Estructura de espín h

En geometría de espín , una estructura de espín ^h (o estructura de espín cuaterniónica ) es una generalización de una estructura de espín . En matemáticas, estas se utilizan para describir haces de espinores y espinores , que en física se utilizan para describir el espín , un momento angular intrínseco de las partículas del cual han recibido su nombre. Dado que las estructuras de espín ^h también existen bajo condiciones debilitadas, que podrían no permitir estructuras de espín, proporcionan una alternativa adecuada para tales situaciones. Las variedades orientables con estructuras de espín ^h se denominan variedades de espín ^h . ^{[ 1 ]} H representa los cuaterniones , que se denotan${\displaystyle \mathbb {H} }$y aparecen en la definición del grupo de espín ^h subyacente .

Dejar${\displaystyle M}$ser un${\displaystyle n}$Variedad orientable de dimensión . Su fibrado tangente${\displaystyle TM}$se describe mediante un mapa de clasificación${\displaystyle M\rightarrow \operatorname {BSO} (n)}$en el espacio de clasificación${\displaystyle \operatorname {BSO} (n)}$del grupo ortogonal especial${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$Puede ser factor sobre el mapa${\displaystyle \operatorname {BSpin} ^{\mathrm {h} }(n)\rightarrow \operatorname {BSO} (n)}$inducido por la proyección canónica${\displaystyle \operatorname {Girar} ^{\mathrm {h} }(n)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (n)}$sobre la clasificación de espacios . En este caso, el mapa de clasificación se eleva a un mapa continuo.${\displaystyle M\rightarrow \operatorname {BSpin} ^{\mathrm {h} }(n)}$en el espacio de clasificación${\displaystyle \operatorname {BSpin} ^{\mathrm {h} }(n)}$del grupo de espín ^h${\displaystyle \operatorname {Girar} ^{\mathrm {h} }(n)}$. Su clase de homotopía se llama estructura de espín ^h . ^{[ 2 ]}

Asumir${\displaystyle M}$tiene una estructura de espín ^h . Entonces,${\displaystyle \operatorname {Girar} ^{\mathrm {h} }(M)}$denotemos el conjunto de estructuras de espín ^{h en}${\displaystyle M}$El primer grupo simpléctico${\displaystyle \operatorname {Sp} (1)}$es el segundo factor del grupo de espín ^h y utilizando su espacio de clasificación${\displaystyle \operatorname {BSp} (1)\cong \operatorname {BSU} (2)}$, que es el espacio proyectivo cuaterniónico infinito${\displaystyle \mathbb {H} P^{\infty }}$y a través de su torre Postnikov se proyecta sobre el espacio Eilenberg-MacLane${\displaystyle K(\mathbb {Z},4)}$, hay un mapa:

${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {h} }(M)\cong [M,\operatorname {BSp} (1)]\cong [M,\mathbb {H} P^{\infty }]\rightarrow [M,K(\mathbb {Z} ,4)]\cong H^{4}(M,\mathbb {Z} ).}$

El isomorfismo anterior se deduce de la secuencia de Puppe para la fibración.${\displaystyle \mathbb {H} P^{\infty }\hookrightarrow \operatorname {BSpin} ^{\mathrm {h} }(n)\twoheadrightarrow \operatorname {BSO} (n)}$(al aplicar${\displaystyle [M,-]}$). ^{[ 3 ]} Aunque este mapa no es una biyección en general, sí lo es en casos especiales, por ejemplo, para una variedad de 4 dimensiones.${\displaystyle M}$.

Debido a la proyección canónica${\displaystyle \operatorname {BSpin} ^{\mathrm {h} }(n)\rightarrow \operatorname {SU} (2)/\mathbb {Z} _{2}\cong \operatorname {SO} (3)}$, cada estructura de espín ^h induce un principal${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$-fibrado o, equivalentemente, un fibrado vectorial real orientable de tercer rango.

