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Ley de Torricelli

La ley de Torricelli describe la velocidad de separación de un chorro de agua, basándose en la distancia por debajo de la superficie a la que se origina, suponiendo que no hay r...

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La ley de Torricelli describe la velocidad de separación de un chorro de agua, basándose en la distancia por debajo de la superficie a la que se origina, suponiendo que no hay resistencia del aire, viscosidad ni otros obstáculos al flujo del fluido. Este diagrama muestra varios de estos chorros, alineados verticalmente, que salen del depósito horizontalmente. En este caso, los chorros tienen una envolvente (un concepto también debido a Torricelli) que es una línea descendente a 45° desde la superficie del agua sobre los chorros. Cada chorro alcanza una mayor distancia que cualquier otro en el punto donde toca la envolvente, que se encuentra al doble de la profundidad de su origen. La profundidad a la que se cruzan dos chorros es la suma de sus profundidades de origen. Cada chorro (incluso si no sale horizontalmente) sigue una trayectoria parabólica cuya directriz es la superficie del agua.

La ley de Torricelli , también conocida como teorema de Torricelli , es un teorema en dinámica de fluidos que relaciona la velocidad del fluido que fluye desde un orificio con la altura del fluido sobre el orificio. La ley establece que la velocidadv{\displaystyle v}de salida de un fluido a través de un agujero de borde afilado en la pared del tanque lleno hasta una alturah{\displaystyle h}La velocidad por encima del agujero es la misma que la velocidad que adquiriría un cuerpo al caer libremente desde una altura.h{\displaystyle h},

v=2gramoh{\displaystyle v={\sqrt {2gh}}}

dóndegramo{\displaystyle g}es la aceleración debida a la gravedad . Esta expresión proviene de igualar la energía cinética ganada,12metrov2{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}}, con la energía potencial perdida,metrogramoh{\displaystyle mgh}y resolviendo parav.{\displaystyle v.}La ley fue descubierta (aunque no en esta forma) por el científico italiano Evangelista Torricelli en 1643. Posteriormente se demostró que era un caso particular del principio de Bernoulli .

Derivación

Bajo la suposición de un fluido incompresible con viscosidad despreciable , el principio de Bernoulli establece que la energía del fluido es uniforme.

pag1ρ1+v122+gramoy1=pag2ρ2+v222+gramoy2=constante{\displaystyle {\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}+{\frac {{v_{1}}^{2}}{2}}+gy_{1}={\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}+{\frac {{v_{2}}^{2}}{2}}+gy_{2}={\text{constant}}}

a lo largo de una columna de líquido. [ 1 ] : Ejemplo 3.5 y pág. 116 Aquív{\displaystyle v}es velocidad fluida,gramo{\displaystyle g}es la aceleración debida a la gravedad,y{\displaystyle y}es la altura sobre algún punto de referencia,pag{\displaystyle p}es la presión, yρ{\displaystyle \rho }es la densidad.

Para derivar la fórmula de Torricelli, el primer punto sin índice se toma en la superficie del líquido y el segundo justo fuera de la abertura. Dado que se supone que el líquido es incompresible,ρ1{\displaystyle \rho _{1}}es igual aρ2{\displaystyle \rho _{2}}y; ambos pueden representarse mediante un símboloρ{\displaystyle \rho }La presiónpag1{\displaystyle p_{1}}ypag2{\displaystyle p_{2}}Por lo general, ambas son presión atmosférica , por lo quepag1=pag2⇒pag1−pag2=0{\displaystyle p_{1}=p_{2}\Rightarrow p_{1}-p_{2}=0}. Además y1−y2{\displaystyle y_{1}-y_{2}}es igual a la alturah{\displaystyle h}de la superficie del líquido sobre la abertura:

v122+gramoh=v222{\displaystyle {\frac {{v_{1}}^{2}}{2}}+gh={\frac {{v_{2}}^{2}}{2}}}

La velocidad de la superficiev1{\displaystyle v_{1}}puede estar relacionado con la velocidad de salidav2{\displaystyle v_{2}}mediante la ecuación de continuidadv1A=v2AA{\displaystyle v_{1}A=v_{2}A_{A}}, dóndeAA{\displaystyle A_{A}}es la sección transversal del orificio yA{\displaystyle A}es la sección transversal del recipiente (cilíndrico).v2{\displaystyle v_{2}}avA{\displaystyle v_{A}}(Una apertura similar) da como resultado:

vA22AA2A2+gramoh=vA22{\displaystyle {\frac {{v_{A}}^{2}}{2}}{\frac {A_{A}^{2}}{A^{2}}}+gh={\frac {{v_{A}}^{2}}{2}}}
⇒gramoh=vA22(1−AA2A2).{\displaystyle \Rightarrow gh={\frac {{v_{A}}^{2}}{2}}\left(1-{\frac {A_{A}^{2}}{A^{2}}}\right).}
⇒vA=2gramoh1−AA2A2.{\displaystyle \Rightarrow {v_{A}}={\sqrt {\frac {2gh}{1-{\frac {A_{A}^{2}}{A^{2}}}}}}.}

