Conjetura de geometrización

En matemáticas, la conjetura de geometrización de Thurston (ahora un teorema ) afirma que cada uno de ciertos espacios topológicos tridimensionales posee una estructura geométrica única que puede asociarse a él. Es un análogo del teorema de uniformización para superficies bidimensionales , que establece que a toda superficie de Riemann simplemente conexa se le puede asignar una de tres geometrías ( euclidiana , esférica o hiperbólica ).

En tres dimensiones, no siempre es posible asignar una única geometría a todo un espacio topológico. En cambio, la conjetura de geometrización afirma que toda 3-variedad cerrada puede descomponerse de forma canónica en partes, cada una con uno de los ocho tipos de estructura geométrica. Esta conjetura fue propuesta por William Thurston ( 1982 ) como parte de sus 24 preguntas , e implica otras conjeturas, como la conjetura de Poincaré y la conjetura de eliptización de Thurston .

El teorema de hiperbolización de Thurston implica que las variedades de Haken satisfacen la conjetura de geometrización. Thurston anunció una demostración en la década de 1980 y, desde entonces, se han publicado varias demostraciones completas.

En 2003, Grigori Perelman anunció una demostración de la conjetura de geometrización completa utilizando el método de flujo de Ricci con cirugía en dos artículos publicados en el servidor de preimpresiones arxiv.org. Varios grupos independientes estudiaron los trabajos de Perelman, los cuales dieron lugar a libros y manuscritos en línea que completaban los detalles de sus argumentos. La verificación se completó prácticamente a tiempo para que Perelman recibiera la Medalla Fields en 2006 por su trabajo, y en 2010 el Instituto Clay de Matemáticas le otorgó su premio de un millón de dólares por resolver la conjetura de Poincaré, aunque Perelman rechazó ambos galardones.

La conjetura de Poincaré y la conjetura de la forma esférica del espacio son corolarios de la conjetura de geometrización, aunque existen demostraciones más cortas de la primera que no conducen a la conjetura de geometrización.

La conjetura

Una variedad tridimensional se denomina cerrada si es compacta , sin "perforaciones" ni "puntos finales faltantes", y no tiene frontera ("arista").

Toda 3-variedad cerrada tiene una descomposición prima : esto significa que es la suma conexa ("un pegado") de 3-variedades primas . ^{[ a ]} Esto reduce gran parte del estudio de las 3-variedades al caso de las 3-variedades primas: aquellas que no pueden escribirse como una suma conexa no trivial.

He aquí una formulación de la conjetura de Thurston:

Toda 3-variedad cerrada prima orientada puede cortarse a lo largo de 2- toros , de modo que el interior de cada una de las variedades resultantes tenga una estructura geométrica con volumen finito.

Existen ocho posibles estructuras geométricas en tres dimensiones. Hay una única forma mínima de dividir una 3-variedad irreducible orientada a lo largo de toros en piezas que son variedades de Seifert o atoroidales , denominada descomposición JSJ , que no es exactamente igual a la descomposición de la conjetura de geometrización, ya que algunas de las piezas en la descomposición JSJ podrían no tener estructuras geométricas de volumen finito. (Por ejemplo, el toro de mapeo de un mapeo de Anosov de un toro tiene una estructura solv de volumen finito , pero su descomposición JSJ lo divide a lo largo de un toro para producir un producto de un toro y un intervalo unitario, y el interior de este no tiene una estructura geométrica de volumen finito).

Para variedades no orientadas, la forma más sencilla de enunciar una conjetura de geometrización es tomar primero el recubrimiento doble orientado . También es posible trabajar directamente con variedades no orientables, pero esto conlleva algunas complicaciones adicionales: puede ser necesario cortar a lo largo de planos proyectivos y botellas de Klein , así como esferas y toros, y las variedades con un componente de frontera de plano proyectivo generalmente no tienen estructura geométrica.