• Cada espín, e incluso cada estructura de espín ^c , induce una estructura de espín ^h . Las implicaciones inversas no se cumplen en el plano proyectivo complejo.${\displaystyle \mathbb {C} P^{2}}$y el colector Wu${\displaystyle \operatorname {SU} (3)/\operatorname {SO} (3)}$mostrar. ^{[ 4 ]}
• Si un colector orientable${\displaystyle M}$tiene una estructura de espín ^h , entonces su quinta integral de clase Stiefel-Whitney${\displaystyle W_{5}(M)\in H^{5}(M,\mathbb {Z} )}$desaparece, por lo tanto es la imagen de la cuarta clase ordinaria de Stiefel-Whitney${\displaystyle w_{4}(M)\in H^{4}(M,\mathbb {Z} )}$bajo el mapa canónico${\displaystyle H^{4}(M,\mathbb {Z} _{2})\rightarrow H^{4}(M,\mathbb {Z} )}$.
• Todo colector liso orientable compacto con siete o menos dimensiones tiene una estructura de espín ^h . ^{[ 5 ]}
• En ocho dimensiones, existen infinitos tipos de homotopía de variedades cerradas simplemente conexas sin estructura de espín ^h . ^{[ 6 ]}
• Para un colector de giro compacto ^h${\displaystyle M}$de dimensión par con cualquiera de los cuatro números de Betti que se desvanecen${\displaystyle b_{4}(M)=\dim H^{4}(M,\mathbb {R} )}$o la primera clase de Pontrjagin${\displaystyle p_{1}(E)\in H^{4}(M,\mathbb {Z} )}$de su principio canónico${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$-manojo${\displaystyle E\twoheadrightarrow M}$siendo torsión, dos veces su género${\displaystyle 2{\widehat {A}}(M)}$es un número entero. ^{[ 7 ]}

Las siguientes propiedades se cumplen de forma más general para el levantamiento en el grupo de Lie.${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{k}(n):=\left(\operatorname {Spin} (n)\times \operatorname {Spin} (k)\right)/\mathbb {Z} _{2}}$, con el caso particular${\displaystyle k=3}$donación:

• Si${\displaystyle M\times N}$es una variedad de espín ^h , entonces${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$son variedades de espín ^h . ^{[ 8 ]}
• Si${\displaystyle M}$es un colector de espín, entonces${\displaystyle M\times N}$es una variedad de espín ^{h si y} solo si${\displaystyle N}$es una variedad de espín ^h . ^{[ 8 ]}
• Si${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$Si son variedades de espín ^h de la misma dimensión, entonces su suma conectada${\displaystyle M\#N}$es una variedad de espín ^h . ^{[ 9 ]}
• Las siguientes condiciones son equivalentes: ^{[ 10 ]}
  • ${\displaystyle M}$es una variedad de espín ^h .
  • Existe un paquete vectorial real${\displaystyle E\twoheadrightarrow M}$de tercer rango, de modo que${\displaystyle TM\oplus E}$tiene una estructura de espín o equivalentemente${\displaystyle w_{2}(TM\oplus E)=0}$.
  • ${\displaystyle M}$puede sumergirse en un colector de giro con tres dimensiones más.
  • ${\displaystyle M}$puede integrarse en una variedad de espín con tres dimensiones más.

El anillo de cohomología del espacio clasificador infinito${\displaystyle \operatorname {BSpin} ^{\mathrm {h} }:=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {BSpin} ^{\mathrm {h} }(n)}$con coeficientes en${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$se puede expresar utilizando cuadrados de Steenrod y clases de Wu : ^{[ 11 ] [ 12 ]}

${\displaystyle H^{*}(\operatorname {BSpin} ^{\mathrm {h} },\mathbb {Z} _{2})\cong H^{*}(\operatorname {BSO} ,\mathbb {Z} _{2})/(\operatorname {Sq} ^{1}\nu _{2^{r}},r\geq 2).}$

• Estructura de espín ^c

• Christian Bar (1999). «Símbolos elípticos» . Mathematische Nachrichten . 201 (1).
• Michael Albanese y Aleksandar Milivojević (2021). "Espín ^h y generalizaciones adicionales del espín". Journal of Geometry and Physics . 164 : 104–174 . arXiv : 2008.04934 . doi : 10.1016/j.geomphys.2022.104709 .
• H. Blaine Lawson (23-01-2023). "Spinʰ Manifolds". arXiv : 2301.09683v1 [ math.DG ].
• Jiahao Hu (2023-12-08). "Invariantes de haces vectoriales reales". arXiv : 2310.05061 [ math.AT ].

• Estructura de espín en n Lab