La ley de Torricelli se obtiene como un caso especial cuando la aperturaAA{\displaystyle A_{A}}es muy pequeño en relación con la sección transversal horizontal del contenedor.A{\displaystyle A}:

vA=2gramoh.{\displaystyle v_{A}={\sqrt {2gh}}.}[ 2 ]

La ley de Torricelli solo se puede aplicar cuando se pueden despreciar los efectos viscosos, lo cual ocurre cuando el agua fluye a través de orificios en los recipientes.

Verificación experimental: Spouting puede experimentar

Experimento para determinar la trayectoria de un chorro saliente: Se ajustan varillas verticales de manera que casi toquen el chorro. Tras el experimento, la distancia entre una línea horizontal y la ubicación del chorro se puede medir mediante los ajustes de longitud de las varillas.

Toda ley física debe verificarse mediante experimentos. El experimento del recipiente con chorro consiste en un recipiente cilíndrico lleno de agua con varios orificios a diferentes alturas. Está diseñado para demostrar que, en un líquido con una superficie abierta, la presión aumenta con la profundidad. La velocidad de salida del fluido es mayor a medida que se profundiza en el recipiente. [ 3 ]

El chorro saliente forma una parábola descendente donde cada parábola se extiende más hacia afuera cuanto mayor es la distancia entre el orificio y la superficie. La forma de la parábolay(incógnita){\displaystyle y(x)}depende únicamente de la velocidad de salida y puede determinarse a partir del hecho de que cada molécula del líquido forma una trayectoria balística (véase movimiento de proyectiles ) donde la velocidad inicial es la velocidad de salida.vA{\displaystyle v_{A}}:

y(incógnita)=−12gramovA2incógnita2.{\displaystyle y(x)=-{\frac {1}{2}}{\frac {g}{v_{A}^{2}}}x^{2}.}

Los resultados confirman muy bien la veracidad de la ley de Torricelli.

Descarga y tiempo para vaciar un recipiente cilíndrico

Suponiendo que un recipiente es cilíndrico con un área de sección transversal fijaA{\displaystyle A}, con orificio de áreaAA{\displaystyle A_{A}}en la parte inferior, luego la tasa de cambio de la altura del nivel del aguadh/dt{\displaystyle dh/dt}no es constante. La velocidad del agua que sale del orificio es directamente proporcional a la altura de la superficie del agua por encima del nivel del orificio: a medida que disminuye la altura del agua, también disminuye la presión al nivel del orificio, lo que provoca que el agua salga del orificio a una velocidad cada vez menor.

V˙=dVdt=Adhdt=−AAvA=−AA2gramoh⇒dhh=−AAA2gramodt{\displaystyle {\dot {V}}={\frac {dV}{dt}}=A{\frac {dh}{dt}}=-A_{A}v_{A}=-A_{A}{\sqrt {2gh}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {dh}{\sqrt {h}}}=-{\frac {A_{A}}{A}}{\sqrt {2g}}\;dt}

Integramos ambos lados y reordenamos el resultado para determinar la altura del nivel del agua.h(t){\displaystyle h(t)}en función del tiempot{\displaystyle t}:

h(t)=H(1−AAAgramo2Ht)2,{\displaystyle h(t)=H\left(1-{\frac {A_{A}}{A}}{\sqrt {\frac {g}{2H}}}t\right)^{2},}

dóndeH{\displaystyle H}es la altura inicial del nivel del agua. El tiempo totalT{\displaystyle T}Se toma para drenar toda el agua y, por lo tanto, vaciar el recipiente, se encuentra al ajustarh(T)=0{\displaystyle h(T)=0}y reorganizando:

T=AAA2Hgramo.{\displaystyle T={\frac {A}{A_{A}}}{\sqrt {\frac {2H}{g}}}.}

Esta fórmula tiene varias implicaciones. Si un tanque con volumenV{\displaystyle V}con sección transversalA{\displaystyle A}y alturaH{\displaystyle H}, de modo queV=AH{\displaystyle V=AH}, está completamente lleno, entonces es el momento de vaciar toda el agua.

