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Técnica del diagrama triangular espacio-temporal

En física y matemáticas , la técnica del diagrama triangular espacio-temporal (STTD, por sus siglas en inglés) , también conocida como el método de Smirnov de separación incompl...

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En física y matemáticas , la técnica del diagrama triangular espacio-temporal (STTD, por sus siglas en inglés) , también conocida como el método de Smirnov de separación incompleta de variables , es el método directo en el dominio espacio-temporal para el movimiento de ondas electromagnéticas y escalares.

Etapas básicas

  1. ( Electromagnetismo ) El sistema de ecuaciones de Maxwell se reduce a una EDP de segundo orden para los componentes del campo, o potenciales, o sus derivadas.
  2. Las variables espaciales se separan utilizando expansiones convenientes en series y/o transformadas integrales, excepto una que permanece acotada con la variable de tiempo, lo que da como resultado una EDP de tipo hiperbólico .
  3. La ecuación diferencial parcial hiperbólica resultante y las condiciones iniciales transformadas simultáneamente componen un problema que se resuelve utilizando la fórmula integral de Riemann-Volterra . Esto produce la solución genérica expresada mediante una integral doble sobre un dominio triangular en el espacio de coordenadas y tiempo acotado. Luego, este dominio se reemplaza por uno más complejo pero más pequeño, en el que el integrante es esencialmente distinto de cero, que se encuentra utilizando un procedimiento estrictamente formalizado que involucra diagramas triangulares espaciotemporales específicos (véanse, por ejemplo, las referencias [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] ).
  4. En la mayoría de los casos, las soluciones obtenidas, al multiplicarse por funciones conocidas de las variables previamente separadas, dan como resultado expresiones con un claro significado físico (modos no estacionarios). Sin embargo, en muchos casos, se pueden encontrar soluciones más explícitas sumando los desarrollos o aplicando la transformada integral inversa .

Técnica STTD frente a la técnica de la función de Green

La técnica STTD pertenece al segundo de los dos ansätze principales para el tratamiento teórico de las ondas : el dominio de la frecuencia y el dominio del espacio-tiempo directo. El método más establecido para las ecuaciones descriptivas no homogéneas (relacionadas con la fuente) del movimiento ondulatorio es uno basado en la técnica de la función de Green. [ 4 ] Para las circunstancias descritas en la Sección 6.4 y el Capítulo 14 de Electrodinámica Clásica de Jackson , [ 4 ] se puede reducir al cálculo del campo de onda a través de potenciales retardados (en particular, los potenciales de Liénard-Wiechert ).

A pesar de cierta similitud entre los métodos de Green y Riemann-Volterra (en algunas publicaciones la función de Riemann se denomina función de Riemann-Green [ 5 ] ), su aplicación a los problemas del movimiento ondulatorio da lugar a situaciones distintas:

  • Las definiciones tanto de la función de Green como de la solución de Green correspondiente no son únicas, ya que permiten la adición de soluciones arbitrarias de la ecuación homogénea; en algunos casos, la elección particular de la función de Green y la solución final están definidas por las condiciones de contorno o la plausibilidad y admisibilidad física de las funciones de onda construidas. [ 6 ] La función de Riemann es una solución de la ecuación homogénea que, además, debe tomar un cierto valor en las características y, por lo tanto, se define de manera única.
  • A diferencia del método de Green, que proporciona una solución particular de la ecuación no homogénea , el método de Riemann-Volterra está relacionado con el problema correspondiente , que comprende la EDP y las condiciones iniciales.

[ 7 ] [ 8 ] y fue la representación de Riemann-Volterra la queSmirnovutilizó en suCurso de Matemáticas Superiorespara demostrar la unicidad de la solución al problema anterior (véase, [ 8 ] elemento 143).

