Space of continuous functions on a compact space

In mathematical analysis, and especially functional analysis, a fundamental role is played by the space of continuous functions on a compactHausdorff space${\displaystyle X}$ with values in the real or complex numbers. This space, denoted by ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X),}$ is a vector space with respect to the pointwise addition of functions and scalar multiplication by constants. It is, moreover, a normed space with norm defined by $${\displaystyle \|f\|=\sup _{x\in X}|f(x)|,}$$ the uniform norm. The uniform norm defines the topology of uniform convergence of functions on ${\displaystyle X.}$ The space ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ is a Banach algebra with respect to this norm.(Rudin 1991, §10.3(a))

• By Urysohn's lemma, ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$separates points of ${\displaystyle X}$: If ${\displaystyle x,y\in X}$ are distinct points, then there is an ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}(X)}$ such that ${\displaystyle f(x)\neq f(y).}$
• The space ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ is infinite-dimensional whenever ${\displaystyle X}$ is an infinite space (since it separates points). Hence, in particular, it is generally not locally compact.
• The Riesz–Markov–Kakutani representation theorem gives a characterization of the continuous dual space of ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X).}$ Specifically, this dual space is the space of Radon measures on ${\displaystyle X}$ (regular Borel measures), denoted by ${\displaystyle \operatorname {rca} (X).}$ This space, with the norm given by the total variation of a measure, is also a Banach space belonging to the class of ba spaces. (Dunford & Schwartz 1958, §IV.6.3)
• Positive linear functionals on ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ correspond to (positive) regularBorel measures on ${\displaystyle X,}$ by a different form of the Riesz representation theorem. (Rudin 1966, Chapter 2)
• If ${\displaystyle X}$ is infinite, then ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ is not reflexive, nor is it weaklycomplete.
• The Arzelà–Ascoli theorem holds: A subset ${\displaystyle K}$ of ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ is relatively compact if and only if it is bounded in the norm of ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X),}$ and equicontinuous.
• The Stone–Weierstrass theorem holds for ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X).}$ In the case of real functions, if ${\displaystyle A}$ is a subring of ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ that contains all constants and separates points, then the closure of ${\displaystyle A}$ is ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X).}$ In the case of complex functions, the statement holds with the additional hypothesis that ${\displaystyle A}$está cerrado bajo conjugación compleja .
• Si${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$son dos espacios compactos de Hausdorff, y${\displaystyle F:{\mathcal {C}}(X)\to {\mathcal {C}}(Y)}$es un homomorfismo de álgebras que conmuta con la conjugación compleja, entonces${\displaystyle F}$es continuo. Además,${\displaystyle F}$tiene la forma${\displaystyle F(h)(y)=h(f(y))}$para alguna función continua${\displaystyle f:Y\to X.}$ En particular, si${\displaystyle C(X)}$y${\displaystyle C(Y)}$son isomorfos como álgebras, entonces${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$son espacios topológicos homeomorfos .
• Dejar${\displaystyle \Delta }$sea ​​el espacio de ideales máximos en${\displaystyle {\mathcal {C}}(X).}$ Entonces existe una correspondencia uno a uno entre Δ y los puntos de${\displaystyle X.}$ Además,${\displaystyle \Delta }$puede identificarse con la colección de todos los homomorfismos complejos${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)\to \mathbb {C} .}$ Equipar${\displaystyle \Delta }$con la topología inicial con respecto a este emparejamiento con${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$(es decir, la transformada de Gelfand ). Entonces${\displaystyle X}$es homeomorfo a Δ equipado con esta topología. ( Rudin 1991 , §11.13(a))
• Una secuencia en${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$es débilmente Cauchy si y solo si está (uniformemente) acotada en${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$y convergente puntualmente. En particular,${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$es solo débilmente completo para${\displaystyle X}$un conjunto finito.
• La topología vaga es la topología débil* en el dual de${\displaystyle {\mathcal {C}}(X).}$
• El teorema de Banach-Alaoglu implica que cualquier espacio normado es isométricamente isomorfo a un subespacio de${\displaystyle C(X)}$para algunos${\displaystyle X.}$

El espacio${\displaystyle C(X)}$Las funciones continuas de valor real o complejo pueden definirse en cualquier espacio topológico.${\displaystyle X.}$ En el caso no compacto, sin embargo,${\displaystyle C(X)}$En general, no es un espacio de Banach con respecto a la norma uniforme, ya que puede contener funciones no acotadas. Por lo tanto, es más típico considerar el espacio, denotado aquí.${\displaystyle C_{B}(X)}$de funciones continuas acotadas en${\displaystyle X.}$ Se trata de un espacio de Banach (de hecho, un álgebra de Banach conmutativa con identidad) respecto a la norma uniforme. ( Hewitt y Stromberg, 1965 , Teorema 7.9)

A veces es deseable, particularmente en la teoría de la medida , refinar aún más esta definición general considerando el caso especial cuando${\displaystyle X}$es un espacio de Hausdorff localmente compacto . En este caso, es posible identificar un par de subconjuntos distinguidos de${\displaystyle C_{B}(X)}$: ( Hewitt y Stromberg 1965 , §II.7)

• ${\displaystyle C_{00}(X),}$el subconjunto de${\displaystyle C(X)}$que consiste en funciones con soporte compacto . Esto se denomina el espacio de funciones que se anulan en un entorno del infinito .
• ${\displaystyle C_{0}(X),}$el subconjunto de${\displaystyle C(X)}$que consta de funciones tales que para cada${\displaystyle r>0,}$Hay un conjunto compacto${\displaystyle K\subsetequ X}$de tal manera que${\displaystyle |f(x)|<r}$a pesar de${\displaystyle x\in X\backslash K.}$ Esto se denomina el espacio de funciones que se anulan en el infinito .

El cierre de${\displaystyle C_{00}(X)}$es precisamente${\displaystyle C_{0}(X).}$ En particular, este último es un espacio Banach.

• Dunford, N.; Schwartz, JT (1958), Operadores lineales, Parte I , Wiley-Interscience.
• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Análisis real y abstracto , Springer-Verlag.
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol.  8 (Segunda  edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5OCLC 21163277​​ 
• Rudin, Walter (1966), Análisis real y complejo , McGraw-Hill, ISBN 0-07-054234-1.