Modelo Solovay

En el campo matemático de la teoría de conjuntos , el modelo de Solovay es un modelo construido por Robert M. Solovay ^{[ 1 ]} en el que se cumplen todos los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF), excepto el axioma de elección , pero en el que todos los conjuntos de números reales son medibles de Lebesgue . La construcción se basa en la existencia de un cardinal inaccesible .

De esta forma, Solovay demostró que en la prueba de la existencia de un conjunto no mensurable a partir de ZFC (teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel más el axioma de elección), el axioma de elección es esencial, al menos siempre que la existencia de un cardinal inaccesible sea consistente con ZFC.

ZF son las siglas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, y DC, del axioma de elección dependiente .

El teorema de Solovay es el siguiente. Suponiendo la existencia de un cardinal inaccesible, existe un modelo interno de ZF + DC de una extensión forzante adecuada V [ G ] tal que todo conjunto de números reales es medible según Lebesgue, tiene la propiedad de conjunto perfecto y tiene la propiedad de Baire .

Solovay construyó su modelo en dos pasos, comenzando con un modelo M de ZFC que contiene un cardinal inaccesible κ . ^{[ 1 ]}

El primer paso consiste en realizar un colapso de Lévy M [ G ] de M añadiendo un conjunto genérico G para la noción de forzamiento que colapsa todos los cardinales menores que κ a ω. Entonces, M [ G ] es un modelo de ZFC con la propiedad de que todo conjunto de números reales definible sobre una sucesión numerable de ordinales es medible según Lebesgue y posee las propiedades de Baire y de conjunto perfecto. (Esto incluye todos los conjuntos definibles y proyectivos de números reales; sin embargo, por razones relacionadas con el teorema de indefinibilidad de Tarski, la noción de un conjunto definible de números reales no puede definirse en el lenguaje de la teoría de conjuntos, mientras que la noción de un conjunto de números reales definible sobre una sucesión numerable de ordinales sí puede).

El segundo paso consiste en construir el modelo de Solovay N como la clase de todos los conjuntos en M [ G ] que son hereditariamente definibles sobre una sucesión numerable de ordinales. El modelo N es un modelo interno de M [ G ] que satisface ZF + DC tal que todo conjunto de números reales es medible según Lebesgue, posee la propiedad de conjunto perfecto y la propiedad de Baire. La demostración de esto utiliza el hecho de que todo número real en M [ G ] es definible sobre una sucesión numerable de ordinales, y por lo tanto N y M [ G ] tienen los mismos números reales.

En lugar de utilizar el modelo N de Solovay , también se puede utilizar el modelo interno más pequeño L ( R ) de M [ G ], que consiste en el cierre construible de los números reales, que tiene propiedades similares.

Solovay sugirió en su artículo que el uso de un cardinal inaccesible podría no ser necesario. Varios autores demostraron versiones más débiles del resultado de Solovay sin asumir la existencia de un cardinal inaccesible. En particular, Krivine (1969) ^{[ 2 ]} mostró que había un modelo de ZFC en el que todo conjunto de números reales definible por orden es medible, Solovay mostró que hay un modelo de ZF + DC en el que hay alguna extensión invariante por traslación de la medida de Lebesgue a todos los subconjuntos de los números reales, ^{[ 1 ]} y Shelah (1984) ^{[ 3 ]} mostró que hay un modelo en el que todos los conjuntos de números reales tienen la propiedad de Baire (de modo que el cardinal inaccesible es, de hecho, innecesario en este caso).

El caso de la propiedad de conjunto perfecto fue resuelto por Specker (1957), ^{[ 4 ]} quien demostró (en ZF) que si todo conjunto de números reales posee la propiedad de conjunto perfecto y el primer cardinal no numerable ℵ₁ _es regular, entonces ℵ₁ _es inaccesible en el universo construible . Combinado con el resultado de Solovay, esto demuestra que las afirmaciones "Existe un cardinal inaccesible" y "ℵ₁ _es regular + Todo conjunto de números reales posee la propiedad de conjunto perfecto" son equiconsistentes sobre ZF. ^{[ 5 ] pág. 371}

Finalmente, Shelah (1984) ^{[ 3 ]} demostró que la consistencia de un cardinal inaccesible también es necesaria para construir un modelo en el que todos los conjuntos de reales sean medibles de Lebesgue. Más precisamente, demostró que si todo conjunto Σ ¹ ₃ de reales es medible, entonces el primer cardinal no numerable ℵ ₁ es inaccesible en el universo construible, de modo que la condición sobre un cardinal inaccesible no puede eliminarse del teorema de Solovay. Shelah también demostró que la condición Σ ¹ ₃ es cercana a la mejor posible al construir un modelo (sin usar un cardinal inaccesible) en el que todos los conjuntos Δ ¹ ₃ de reales sean medibles. Véanse Raisonnier (1984) , ^{[ 6 ]} Stern (1985) y Miller (1989) ^{[ 7 ]} para exposiciones del resultado de Shelah.

Shelah y Woodin (1990) ^{[ 8 ]} demostraron que si existen cardinales supercompactos, entonces todo conjunto de números reales en L ( R ), los conjuntos construibles generados por los reales, es medible según Lebesgue y posee la propiedad de Baire; esto incluye todo conjunto de números reales "razonablemente definible". Posteriormente se demostró que el uso de un cardinal supercompacto podía debilitarse significativamente, limitándose a infinitos cardinales de Woodin con un cardinal medible por encima de todos ellos.