  • En el caso general, la fórmula de Green implica la integración sobre todo el dominio de variación de coordenadas y tiempo, mientras que la integración en la solución de Riemann-Volterra se lleva a cabo dentro de una región triangular limitada, asegurando la acotación del soporte de la solución .
  • La causalidad de la solución de Riemann-Volterra (única) se proporciona automáticamente, sin necesidad de recurrir a consideraciones adicionales, como la naturaleza retardada del argumento, la propagación de ondas en una dirección determinada, la elección específica de la trayectoria de integración, etc. (Por lo general, las ecuaciones descriptivas, como la ecuación de onda escalar clásica, poseen la simetría T. Son las condiciones iniciales asimétricas en el tiempo las que definen la flecha del tiempo a través de la limitación del dominio de integración en la fórmula de Riemann at>0{\displaystyle t>0}(Véase más información en [ 2 ] y un ejemplo concreto que se presenta a continuación).
  • La función de Green se puede derivar fácilmente del potencial de Liénard-Wiechert de una fuente puntual en movimiento, pero el cálculo concreto de la función de onda, que inevitablemente implica el análisis del argumento retardado, puede convertirse en una tarea bastante complicada a menos que se utilicen algunas técnicas especiales, como el método paramétrico, [ 9 ].

se invocan. El enfoque de Riemann-Volterra presenta las mismas dificultades, o incluso más serias, especialmente cuando se trata de fuentes de soporte acotado: aquí los límites reales de integración deben definirse a partir del sistema de desigualdades que involucran las variables espaciotemporales y los parámetros del término fuente. Sin embargo, esta definición puede formalizarse rigurosamente utilizando los diagramas triangulares espaciotemporales. Desempeñando el mismo papel que los diagramas de Feynman en física de partículas , los STTD proporcionan un procedimiento riguroso e ilustrativo para la definición de áreas con la misma representación analítica del dominio de integración en el espacio 2D generado por la variable espacial no separada y el tiempo.

Desventajas del método

  • Este método solo puede aplicarse a problemas que poseen una función de Riemann conocida.
  • La aplicación del método y el análisis de los resultados obtenidos requieren un conocimiento más profundo de las funciones especiales de la física matemática (por ejemplo, trabajar con las funciones generalizadas , las funciones de Mathieu de diferentes tipos y las funciones de Lommel de dos variables ) que el método de la función de Green.
  • En algunos casos, las integrales finales requieren una consideración especial en los dominios de oscilación rápida de la función de Riemann.

Concreciones más importantes

Consideraciones generales

Varios métodos eficientes para escalar problemas electromagnéticos en coordenadas ortogonales.incógnita1,incógnita2,incógnita3{\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}Borisov los discutió en la Ref. [ 10 ]. Las condiciones más importantes de su aplicabilidad son:h3=1{\displaystyle h_{3}=1}y ∂3(h1/h2)=0{\displaystyle \partial _{3}(h_{1}/h_{2})=0}, dóndehi,i=1,2,3{\displaystyle h_{i},i=1,2,3}son los coeficientes métricos (Lamé) (de modo que el elemento de longitud al cuadrado sea ds2=h12dincógnita12+h22dincógnita22+h32dincógnita32{\displaystyle ds^{2}=h_{1}^{2}dx_{1}^{2}+h_{2}^{2}dx_{2}^{2}+h_{3}^{2}dx_{3}^{2}}). Sorprendentemente, esta condición se cumple para la mayoría de los sistemas de coordenadas prácticamente importantes, incluidos los cartesianos, los cilíndricos de tipo general y los esféricos.

Para los problemas de movimiento ondulatorio en el espacio libre, el método básico de separación de variables espaciales es la aplicación de transformadas integrales, mientras que para los problemas de generación y propagación de ondas en los sistemas de guía las variables se separan generalmente mediante expansiones en términos de las funciones básicas (modos) que cumplen las condiciones de contorno requeridas en la superficie del sistema de guía.

Coordenadas cartesianas y cilíndricas

En el plano cartesiano{incógnita1=incógnita,incógnita2=y,incógnita3=z}{\displaystyle \left\{x_{1}=x,\;x_{2}=y,\;x_{3}=z\right\}}y coordenadas cilíndricas de tipo general {incógnita1=incógnita1(incógnita,y),incógnita2=incógnita2(incógnita,y),incógnita3=z}{\displaystyle \left\{x_{1}=x_{1}(x,y),\;x_{2}=x_{2}(x,y),\;x_{3}=z\right\}}La separación de las variables espaciales da como resultado un problema de valor inicial para una ecuación diferencial parcial hiperbólica conocida como la ecuación de Klein-Gordon unidimensional (EKP).

