Somos secuencia

En matemáticas , una sucesión de Somos es una secuencia de números definida por una determinada relación de recurrencia , que se describe a continuación. Fueron descubiertas por el matemático Michael Somos . Por la forma de su relación de recurrencia (que implica una división), cabría esperar que los términos de la sucesión fueran fracciones, pero, sorprendentemente, algunas sucesiones de Somos tienen la propiedad de que todos sus miembros son números enteros.

Para un número entero${\displaystyle k}$más grande que${\displaystyle 1}$, un Somos-${\displaystyle k}$secuencia${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {Z} }}$es una solución de la ecuación $${\displaystyle a_{n}a_{n-k}=\sum _{i=1}^{\lfloor k/2\rfloor }\alpha _{i}a_{n-i}a_{n-k+i}}$$ dónde${\displaystyle \alpha _{1}}$,${\displaystyle \alpha _{2}}$, ...,${\displaystyle \alpha _{\lfloor k/2\rfloor }}$son parámetros fijos. Se puede reorganizar en forma de orden.${\displaystyle k}$relación de recurrencia$${\displaystyle a_{n}={\frac {\sum _{i=1}^{\lfloor k/2\rfloor }\alpha _{i}a_{n-i}a_{n-k+i}}{a_{n-k}}}.}$$ Por lo tanto, una solución no degenerada está determinada por una elección de${\displaystyle k}$valores iniciales${\displaystyle a_{0}}$,${\displaystyle a_{1}}$, ...,${\displaystyle a_{k-1}}$. La secuencia resultante al establecer${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=\dots =\alpha _{\lfloor k/2\rfloor }=1}$y${\displaystyle a_{0}=a_{1}=\dots =a_{k-1}=1}$se le conoce como el Somos-${\displaystyle k}$secuencia. El Somos-${\displaystyle k}$La secuencia es simétrica, es decir,${\displaystyle s_{-n}=s_{n+k-1}}$.

Para${\displaystyle k=2}$o${\displaystyle 3}$, las relaciones definitorias son muy simples (no hay ninguna adición en el lado derecho).

En el primer caso no trivial,${\displaystyle k=4}$, la relación es $${\displaystyle a_{n}={\frac {\alpha a_{n-1}a_{n-3}+\beta a_{n-2}^{2}}{a_{n-4}}}}$$ dónde${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$son parámetros constantes. En el caso${\displaystyle k=5}$la relación es $${\displaystyle a_{n}={\frac {\alpha a_{n-1}a_{n-4}+\beta a_{n-2}a_{n-3}}{a_{n-5}}}.}$$

Los Somos-${\displaystyle 2}$y Somos-${\displaystyle 3}$Las secuencias son secuencias de todos unos (...,${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 1}$, ...).

Los valores en Somos-${\displaystyle 4}$secuencia son

1, 1, 1, 1, 2, 3, 7, 23, 59, 314, 1529, 8209, 83313, 620297, 7869898, ... (secuencia A006720 en el OEIS ) .

Los valores en Somos-${\displaystyle 5}$secuencia son

1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 5, 11, 37, 83, 274, 1217, 6161, 22833, 165713, ... (secuencia A006721 en el OEIS ) .

Los valores en Somos-${\displaystyle 6}$secuencia son

1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 9, 23, 75, 421, 1103, 5047, 41783, 281527, ... (secuencia A006722 en el OEIS ) .

Los valores en Somos-${\displaystyle 7}$secuencia son

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 41, 137, 769, 1925, 7203, 34081, ... (secuencia A006723 en el OEIS ) .

Los primeros 17 valores en Somos-${\displaystyle 8}$secuencia son

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 7, 13, 25, 61, 187, 775, 5827, 14815 [el siguiente valor es fraccional]. ^{[ 1 ]}

La forma de las recurrencias que describen las secuencias de Somos implica divisiones, lo que hace probable que las secuencias definidas por estas recurrencias contengan valores fraccionarios. Sin embargo, para${\displaystyle k\leq 7}$Las secuencias Somos contienen solo valores enteros. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} Generalmente, para${\displaystyle k\leq 7}$, un Somos-${\displaystyle k}$La secuencia satisface la llamada propiedad de Laurent. Es decir, como función de los términos iniciales.${\displaystyle a_{0}}$, ...,${\displaystyle a_{k-1}}$, cada término${\displaystyle a_{n}}$es un polinomio de Laurent multivariado con coeficientes en${\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha _{1},\dots ,\alpha _{\lfloor k/2\rfloor }]}$Varios matemáticos han estudiado el problema de demostrar y explicar esta propiedad de las secuencias de Somos; está estrechamente relacionado con la combinatoria de las álgebras de clúster . ^{[ 5 ] [ 3 ] [ 6 ] [ 7 ]}

Para${\displaystyle k\geq 8}$los Somos-${\displaystyle k}$Las secuencias eventualmente contienen valores fraccionarios. Para Somos-${\displaystyle 8}$El primer valor fraccionario es el 18.º término con valor${\displaystyle 420514/7}$.

Consideremos un Somos-${\displaystyle 4}$relación $${\displaystyle a_{n}a_{n-4}=\alpha a_{n-1}a_{n-3}+\beta a_{n-2}^{2}}$$ con${\displaystyle \alpha \neq 0}$. Luego, un complejo -valorado Somos-${\displaystyle 4}$La secuencia corresponde a una secuencia aritmética de puntos.${\displaystyle Q+nP}$en una curva elíptica${\displaystyle E}$(véase Curva elíptica#Ley de grupo ). El término general viene dado por la fórmula ^{[ 8 ].}$${\displaystyle a_{n}=AB^{n}{\frac {\sigma (z_{0}+n\kappa )}{\sigma (\kappa )^{n^{2}}}}}$$ dónde${\displaystyle \sigma (z)=\sigma (z;g_{2},g_{3})}$denota la función sigma de Weierstrass asociada con la curva${\displaystyle E}$escrito en la forma canónica$${\displaystyle E:\quad y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}.}$$ Los seis parámetros${\displaystyle g_{2},g_{3},A,B,z_{0},\kappa \in \mathbb {C} }$están determinados de forma única (salvo una elección de signo) por los coeficientes${\displaystyle \alpha ,\beta }$y los términos iniciales${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}}$. El${\displaystyle (x,y)}$coordenadas de la secuencia${\displaystyle Q+nP}$son dados por${\displaystyle (\wp (z_{0}+n\kappa ),\wp '(z_{0}+n\kappa ))}$, dónde${\displaystyle \wp (z)=\wp (z;g_{2},g_{3})}$denota la función elíptica de Weierstrass . Los coeficientes${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$se dan como funciones elípticas de${\displaystyle \kappa }$por $${\displaystyle \alpha =\wp (\kappa )^{2},\quad \beta =\wp '(\kappa )^{2}(\wp (2\kappa )-\wp (\kappa )).}$$

• La secuencia de Göbel

• Sitio de secuencia Somos de Jim Propp
• Weisstein, Eric W. , "Secuencia Somos" , MathWorld
• El número problemático . Vídeo de Numberphile sobre las secuencias de Somos.