Hispanopedia WikiEn matemáticas , la conjetura de Smith establece que si f es un difeomorfismo de la 3-esfera de orden finito , entonces el conjunto de puntos fijos de f no puede ser un nudo no trivial .
Paul A. Smith (1939, observación después del teorema 4) demostró que un difeomorfismo no trivial que preserva la orientación de orden finito con puntos fijos debe tener un conjunto de puntos fijos igual a un círculo, y preguntó en (Eilenberg 1949, Problema 36) si el conjunto de puntos fijos podría anudarse. Friedhelm Waldhausen (1969) demostró la conjetura de Smith para el caso especial de difeomorfismos de orden 2 (y por lo tanto cualquier orden par). La prueba del caso general fue descrita por John Morgan y Hyman Bass (1984) y dependió de varios avances importantes en la teoría de 3-variedades , en particular el trabajo de William Thurston sobre estructuras hiperbólicas en 3-variedades, y los resultados de William Meeks y Shing-Tung Yau sobre superficies mínimas en 3-variedades, con alguna ayuda adicional de Bass, Cameron Gordon , Peter Shalen y Rick Litherland.
Deane Montgomery y Leo Zippin (1954) dieron un ejemplo de una involución continua de la 3-esfera cuyo conjunto de puntos fijos es un círculo muy encajado, por lo que la conjetura de Smith es falsa en la categoría topológica (en lugar de la suave o PL). Charles Giffen (1966) demostró que el análogo de la conjetura de Smith en dimensiones superiores es falso: el conjunto de puntos fijos de un difeomorfismo periódico de una esfera de dimensión al menos 4 puede ser una esfera anudada de codimensión 2.
Véase también
Referencias
- Eilenberg, Samuel (1949), "Sobre los problemas de la topología", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 50 (2): 247–260, doi :10.2307/1969448, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969448, MR 0030189
- Giffen, Charles H. (1966), "La conjetura generalizada de Smith", American Journal of Mathematics , 88 (1): 187–198, doi :10.2307/2373054, ISSN 0002-9327, JSTOR 2373054, MR 0198462
- Montgomery, Deane ; Zippin, Leo (1954), "Ejemplos de grupos de transformación", Actas de la American Mathematical Society , 5 (3): 460–465, doi : 10.2307/2031959 , ISSN 0002-9939, JSTOR 2031959, MR 0062436
- Morgan, John W. ; Bass, Hyman , eds. (1984), La conjetura de Smith, Matemáticas puras y aplicadas, vol. 112, Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-506980-9, Sr. 0758459
- Smith, Paul A. (1939), "Transformaciones de período finito. II", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 40 (3): 690–711, Bibcode :1939AnMat..40..690S, doi :10.2307/1968950, ISSN 0003-486X, JSTOR 1968950, MR 0000177
- Waldhausen, Friedhelm (1969), "Über Involutionen der 3-Sphäre", Topología , 8 : 81–91, doi : 10.1016/0040-9383(69)90033-0 , ISSN 0040-9383, SEÑOR 0236916