(∂τ2−∂z2+k2)ψ(τ,z)=F(τ,z)ψ(τ,z)=0 para τ<0{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(\partial _{\tau }^{2}-\partial _{z}^{2}+k^{2}\right)\psi (\tau ,z)=f(\tau ,z)\\&\psi (\tau ,z)=0{\text{ para }}\tau <0\end{aligned}}}

Aquíτ{\displaystyle \tau }es la variable tiempo expresada en unidades de longitud utilizando alguna velocidad característica (por ejemplo, la velocidad de la luz o del sonido), k{\displaystyle k}es una constante originada por la separación de variables yF(τ,z){\displaystyle f(\tau ,z)}representa una parte del término fuente en la ecuación de onda inicial que permanece después de la aplicación de los procedimientos de separación de variables (un coeficiente de serie o el resultado de una transformación integral).

El problema anterior posee una función de Riemann conocida.

Rk(τ,z;τ′,z′)=J0(k(τ−τ′)2−(z−z′)2),{\displaystyle R_{k}(\tau ,z;\tau ',z')=J_{0}\left(k{\sqrt {(\tau -\tau ')^{2}-(zz')^{2}}}\right),}

dóndeJ0(⋅){\displaystyle J_{0}(\cdot )}es la función de Bessel de primera especie de orden cero.

Variables canónicas
Variables canónicas ξ , η .
Variables iniciales
Variables iniciales z , τ .
La STTD más simple que representa un dominio de integración triangular resultó de la fórmula integral de Riemann-Volterra .

Pasando a las variables canónicasz,τ→ξ,η{\displaystyle z,\tau \to \xi ,\eta }se obtiene el diagrama STTD más simple que refleja la aplicación directa del método de Riemann-Volterra, [ 7 ] [ 8 ] con el dominio de integración fundamental representado por el triángulo espaciotemporal MPQ (en gris oscuro).

La rotación del STTD 45° en sentido contrario a las agujas del reloj produce una forma más común del STTD en el espaciotiempo convencional.z,τ{\displaystyle z,\tau }.

Para las condiciones iniciales homogéneas, la solución (única [ 8 ] ) del problema viene dada por la fórmula de Riemann.

ψ(τ,z)=12∬△METROPAGQdτ′dz′R(τ,z;τ′,z′)F(τ′,z′).{\displaystyle \psi (\tau ,z)={\frac {1}{2}}\iint \limits _{\triangle MPQ}\,d\tau '\,dz'R(\tau ,z;\tau ',z')f(\tau ',z').}

La evolución del proceso ondulatorio se puede rastrear utilizando un punto de observación fijo (z=constante{\displaystyle z={\text{const}}}) aumentando sucesivamente la altura del triángulo (τ{\displaystyle \tau }) o, alternativamente, tomando una "imagen momentánea" de la función de onda.ψ{\displaystyle \psi }desplazando el triángulo espacio-tiempo a lo largo delz{\displaystyle z}eje (τ=constante{\displaystyle \tau ={\text{const}}}).

Las distribuciones espaciotemporales de tiempo (STTD) más útiles y sofisticadas corresponden a fuentes pulsadas cuyo soporte es limitado en el espacio-tiempo. Cada limitación produce modificaciones específicas en la STTD, lo que resulta en dominios de integración más pequeños y complejos en los que el integrando es esencialmente distinto de cero. A continuación se ilustran ejemplos de las modificaciones más comunes y sus acciones combinadas.