T=VAA2gramoH.{\displaystyle T={\frac {V}{A_{A}}}{\sqrt {\frac {2}{gH}}}.}

Esto implica que los tanques altos con el mismo volumen de llenado se vacían más rápido que los más anchos. Por último, podemos reescribir la función.h(t){\displaystyle h(t)}como

h(t)=H(1−tT)2,{\displaystyle h(t)=H\left(1-{\frac {t}{T}}\right)^{2},}

dóndeH{\displaystyle H}es la altura del contenedor mientrasT{\displaystyle T}es el tiempo de descarga como se indica arriba.

Experimento de descarga, coeficiente de descarga

La teoría de la descarga se puede comprobar midiendo el tiempo de vaciado.T{\displaystyle T}o series temporales del nivel del aguah(t){\displaystyle h(t)}dentro del recipiente cilíndrico. En muchos casos, tales experimentos no confirman la teoría de descarga presentada: al comparar las predicciones teóricas del proceso de descarga con las mediciones, se pueden encontrar diferencias muy grandes en tales casos. En realidad, el tanque generalmente se vacía mucho más lentamente. Observando la fórmula de descarga

V˙=AAvA=AA2gramoh{\displaystyle {\dot {V}}=A_{A}v_{A}=A_{A}{\sqrt {2gh}}}

Dos magnitudes podrían ser responsables de esta discrepancia: la velocidad de salida o la sección transversal de salida efectiva.

Figura 28 de Hydrodynamica de Daniel Bernoulli (1738) que muestra la generación de una vena contracta con líneas de corriente.

En 1738, Daniel Bernoulli atribuyó la discrepancia entre el comportamiento de salida teórico y el observado a la formación de una vena contracta que reduce la sección transversal de salida con respecto a la sección transversal del orificio.AA{\displaystyle A_{A}}a la sección transversal contraídaAdo{\displaystyle A_{C}}y declaró que la descarga es:

V˙=AdovA=Ado2gramoh{\displaystyle {\dot {V}}=A_{C}v_{A}=A_{C}{\sqrt {2gh}}}

De hecho, esto se confirma mediante experimentos de vanguardia (véase [ 4 ] ) en los que se midieron el caudal, la velocidad de salida y la sección transversal de la vena contracta. En estos experimentos también se demostró que la ley de Torricelli predice con gran precisión la velocidad de salida y que no se requiere ninguna corrección de velocidad (como un "coeficiente de velocidad").

El problema sigue siendo cómo determinar la sección transversal de la vena contracta. Normalmente, esto se hace introduciendo un coeficiente de descarga que relaciona la descarga con la sección transversal del orificio y la ley de Torricelli:

V˙real=μAAvAconμ=AdoAA{\displaystyle {\dot {V}}_{\text{real}}=\mu A_{A}v_{A}\quad {\text{with}}\quad \mu ={\frac {A_{C}}{A_{A}}}}

Para líquidos de baja viscosidad (como el agua) que fluyen por un orificio redondo en un tanque, el coeficiente de descarga es del orden de 0,65. [ 5 ] Al descargar a través de un tubo o manguera redondos, el coeficiente de descarga puede aumentar a más de 0,9. Para aberturas rectangulares, el coeficiente de descarga puede llegar a 0,67, dependiendo de la relación altura-ancho.

Aplicaciones

Distancia horizontal recorrida por el chorro de líquido

Sih{\displaystyle h}es la altura del orificio sobre el suelo yH{\displaystyle H}es la altura de la columna de líquido desde el suelo (altura de la superficie del líquido), entonces la distancia horizontal recorrida por el chorro de líquido para alcanzar el mismo nivel que la base de la columna de líquido se puede derivar fácilmente. Dado queh{\displaystyle h}Sea la altura vertical recorrida por una partícula de corriente de chorro , tenemos a partir de las leyes de caída de cuerpos

h=12gramot2⇒t=2hgramo,{\displaystyle h={\frac {1}{2}}gt^{2}\quad \Rightarrow \quad t={\sqrt {\frac {2h}{g}}},}

dóndet{\displaystyle t}es el tiempo que tarda la partícula del chorro en caer desde el orificio hasta el suelo. Si la velocidad de flujo horizontal esv{\displaystyle v}, entonces la distancia horizontal recorrida por la partícula del chorro durante la duración del tiempot{\displaystyle t}es