En dos dimensiones, toda superficie cerrada posee una estructura geométrica que consiste en una ^métricacon ^curvaturaconstante ; no es necesario dividir la variedad previamente. Específicamente, toda superficie cerrada es difeomorfa a un cociente de S² , E² o ^H² . ^[¹^]

Las ocho geometrías de Thurston

Una geometría modelo es una variedad lisa simplemente conexa X junto con una acción transitiva de un grupo de Lie G sobre X con estabilizadores compactos.

Una geometría modelo se denomina máxima si G es máxima entre grupos que actúan de forma suave y transitiva sobre X con estabilizadores compactos. En ocasiones, esta condición se incluye en la definición de una geometría modelo.

Una estructura geométrica en una variedad M es un difeomorfismo de M a X /Γ para alguna geometría modelo X , donde Γ es un subgrupo discreto de G que actúa libremente sobre X ; este es un caso especial de una estructura completa ( G , X ) . Si una variedad dada admite una estructura geométrica, entonces admite una cuyo modelo es maximal.

Una geometría modelo tridimensional X es relevante para la conjetura de geometrización si es maximal y si existe al menos una variedad compacta con una estructura geométrica modelada sobre X. Thurston clasificó las ocho geometrías modelo que satisfacen estas condiciones; se enumeran a continuación y a veces se las denomina geometrías de Thurston . (También existen innumerables geometrías modelo sin cocientes compactos).

Existe cierta conexión con los grupos de Bianchi : los grupos de Lie tridimensionales. La mayoría de las geometrías de Thurston pueden representarse como una métrica invariante por la izquierda en un grupo de Bianchi. Sin embargo, S² × R no puede ser representada ^de esta manera; el espacio euclidiano corresponde a dos grupos de Bianchi diferentes, y existe un número incontable de grupos de Bianchi no unimodulares resolubles , la mayoría de los cuales dan lugar a geometrías modelo sin representantes compactos.

Geometría esférica S ³

El estabilizador puntual es O(3, R ), y el grupo G es el grupo de Lie de 6 dimensiones O(4, R ), con 2 componentes. Las variedades correspondientes son exactamente las 3-variedades cerradas con grupo fundamental finito . Ejemplos incluyen la 3-esfera , la esfera de homología de Poincaré , espacios Lens . Esta geometría puede modelarse como una métrica invariante izquierda en el grupo de Bianchi de tipo IX . Las variedades con esta geometría son todas compactas, orientables y tienen la estructura de un espacio fibrado de Seifert (a menudo de varias maneras). La lista completa de tales variedades se da en el artículo sobre 3-variedades esféricas . Bajo el flujo de Ricci, las variedades con esta geometría colapsan a un punto en tiempo finito.

Geometría euclidiana E ³

El estabilizador puntual es O(3, R ), y el grupo G es el grupo de Lie de 6 dimensiones R ³ × O(3, R ), con 2 componentes. Ejemplos son el 3-toro , y más generalmente el toro de mapeo de un automorfismo de orden finito del 2-toro; véase fibrado de toro . Hay exactamente 10 3-variedades cerradas finitas con esta geometría, 6 orientables y 4 no orientables. Esta geometría puede modelarse como una métrica invariante por la izquierda en los grupos de Bianchi de tipo I o VII _0. Las variedades de volumen finito con esta geometría son todas compactas y tienen la estructura de un espacio fibrado de Seifert (a veces de dos maneras). La lista completa de tales variedades se da en el artículo sobre espacios fibrados de Seifert . Bajo el flujo de Ricci, las variedades con geometría euclidiana permanecen invariantes.