Limitaciones estáticas al área de origen [ 10 ]
STTD para una fuente limitada desde la izquierda por un planoz=0{\displaystyle z=0}, es decirF(τ,z)=0 para z<0{\displaystyle f(\tau ,z)=0{\text{ para }}z<0}, lo cual ocurre, por ejemplo, con una fuente viajera que se propaga a lo largo de un radiador semiinfinito.l{\displaystyle l}.
STTD para una fuente limitada desde la derecha por un planoz=l{\displaystyle z=l}, es decirF(τ,z)=0 para z>l.{\displaystyle f(\tau ,z)=0{\text{ para }}z>l.}
STTD para una fuente limitada desde ambos lados, es decirF(τ,z)=0 para z∉[0,l]{\displaystyle f(\tau ,z)=0{\text{ para }}z\notin [0,l]}, lo cual es el caso, por ejemplo, de una fuente viajera que se propaga a lo largo de un radiador de longitud finita.l{\displaystyle l}.
Acción combinada de limitaciones de diferente tipo, véanse las referencias [ 1 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] para más detalles y ejemplos más complejos.
STTD para un pulso de fuente viajera semiinfinita.
STTD para un pulso de fuente viajera finito.
STTD para un pulso de fuente viajera finita que se propaga a lo largo de un radiador semiinfinitoz∈[0,∞){\displaystyle z\in \left[0,\infty \right)}.
Una secuencia de STTD genéricos para un pulso de fuente "corto" y finito de duraciónT{\displaystyle T}propagándose a lo largo de un radiador finitoz∈[0,l]{\displaystyle z\in [0,l]}con velocidad constanteβ{\displaystyle \beta }En este caso , la fuente puede expresarse de la forma
F(τ,z)=F0(τ,z)×h(z)h(l−z)h(τ−zβ)h(T−τ+zβ),{\displaystyle f(\tau ,z)=f_{0}(\tau ,z)\times h(z)h(l-z)h\left(\tau -{\frac {z}{\beta }}\right)h\left(T-\tau +{\frac {z}{\beta }}\right),}
   dóndeh(⋅){\displaystyle h(\cdot )}es la función escalón de Heaviside .
La misma secuencia STTD para un pulso "largo".

Coordenadas esféricas

En el sistema de coordenadas esféricas —que en vista de las consideraciones generales debe representarse en la secuencia {incógnita1=θ,incógnita2=φ,incógnita3=r}{\displaystyle \left\{x_{1}=\theta ,\;x_{2}=\varphi ,\;x_{3}=r\right\}}asegurandoh3=1{\displaystyle h_{3}=1}— Se pueden escalarizar los problemas para las ondas transversales eléctricas (TE) o transversales magnéticas (TM) utilizando las funciones de Borgnis, los potenciales de Debye o los vectores de Hertz. Separación posterior de las variables angulares.θ,φ{\displaystyle \theta ,\varphi }mediante la expansión de la función de onda inicialψ(τ,θ,φ,r){\displaystyle \psi \left(\tau ,\theta ,\varphi ,r\right)}y la fuente

F(τ,θ,φ,r){\displaystyle \;f\left(\tau ,\theta ,\varphi ,r\right)}en términos de
(pecado⁡metroφporque⁡metroφ)PAGnorte(metro)(porque⁡θ),{\displaystyle \left({\begin{array}{c}\sin m\varphi \\\cos m\varphi \end{array}}\right)P_{n}^{(m)}(\cos \theta ),}

dóndePAGnorte(metro)(⋅){\displaystyle P_{n}^{(m)}\!\left(\cdot \right)}es el polinomio de Legendre asociado de gradonorte{\displaystyle n}y orden metro{\displaystyle m}, resulta en el problema de valor inicial para la ecuación hiperbólica de Euler-Poisson-Darboux [ 3 ] [ 10 ]

(∂τ2−∂r2+norte(norte+1)r2)ψnortemetro(τ,r)=Fnortemetro(τ,r)ψnortemetro(τ,r)=0 para τ<0{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(\partial _{\tau }^{2}-\partial _{r}^{2}+{\frac {n(n+1)}{r^{2}}}\right)\psi _{nm}(\tau ,r)=f_{nm}(\tau ,r)\\&\psi _{nm}(\tau ,r)=0{\text{ for }}\tau <0\end{aligned}}}

Se sabe que tiene la función de Riemann

R(τ,r;τ′,r′)=PAGnorte(r2+r′2−(τ−τ′)22rr′),{\displaystyle R(\tau ,r;\tau ',r')={P_{n}}\left({\frac {r^{2}+{r'}^{2}-(\tau -\tau ')^{2}}{2rr'}}\right),}

dóndePAGnorte(⋅){\displaystyle P_{n}\!\left(\cdot \right)}es el polinomio de Legendre (ordinario) de gradonorte{\displaystyle n}.