D=vt=v2hgramo.{\displaystyle D=vt=v{\sqrt {\frac {2h}{g}}}.}

Dado que el nivel del agua esH−h{\displaystyle H-h}por encima del orificio, la velocidad de eflujo horizontalv=2gramo(H−h),{\displaystyle v={\sqrt {2g(H-h)}},}como lo establece la ley de Torricelli. Por lo tanto, tenemos de las dos ecuaciones

D=2h(H−h).{\displaystyle D=2{\sqrt {h(H-h)}}.}

La ubicación del orificio que produce el máximo alcance horizontal se obtiene diferenciando la ecuación anterior paraD{\displaystyle D}con respecto ah{\displaystyle h}y resolverdD/dh=0{\displaystyle dD/dh=0}Aquí tenemos

dDdh=H−2hh(H−h).{\displaystyle {\frac {dD}{dh}}={\frac {H-2h}{\sqrt {h(H-h)}}}.}

ResolviendodD/dh=0,{\displaystyle dD/dh=0,}obtenemos

h∗=H2,{\displaystyle h^{*}={\frac {H}{2}},}

y el rango máximo

Dmáximo=H.{\displaystyle D_{\max }=H.}

Problema de Clepsydra

Una clepsidra de entrada

Una clepsidra es un reloj que mide el tiempo mediante el flujo de agua. Consiste en un recipiente con un pequeño orificio en el fondo por donde sale el agua. La cantidad de agua que sale indica la medición del tiempo. Según la ley de Torricelli, la velocidad de salida del agua por el orificio depende de la altura del nivel del agua; y a medida que este disminuye, la descarga no es uniforme. Una solución sencilla consiste en mantener constante la altura del agua. Esto se logra permitiendo que un flujo constante de agua entre en el recipiente, y que el agua sobrante salga por la parte superior, a través de otro orificio. De esta forma, al mantener una altura constante, el agua que sale por el fondo se puede recoger en otro recipiente cilíndrico con una graduación uniforme para medir el tiempo. Esta es una clepsidra de entrada.

Alternativamente, seleccionando cuidadosamente la forma del recipiente, se puede lograr que el nivel del agua disminuya a un ritmo constante. Midiendo el nivel de agua restante en el recipiente, se puede medir el tiempo con una graduación uniforme. Este es un ejemplo de clepsidra de salida. Dado que la tasa de salida de agua es mayor cuando el nivel del agua es más alto (debido a una mayor presión), el volumen del fluido debe ser mayor que el de un cilindro simple cuando el nivel del agua es alto. Es decir, el radio debe ser mayor cuando el nivel del agua es más alto. Sea el radior{\displaystyle r}aumenta con la altura del nivel del aguah{\displaystyle h}por encima del orificio de salida del áreaa.{\displaystyle a.}Eso es,r=F(h){\displaystyle r=f(h)}Queremos encontrar el radio tal que el nivel del agua tenga una tasa de disminución constante, es decirdh/dt=do{\displaystyle dh/dt=c}.

A un nivel de agua determinadoh{\displaystyle h}, la superficie del agua esA=πr2{\displaystyle A=\pi r^{2}}. La tasa instantánea de cambio en el volumen de agua es

dVdt=Adhdt=πr2do.{\displaystyle {\frac {dV}{dt}}=A{\frac {dh}{dt}}=\pi r^{2}c.}

Según la ley de Torricelli, la tasa de salida es

dVdt=AAv=AA2gramoh,{\displaystyle {\frac {dV}{dt}}=A_{A}v=A_{A}{\sqrt {2gh}},}

A partir de estas dos ecuaciones,

AA2gramoh=πr2do⇒h=π2do22gramoAA2r4.{\displaystyle {\begin{aligned}A_{A}{\sqrt {2gh}}&=\pi r^{2}c\\\Rightarrow \quad h&={\frac {\pi ^{2}c^{2}}{2gA_{A}^{2}}}r^{4}.\end{aligned}}}

Por lo tanto, el radio del contenedor debe cambiar en proporción a la raíz cuarta de su altura,r∝h4.{\displaystyle r\propto {\sqrt[{4}]{h}}.}

Asimismo, si la forma del recipiente de la clepsidra de salida no se puede modificar de acuerdo con la especificación anterior, entonces necesitamos usar una graduación no uniforme para medir el tiempo. La fórmula del tiempo de vaciado anterior nos dice que el tiempo debe calibrarse como la raíz cuadrada de la altura del agua descargada,T∝h.{\displaystyle T\propto {\sqrt {h}}.}Más precisamente,

Δt=AAA2gramo(h1−h2){\displaystyle \Delta t={\frac {A}{A_{A}}}{\sqrt {\frac {2}{g}}}({\sqrt {h_{1}}}-{\sqrt {h_{2}}})}

dóndeΔt{\displaystyle \Delta t}es el tiempo que tarda el nivel del agua en descender desde la altura deh1{\displaystyle h_{1}}a la altura deh2{\displaystyle h_{2}}.