Geometría hiperbólica H ³

El estabilizador puntual es O(3, R ), y el grupo G es el grupo de Lie de 6 dimensiones O ⁺ (1, 3, R ), con 2 componentes. Hay una enorme cantidad de ejemplos de estos, y su clasificación no se comprende completamente. El ejemplo con el volumen más pequeño es la variedad de Weeks . Otros ejemplos son el espacio de Seifert-Weber , o cirugías de Dehn "suficientemente complicadas" en enlaces , o la mayoría de las variedades de Haken . La conjetura de geometrización implica que una 3-variedad cerrada es hiperbólica si y solo si es irreducible, atoroidal y tiene un grupo fundamental infinito. Esta geometría puede modelarse como una métrica invariante izquierda en el grupo de Bianchi de tipo V o VII _h≠0 . Bajo el flujo de Ricci, las variedades con geometría hiperbólica se expanden.

La geometría de S ² × R

El estabilizador puntual es O(2, R ) × Z /2 Z , y el grupo G es O(3, R ) × R × Z /2 Z , con 4 componentes. Las cuatro variedades de volumen finito con esta geometría son: S ² × S ¹ , el toro de mapeo del mapa antípoda de S ² , la suma conexa de dos copias del espacio proyectivo tridimensional, y el producto de S ¹ con el espacio proyectivo bidimensional. Los dos primeros son toros de mapeo del mapa identidad y mapa antípoda de la 2-esfera, y son los únicos ejemplos de 3-variedades que son primas pero no irreducibles. El tercero es el único ejemplo de una suma conexa no trivial con una estructura geométrica. Esta es la única geometría modelo que no puede realizarse como una métrica invariante por la izquierda en un grupo de Lie tridimensional. Las variedades de volumen finito con esta geometría son todas compactas y tienen la estructura de un espacio fibrado de Seifert (a menudo de varias maneras). Bajo flujo de Ricci normalizado, las variedades con esta geometría convergen a una variedad unidimensional.

La geometría de H ² × R

El estabilizador puntual es O(2, R ) × Z /2 Z , y el grupo G es O ⁺ (1, 2, R ) × R × Z /2 Z , con 4 componentes. Ejemplos incluyen el producto de una superficie hiperbólica con un círculo, o más generalmente el toro de mapeo de una isometría de una superficie hiperbólica. Las variedades de volumen finito con esta geometría tienen la estructura de un espacio fibrado de Seifert si son orientables. (Si no son orientables, la fibración natural por círculos no es necesariamente una fibración de Seifert: el problema es que algunas fibras pueden "invertir la orientación"; en otras palabras, sus vecindarios parecen botellas de Klein sólidas fibradas en lugar de toros sólidos. ^{[ 2 ]} ) La clasificación de tales variedades (orientadas) se da en el artículo sobre espacios fibrados de Seifert . Esta geometría puede modelarse como una métrica invariante izquierda en el grupo de Bianchi de tipo III . Bajo flujo de Ricci normalizado, las variedades con esta geometría convergen a una variedad bidimensional.

La geometría de la cubierta universal de SL(2, R)

La cubierta universal de SL(2, R ) se denota ${\widetilde {\rm {SL}}}(2,\mathbf {R} )$ . Se extiende sobre H ² , y el espacio a veces se denomina "H ² × R retorcido". El grupo G tiene 2 componentes. Su componente identidad tiene la estructura $(\mathbf {R} \times {\widetilde {\rm {SL}}}_{2}(\mathbf {R} ))/\mathbf {Z}$ . El estabilizador puntual es O(2, R ).

Ejemplos de estas variedades incluyen: la variedad de vectores unitarios del fibrado tangente de una superficie hiperbólica y, más generalmente, las esferas de homología de Brieskorn (excepto la 3-esfera y el espacio dodecaédrico de Poincaré ). Esta geometría puede modelarse como una métrica invariante por la izquierda en el grupo de Bianchi de tipo VIII o III . Las variedades de volumen finito con esta geometría son orientables y tienen la estructura de un espacio fibrado de Seifert . La clasificación de dichas variedades se presenta en el artículo sobre espacios fibrados de Seifert . Bajo flujo de Ricci normalizado, las variedades con esta geometría convergen a una variedad bidimensional.