Equivalencia de las soluciones de la función STTD (Riemann) y de Green

La técnica STTD representa una alternativa al método clásico de la función de Green. Debido a la unicidad de la solución al problema de valor inicial en cuestión, [ 8 ] en el caso particular de condiciones iniciales nulas, la solución de Riemann proporcionada por la técnica STTD debe coincidir con la convolución de la función de Green causal y el término fuente.

Los dos métodos proporcionan descripciones aparentemente diferentes de la función de onda: por ejemplo, la función de Riemann para el problema de Klein-Gordon es una función de Bessel (que debe integrarse, junto con el término fuente, sobre el área restringida representada por el triángulo fundamental MPQ ), mientras que la función de Green retardada para la ecuación de Klein-Gordon es una transformada de Fourier del término exponencial imaginario (que debe integrarse sobre todo el plano).z′,τ′{\displaystyle z',\tau '}, véase, por ejemplo, la Sec. 3.1. de la Ref. [ 14 ] ) reducible a

GRAMOk(τ,z;τ′,z′)=−1(2π)2∫−∞∞dpagmiipag(z−z′)∫−∞∞dΩmiiΩ(τ−τ′)Ω2−pag2−k2.{\displaystyle G_{k}(\tau ,z;\tau ',z')=-{\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dp\,{\rm {e}}^{ip(z-z')}\int \limits _{-\infty }^{\infty }d\Omega \,{\frac {{\rm {e}}^{i\Omega (\tau -\tau ')}}{\Omega ^{2}-p^{2}-k^{2}}}.}

Ampliar la integración con respecto aΩ{\displaystyle \Omega }al dominio complejo, utilizando el teorema de los residuos ( con los polosΩ1,2{\displaystyle \Omega _{1,2}}elegido comolímiteε→0+(±pag2+k2+iε){\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\pm {\sqrt {p^{2}+k^{2}+i\varepsilon }}\right)}para satisfacer las condiciones de causalidad ) uno obtiene

GRAMOk(τ,z;τ′,z′)=1π∫0∞dpagpecado⁡((τ−τ′)pag2+k2)pag2+k2porque⁡(pag(z−z′)).{\displaystyle G_{k}(\tau ,z;\tau ',z')={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }dp\,{\frac {\sin \left((\tau -\tau '){\sqrt {p^{2}+k^{2}}}\right)}{\sqrt {p^{2}+k^{2}}}}\cos(p(z-z')).}

Usando la fórmula 3.876-1 de Gradshteyn y Ryzhik , [ 15 ]

∫0∞dincógnitapecado⁡(pagincógnita2+a2)incógnita2+a2porque⁡(bincógnita)={π2J0(apag2−b2) para 0<b<pag0 para b>pag>0(a>0),{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }dx\,{\frac {\sin(p{\sqrt {x^{2}+a^{2}}})}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}\cos(bx)=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\pi }{2}}J_{0}(a{\sqrt {p^{2}-b^{2}}})&{\text{ for }}&0<b<p\\&0&{\text{ for }}&b>p>0\end{aligned}}\right.\qquad (a>0),}

La última representación de la función de Green se reduce a la expresión [ 16 ].

12J0(k(τ−τ′)2−(z−z′)2)h(τ−τ′−|z−z′|),{\displaystyle {\frac {1}{2}}J_{0}\left(k{\sqrt {(\tau -\tau ')^{2}-(z-z')^{2}}}\right)h(\tau -\tau '-|z-z'|),}

en la que 1/2 es el factor de escala de la fórmula de Riemann yJ0(⋅){\displaystyle J_{0}(\cdot )}la función de Riemann, mientras que la función escalón de Heavisideh(⋅){\displaystyle h(\cdot )}reduce, paraτ>0{\displaystyle \tau >0}, el área de integración al triángulo fundamental MPQ , haciendo que la solución de la función de Green sea igual a la proporcionada por la técnica STTD.