Derivación original de Torricelli

Figuras de la Opera Geometrica (1644) de Evangelista Torricelli que describen la derivación de su famosa fórmula de flujo: (a) Un tubo se llena de agua desde A hasta B. (b) En dos tubos conectados, el agua asciende hasta la misma altura. (c) Al retirar el tubo C, el agua debería subir hasta la altura D. Debido a los efectos de fricción, el agua solo sube hasta el punto C.

La derivación original de Evangelista Torricelli se puede encontrar en la obra "De motu aquarum", que es un apéndice de la segunda de las tres obras principales de su Opera Geometrica , titulada "De motu gravium". [ 6 ] Él asume la ley como una suposición que intenta demostrar experimentalmente, escribiendo: "Supongamos que el agua, que sale violentamente de un orificio, tiene, en ese punto, el mismo ímpetu que un cuerpo pesado, o una gota de esa agua que cae desde la superficie del líquido hasta el orificio". [ 7 ] Afirma que la experiencia confirma este principio, como sigue.

Se introduce un tubo AB (Figura (a)) lleno de agua hasta el nivel A. A continuación, se perfora una abertura estrecha a la altura de B y se conecta a un segundo tubo vertical BC. Debido al principio hidrostático de los vasos comunicantes, el agua asciende hasta el mismo nivel de llenado AC en ambos tubos (Figura (b)). Al retirar el tubo BC (Figura (c)), el agua debería volver a alcanzar la altura AD en la Figura (c). Esto se debe a que la velocidad de caída de una gota desde la altura A hasta la B es igual a la velocidad inicial necesaria para elevarla desde B hasta A.

Al realizar dicho experimento, solo se alcanzará la altura C (en lugar de D, como se muestra en la figura c), lo cual contradice la teoría propuesta. Torricelli atribuye este defecto a la resistencia del aire y al hecho de que las gotas descendentes chocan con las ascendentes.

La argumentación de Torricelli es, de hecho, errónea, ya que la presión en un chorro libre es la presión atmosférica circundante, mientras que la presión en un recipiente con comunicación es la presión hidrostática. En aquel entonces, el concepto de presión era desconocido.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Streeter, Victor Lyle (1966). Mecánica de fluidos . Nueva York: McGraw-Hill.
  2. ↑ Resnick y Halliday (1966) Física , Edición combinada, Capítulo 18, Problema 9. Wiley Toppan
  3. ↑ Flujo de fluido del cilindro de chorro .
  4. ↑ JH Lienhard (V) y JH Lienhard (IV): Coeficientes de velocidad para chorros libres desde orificios de bordes afilados, Journal of Fluids Engineering 106,13-17,1984, https://doi.org/10.1115/1.3242391
  5. ↑ tec-science (21/11/2019). "Descarga de líquidos (ley de Torricelli)" . tec-science . Consultado el 08/12/2019 .
  6. ↑ A. Malcherek: Historia del principio de Torricelli y una nueva teoría del flujo de salida, Journal of Hydraulic Engineering 142(11),1-7,2016, https://doi.org/10.1061/(ASCE)HY.1943-7900.0001232)
  7. ↑ Pisano, Rafael; Dhombres, Jean; Radelet de Grave, Patricia; Bussotti, Paolo (2024). "Homenaje a la Ópera Geométrica 1644-2024 de Evangelista Torricelli" . Lógica, epistemología y unidad de la ciencia . 55 : 39– 40. doi : 10.1007/978-3-031-06963-5 . ISBN 978-3-031-06962-8ISSN 2214-9775​​ 

Lecturas adicionales

  • TE Faber (1995). Dinámica de fluidos para físicos . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-42969-6.
  • Stanley Middleman, Introducción a la dinámica de fluidos: Principios de análisis y diseño ( John Wiley & Sons , 1997) ISBN 978-0-471-18209-2
  • Dennis G. Zill (14 de mayo de 2008). Un primer curso de ecuaciones diferenciales . Cengage Learning. ISBN 978-0-495-10824-5.