Geometría nula

Esta fibra sobre E ² , y por eso a veces se la conoce como " E ² × R retorcido". Es la geometría del grupo de Heisenberg . El estabilizador puntual es O(2, R ). El grupo G tiene 2 componentes, y es un producto semidirecto del grupo de Heisenberg tridimensional por el grupo O(2, R ) de isometrías de un círculo. Las variedades compactas con esta geometría incluyen el toro de mapeo de una torsión de Dehn de un 2-toro, o el cociente del grupo de Heisenberg por el "grupo de Heisenberg integral". Esta geometría puede modelarse como una métrica invariante izquierda en el grupo de Bianchi de tipo II . Las variedades de volumen finito con esta geometría son compactas y orientables y tienen la estructura de un espacio fibrado de Seifert . La clasificación de tales variedades se da en el artículo sobre espacios fibrados de Seifert . Bajo flujo de Ricci normalizado, las variedades compactas con esta geometría convergen a R ² con la métrica plana.

Resolver geometría

Esta geometría (también llamada geometría Solv ) se fibra sobre la línea con fibra el plano, y es la geometría del componente identidad del grupo G. El estabilizador puntual es el grupo diedral de orden 8. El grupo G tiene 8 componentes, y es el grupo de aplicaciones del espacio de Minkowski bidimensional a sí mismo que son isometrías o multiplican la métrica por −1. El componente identidad tiene un subgrupo normal R ² con cociente R , donde R actúa sobre R ² con 2 autoespacios (reales), con autovalores reales distintos de producto 1. Este es el grupo de Bianchi de tipo VI ₀ y la geometría puede modelarse como una métrica invariante izquierda en este grupo. Todas las variedades de volumen finito con geometría solv son compactas. Las variedades compactas con geometría solv son o bien el toro de mapeo de un mapeo de Anosov del 2-toro (dicho mapeo es un automorfismo del 2-toro dado por una matriz invertible de 2 por 2 cuyos valores propios son reales y distintos, como $\left({\begin{array}{*{20}c}2&1\\1&1\\\end{array}}\right)$ ), o cocientes de estos por grupos de orden como máximo 8. Los autovalores del automorfismo del toro generan un orden de un campo cuadrático real, y las variedades solv pueden clasificarse en términos de las unidades y clases de ideales de este orden. ^{[ 3 ]} Bajo el flujo de Ricci normalizado, las variedades compactas con esta geometría convergen (bastante lentamente) a R ¹ .

Unicidad

Una 3-variedad cerrada tiene una estructura geométrica de como máximo uno de los 8 tipos anteriores, pero las 3-variedades no compactas de volumen finito pueden tener ocasionalmente más de un tipo de estructura geométrica. (Sin embargo, una variedad puede tener muchas estructuras geométricas diferentes del mismo tipo; por ejemplo, una superficie de género al menos 2 tiene un continuo de diferentes métricas hiperbólicas). Más precisamente, si M es una variedad con una estructura geométrica de volumen finito, entonces el tipo de estructura geométrica está casi determinado de la siguiente manera, en términos del grupo fundamental π ₁ ( M ):

