por los vectores de la base.

En analogía con la interpretación del producto copa en términos de la fórmula de Künneth , podemos explicar la existencia del producto tapa de la siguiente manera. Usando la aproximación CW podemos suponer que${\displaystyle X}$es un complejo CW y${\displaystyle C_{\bullet }(X)}$(y${\displaystyle C^{\bullet }(X)}$) es el complejo de sus cadenas celulares (o cocadenas, respectivamente). Consideremos entonces la composición $${\displaystyle C_{\bullet }(X)\otimes C^{\bullet }(X){\overset {\Delta _{*}\otimes \mathrm {Id} }{\longrightarrow }}C_{\bullet }(X)\otimes C_{\bullet }(X)\otimes C^{\bullet }(X){\overset {\mathrm {Id} \otimes \varepsilon }{\longrightarrow }}C_{\bullet }(X)}$$ donde estamos tomando productos tensoriales de complejos de cadena ,${\displaystyle \Delta \colon X\to X\times X}$es el mapa diagonal que induce el mapa $${\displaystyle \Delta _{*}\colon C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(X\times X)\cong C_{\bullet }(X)\otimes C_{\bullet }(X)}$$ en el complejo de cadena, y${\displaystyle \varepsilon \colon C_{p}(X)\otimes C^{q}(X)\to \mathbb {Z} }$es el mapa de evaluación (siempre 0 excepto por${\displaystyle p=q}$).

Esta composición pasa luego al cociente para definir el producto capital.${\displaystyle \frown \colon H_{\bullet }(X)\times H^{\bullet }(X)\to H_{\bullet }(X)}$y observando detenidamente la composición anterior se aprecia que, en efecto, adopta la forma de mapas.${\displaystyle \frown \colon H_{p}(X)\times H^{q}(X)\to H_{pq}(X)}$, que siempre es cero para${\displaystyle p<q}$.

Por cualquier punto${\displaystyle x}$en${\displaystyle M}$, tenemos la secuencia larga exacta en homología (con coeficientes en${\displaystyle R}$) del par${\displaystyle (M,Mx)}$(Véase Homología relativa )

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(M-{x};R){\stackrel {i_{*}}{\to }}H_{n}(M;R){\stackrel {j_{*}}{\to }}H_{n}(M,M-{x};R){\stackrel {\partial }{\to }}H_{n-1}(M-{x};R)\to \cdots .}$

Un elemento${\displaystyle [M]}$de${\displaystyle H_{n}(M;R)}$se denomina la clase fundamental para${\displaystyle M}$si${\displaystyle j_{*}([M])}$es un generador de${\displaystyle H_{n}(M,M-{x};R)}$. Una clase fundamental de${\displaystyle M}$existe si${\displaystyle M}$es cerrado y R-orientable . De hecho, si${\displaystyle M}$es un sistema cerrado, conectado y${\displaystyle R}$-variedad orientable, el mapa${\displaystyle H_{n}(M;R){\stackrel {j_{*}}{\to }}H_{n}(M,M-{x};R)}$es un isomorfismo para todos${\displaystyle x}$en${\displaystyle R}$y por lo tanto, podemos elegir cualquier generador de${\displaystyle H_{n}(M;R)}$como la clase fundamental.

Para un cerrado${\displaystyle R}$-variedad n-orientable${\displaystyle M}$con clase fundamental${\displaystyle [M]}$en${\displaystyle H_{n}(M;R)}$(que podemos elegir que sea cualquier generador de${\displaystyle H_{n}(M;R)}$), el mapa de productos de la tapa$${\displaystyle H^{k}(M;R)\to H_{nk}(M;R),\alpha \mapsto [M]\frown \alpha }$$ es un isomorfismo para todos${\displaystyle k}$Este resultado se conoce popularmente como dualidad de Poincaré .

Si en la discusión anterior se reemplaza${\displaystyle X\times X}$por${\displaystyle X\times Y}$, la construcción puede ser (parcialmente) replicada a partir de las asignaciones $${\displaystyle C_{\bullet }(X\times Y)\otimes C^{\bullet }(Y)\cong C_{\bullet }(X)\otimes C_{\bullet }(Y)\otimes C^{\bullet }(Y){\overset {\mathrm {Id} \otimes \varepsilon }{\longrightarrow }}C_{\bullet }(X)}$$ y $${\displaystyle C^{\bullet }(X\times Y)\otimes C_{\bullet }(Y)\cong C^{\bullet }(X)\otimes C^{\bullet }(Y)\otimes C_{\bullet }(Y){\overset {\mathrm {Id} \otimes \varepsilon }{\longrightarrow }}C^{\bullet }(X)}$$

para obtener, respectivamente, productos inclinados${\displaystyle /}$: $${\displaystyle H_{p}(X\times Y;R)\otimes H^{q}(Y;R)\rightarrow H_{pq}(X;R)}$$y $${\displaystyle H^{p}(X\times Y;R)\otimes H_{q}(Y;R)\rightarrow H^{pq}(X;R).}$$

En caso${\displaystyle X=Y}$, el primero está relacionado con el producto capital mediante el mapa diagonal:${\displaystyle \Delta _{*}(a)/\phi =a\frown \phi }$.

Estos "productos" se parecen en cierto modo más a la división que a la multiplicación, lo cual se refleja en su notación.

El límite de un producto capitalizado viene dado por  :

${\displaystyle \partial (\sigma \frown \psi )=(-1)^{q}(\partial \sigma \frown \psi -\sigma \frown \delta \psi ).}$

Dado un mapa f, los mapas inducidos satisfacen  :

${\displaystyle f_{*}(\sigma )\frown \psi =f_{*}(\sigma \frown f^{*}(\psi )).}$

El producto de tapa y taza está relacionado por  :

${\displaystyle \psi (\sigma \frown \varphi )=(\varphi \smile \psi )(\sigma )}$

dónde

${\displaystyle \sigma$ :\Delta ^{p+q}\rightarrow X} , ${\displaystyle \psi \in C^{q}(X;R)}$y${\displaystyle \varphi \in C^{p}(X;R).}$

Si${\displaystyle \sigma }$se permite que sea de mayor grado que${\displaystyle p+q}$La última identidad adopta una forma más general.

${\displaystyle (\sigma \frown \varphi )\frown \psi =\sigma \frown (\varphi \smile \psi )}$

lo cual hace${\displaystyle H_{\ast }(X;R)}$en una derecha${\displaystyle H^{\ast }(X;R)}$- módulo .

• Producto de taza
• Dualidad de Poincaré
• Homología singular
• Teoría de la homología

• Hatcher, A. , Topología algebraica , Cambridge University Press (2002) ISBN 0-521-79540-0. Discusión detallada de las teorías de homología para complejos simpliciales y variedades, homología singular, etc.
• May JP (1999). Un curso conciso de topología algebraica (PDF) . University of Chicago Press . Archivado (PDF) del original el 9 de octubre de 2022. Recuperado el 27 de septiembre de 2008 .La sección 2.7 proporciona una presentación en teoría de categorías del teorema como un colímite en la categoría de grupoides.
• producto inclinado en el laboratorio n
• La dualidad de Poincaré en el Laboratorio n