Referencias y notas

  1. 1 2 AB Utkin, Ondas localizadas emanadas por fuentes pulsadas: El enfoque de Riemann-Volterra . En: Hugo E. Hernández-Figueroa, Erasmo Recami y Michel Zamboni-Rached (eds.) Ondas no difractantes. Wiley-VCH: Berlín, ISBN 978-3-527-41195-5, págs. 287–306 (2013)
  2. 1 2 AB Utkin, La técnica de Riemann-Volterra en el dominio del tiempo para guías de onda: un estudio de caso para geometría elíptica. Wave Motion 49 (2), 347–363 (2012), doi: 10.1016/j.wavemoti.2011.12.001
  3. 1 2 VV Borisov, AV Manankova, AB Utkin, Representación en armónicos esféricos del campo electromagnético producido por un pulso móvil de densidad de corriente , Journal of Physics A: Mathematical and General 29 (15), 4493–4514 (1996), doi: 10.1088/0305-4470/29/15/020
  4. 1 2 J. D. Jackson, Electrodinámica clásica , 3.ª ed., Wiley, Nueva York (1999)
  5. ↑ Véase, por ejemplo, GA Korn y TM Korn , Mathematical Handbook for Scientists and Engineers , Courier Dover Publications, Nueva York (2000)
  6. ↑ Un análisis exhaustivo de este tema se puede encontrar en H. Kleinert, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets , 5.ª ed., World Scientific, Singapur (2009).
  7. 1 2 R. Courant y D. Hilbert, Métodos de física matemática , vol. 2, Wiley, Nueva York (1989)
  8. 1 2 3 4 5 VI Smirnov, Un curso de matemáticas superiores, vol. 4: Ecuaciones integrales y ecuaciones diferenciales parciales , Pergamon Press, Oxford (1964)
  9. ↑ CJ Chapman, La función de Green espiral en acústica y electromagnetismo , Proc. Roy. Soc. A 431 (1881), 157–167 (1990), doi: 10.1098/rspa.1990.0124
  10. 1 2 3 4 VV Borisov, Campos electromagnéticos de corrientes transitorias . Editorial de la Universidad Estatal de Leningrado: Leningrado (1996, en ruso)
  11. ↑ VV Borisov y AB Utkin, El campo electromagnético transitorio producido por un pulso móvil de corriente lineal , Journal of Physics D: Applied Physics 28 (4), 614-622 (1995), doi: 10.1088/0022-3727/28/4/003
  12. ↑ AB Utkin, Ondas en forma de gota: análogos causales de soporte finito de ondas en forma de X , J. Opt. Soc. Am. A 29 (4), 457-462 (2012), doi: 10.1364/JOSAA.29.000457
  13. ↑ AB Utkin, Onda en forma de gota producida por un pulso de corriente macroscópica lineal de longitud finita , IEEE Xplore DD-2013 , ISBN 978-1-4799-1037-3, 145–150 (2013), doi: 10.1109/DD.2013.6712820
  14. ↑ W. Geyi, Una teoría en el dominio del tiempo de la guía de ondas , Progress in Electromagnetics Research 59 , 267–297 (2006), doi: 10.2528/PIER05102102
  15. ↑ Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [octubre de 2014]. "3.876." En Zwillinger, Daniel; Moll, Víctor Hugo (eds.). Tabla de Integrales, Series y Productos . Traducido por Scripta Technica, Inc. (8ª ed.). Prensa académica, Inc. pág. 486.ISBN​   978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276 . 
  16. ↑ Aparentemente, este resultado fue publicado por primera vez por Geyi (2006: 275), simplemente como una forma de simplificar la solución de Green y reducir el dominio de integración.
  • VV Borisov, NM Reutova, AB Utkin, Ondas electromagnéticas producidas por un pulso de corriente viajera con relleno de alta frecuencia. Journal of Physics A: Mathematical and General , 38 (10), 2225–2240 (2005), doi: 10.1088/0305-4470/38/10/012
  • VV Borisov, Ondas electromagnéticas no estacionarias . Leningrado: Editorial de la Universidad Estatal de Leningrado: Leningrado (1987, en ruso).