Si π ₁ ( M ) es finito, entonces la estructura geométrica en M es esférica y M es compacto.
Si π ₁ ( M ) es virtualmente cíclico pero no finito, entonces la estructura geométrica en M es S ² × R , y M es compacto.
Si π ₁ ( M ) es virtualmente abeliano pero no virtualmente cíclico, entonces la estructura geométrica en M es euclidiana y M es compacto.
Si π ₁ ( M ) es virtualmente nilpotente pero no virtualmente abeliano, entonces la estructura geométrica en M es geometría nula y M es compacto.
Si π ₁ ( M ) es virtualmente soluble pero no virtualmente nilpotente, entonces la estructura geométrica en M es geometría soluble y M es compacto.
Si π ₁ ( M ) tiene un subgrupo cíclico normal infinito pero no es virtualmente resoluble, entonces la estructura geométrica en M es H ² × R o el recubrimiento universal de SL(2, R ). La variedad M puede ser compacta o no compacta. Si es compacta, entonces las dos geometrías se pueden distinguir según si π ₁ ( M ) tiene o no un subgrupo de índice finito que se descompone como un producto semidirecto del subgrupo cíclico normal y algo más. Si la variedad no es compacta, entonces el grupo fundamental no puede distinguir las dos geometrías, y hay ejemplos (como el complemento de un nudo de trébol) donde una variedad puede tener una estructura geométrica de volumen finito de cualquiera de los dos tipos.
Si π ₁ ( M ) no tiene un subgrupo cíclico normal infinito y no es virtualmente soluble, entonces la estructura geométrica en M es hiperbólica, y M puede ser compacto o no compacto.

Las variedades de volumen infinito pueden tener diferentes tipos de estructura geométrica: por ejemplo, R³ puede tener 6 de las estructuras geométricas mencionadas anteriormente, ya que 6 de las 8 geometrías modelo son homeomorfas a ella. Además ^, si el volumen no tiene por qué ser finito, existen infinitas estructuras geométricas nuevas sin modelos compactos; por ejemplo, la geometría de casi cualquier grupo de Lie tridimensional no unimodular .

Puede haber más de una forma de descomponer una variedad tridimensional cerrada en piezas con estructuras geométricas. Por ejemplo:

Tomar sumas conectadas con varias copias de S ³ no cambia una variedad.
La suma conexa de dos 3-espacios proyectivos tiene una geometría S ² × R , y también es la suma conexa de dos piezas con geometría S ^{3 .}
El producto de una superficie de curvatura negativa y un círculo posee una estructura geométrica, pero también puede cortarse a lo largo de toros para obtener piezas más pequeñas que también presentan estructuras geométricas. Existen numerosos ejemplos similares para los espacios de fibras de Seifert.

Es posible elegir una descomposición "canónica" en piezas con estructura geométrica, por ejemplo, dividiendo primero la variedad en piezas primas de forma mínima y luego subdividiendo estas utilizando el menor número posible de toros. Sin embargo, esta descomposición mínima no es necesariamente la que produce el flujo de Ricci; de hecho, el flujo de Ricci puede dividir una variedad en piezas geométricas de muchas maneras no equivalentes, dependiendo de la métrica inicial elegida.

Historia

La Medalla Fields le fue otorgada a Thurston en 1982, en parte por su demostración de la conjetura de geometrización para las variedades de Haken .

En 1982, Richard S. Hamilton demostró que, dada una 3-variedad cerrada con una métrica de curvatura de Ricci positiva , el flujo de Ricci colapsaría la variedad a un punto en tiempo finito, lo que prueba la conjetura de geometrización para este caso, ya que la métrica se vuelve "casi redonda" justo antes del colapso. Posteriormente, desarrolló un programa para probar la conjetura de geometrización mediante el flujo de Ricci con cirugía . La idea es que el flujo de Ricci generalmente producirá singularidades, pero se puede continuar el flujo de Ricci más allá de la singularidad utilizando cirugía para cambiar la topología de la variedad. En términos generales, el flujo de Ricci contrae las regiones de curvatura positiva y expande las regiones de curvatura negativa, por lo que debería eliminar las partes de la variedad con las geometrías de "curvatura positiva" S ³ y S ² × R , mientras que lo que queda en tiempos grandes debería tener una descomposición gruesa-delgada en una pieza "gruesa" con geometría hiperbólica y una variedad gráfica "delgada" .

En 2003, Grigori Perelman anunció una prueba de la conjetura de geometrización al demostrar que el flujo de Ricci puede continuar más allá de las singularidades y que presenta el comportamiento descrito anteriormente.

Un componente de la demostración de Perelman fue un novedoso teorema de colapso en geometría riemanniana. Perelman no publicó detalles sobre la demostración de este resultado (Teorema 7.4 en la preimpresión 'Ricci flow with surgery on three-manifolds'). A partir de Shioya y Yamaguchi, existen varias demostraciones diferentes del teorema de colapso de Perelman, o variantes del mismo. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} La formulación de Shioya y Yamaguchi se utilizó en las primeras formulaciones completamente detalladas del trabajo de Perelman. ^{[ 8 ]}

Una segunda vía para la última parte de la demostración de geometrización de Perelman es el método de Laurent Bessières y coautores, ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]} que utiliza el teorema de hiperbolización de Thurston para variedades de Haken y la norma de Gromov para 3-variedades. ^[¹¹^]^[¹²^] Un libro de los mismos autores con detalles completos de su versión de la demostración ha sido publicado por la Sociedad Matemática Europea . ^[¹³^]

Dimensiones superiores

En cuatro dimensiones, solo una clase bastante restringida de 4-variedades cerradas admite una descomposición geométrica. ^{[ 14 ]} Sin embargo, aún se pueden dar listas de geometrías de modelos máximos. ^{[ 15 ]}

Las geometrías de modelos máximos de cuatro dimensiones fueron clasificadas por Richard Filipkiewicz en 1983. Son dieciocho, más una familia infinita numerable: ^{[ 15 ]} sus nombres habituales son E ⁴ , Nil ⁴ , Nil ³ × E ¹ , Sol ⁴_{m , n} (una familia infinita numerable), Sol ⁴₀ , Sol ⁴₁ , H ³ × E ¹ , ${\widetilde {\rm {SL}}}$ × E ¹ , H ² × E ² , H ² × H ² , H ⁴ , H ² ( C ) (un espacio hiperbólico complejo ), F ⁴ (el fibrado tangente del plano hiperbólico), S ² × E ² , S ² × H ² , S ³ × E ¹ , S ⁴ , CP ² (el plano proyectivo complejo ), y S ² × S ² . ^{[ 14 ]} Ninguna variedad cerrada admite la geometría F ⁴ , pero hay variedades con descomposición propia que incluyen una pieza F ^4.^{[ 14 ]}

Las geometrías del modelo máximo pentadimensional fueron clasificadas por Andrew Geng en 2016. Existen 53 geometrías individuales y seis familias infinitas. Se presentan algunos fenómenos nuevos no observados en dimensiones inferiores, incluyendo dos familias incontables de geometrías y geometrías sin cocientes compactos. ^{[ 1 ]}

Notas a pie de página

↑ Esta descomposición es esencialmente única, salvo por un pequeño problema en el caso de variedades no orientables.

Notas

1 2 Geng, Andrew (9 de junio de 2016). "Geometrías de 5 dimensiones I: la clasificación general". arXiv : 1605.07545 [ math.GT ].
↑ Fintushel, Ronald (1976). "Acciones locales S ¹ en 3-variedades" . Pacific Journal of Mathematics . 66 (1): 111– 118. doi : 10.2140/pjm.1976.66.111 .
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1 2 3 Hillman, Jonathan (13 de noviembre de 2022). "Cuatrovariedades, geometrías y nudos". arXiv : math/0212142 .
1 2 Filipkiewicz, Richard (1983). Geometrías de cuatro dimensiones (tesis doctoral). Universidad de Warwick . Recuperado el 31 de enero de 2024 .

Referencias

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Enlaces externos

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[1] Esta descomposición es esencialmente única, salvo por un pequeño problema en el caso de variedades no orientables.

[geng-2] 1 2 Geng, Andrew (9 de junio de 2016). "Geometrías de 5 dimensiones I: la clasificación general". arXiv : 1605.07545 [ math.GT ].

[3] Fintushel, Ronald (1976). "Acciones locales S ¹ en 3-variedades" . Pacific Journal of Mathematics . 66 (1): 111– 118. doi : 10.2140/pjm.1976.66.111 .

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