Raíz cuadrada de 6

La raíz cuadrada de 6 es el número real positivo que, al multiplicarse por sí mismo, da el número natural 6. Se le llama más precisamente raíz cuadrada principal de 6 para distinguirlo del número negativo con la misma propiedad. Este número aparece en numerosos contextos geométricos y de teoría de números. Se puede denotar en forma irracional como ^[1] y en forma exponencial como . ${\textstyle {\sqrt {6}}}$${\textstyle 6^{\frac {1}{2}}}$

Es un número algebraico irracional . ^[2] Los primeros sesenta dígitos significativos de su expansión decimal son:

2.44948 97427 83178 09819 72840 74705 89139 19659 47480 65667 01284 3269... . ^[3]

que se puede redondear a 2,45 con una precisión de aproximadamente el 99,98 % (aproximadamente 1 parte en 4800); es decir, difiere del valor correcto en aproximadamente ⁠1/2.000⁠ . Se necesitan dos dígitos más (2,4495) para reducir el error a la mitad aproximadamente. La aproximación ⁠218/89⁠ (≈ 2,449438...) es casi diez veces mejor: a pesar de tener un denominador de solo 89, difiere del valor correcto en menos de ⁠1/20.000⁠ , o menos de una parte en 47.000.

Como 6 es el producto de 2 y 3, la raíz cuadrada de 6 es la media geométrica de 2 y 3, y es el producto de la raíz cuadrada de 2 y la raíz cuadrada de 3 , ambos números algebraicos irracionales.

La NASA ha publicado más de un millón de dígitos decimales de la raíz cuadrada de seis. ^[4]

La raíz cuadrada de 6 se puede expresar como fracción continua simple

${\displaystyle [2;2,4,2,4,2,\ldots ]=2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{4+\dots }}}}}}}.}$(secuencia A040003 en la OEIS )

Las evaluaciones parciales sucesivas de la fracción continua, que se denominan sus convergentes , se aproximan a : ${\displaystyle {\sqrt {6}}}$

${\displaystyle {\frac {2}{1}},{\frac {5}{2}},{\frac {22}{9}},{\frac {49}{20}},{\frac {218}{89}},{\frac {485}{198}},{\frac {2158}{881}},{\frac {4801}{1960}},\puntos }$

Sus numeradores son 2, 5, 22, 49, 218, 485, 2158, 4801, 21362, 47525, 211462, …(secuencia A041006 en la OEIS ), y sus denominadores son 1, 2, 9, 20, 89, 198, 881, 1960, 8721, 19402, 86329, …(secuencia A041007 en la OEIS ). ^[5]

Cada convergente es una mejor aproximación racional de ; en otras palabras, está más cerca de que cualquier racional con un denominador menor. Los equivalentes decimales mejoran linealmente, a una tasa de casi un dígito por convergente: ${\displaystyle {\sqrt {6}}}$${\displaystyle {\sqrt {6}}}$

${\displaystyle {\frac {2}{1}}=2,0,\cuadrado {\frac {5}{2}}=2,5,\cuadrado {\frac {22}{9}}=2,4444\puntos ,\cuadrado {\frac {49}{20}}=2,45,\cuadrado {\frac {218}{89}}=2,44943...,\cuadrado {\frac {485}{198}}=2,449494...,\cuadrado \ldots }$

Los convergentes, expresados ​​como ⁠incógnita/y⁠ , satisfacen alternativamente las ecuaciones de Pell ^[5]

${\displaystyle x^{2}-6y^{2}=-2\quad \mathrm {and} \quad x^{2}-6y^{2}=1}$

Cuando se aproxima con el método babilónico , comenzando con x ₀ = 2 y utilizando x _{n + 1} = ⁠${\displaystyle {\sqrt {6}}}$1/2⁠ ( x _n + ⁠6/xn_​⁠ ) ​​, el n º aproximador x _n es igual al 2 ⁿ º convergente de la fracción continua:

${\displaystyle x_{0}=2,\quad x_{1}={\frac {5}{2}}=2.5,\quad x_{2}={\frac {49}{20}}=2.45,\quad x_{3}={\frac {4801}{1960}}=2.449489796...,\quad x_{4}={\frac {46099201}{18819920}}=2.449489742783179...,\quad \dots }$

El método babilónico es equivalente al método de Newton para hallar raíces aplicado al polinomio . La actualización del método de Newton es igual a cuando . Por lo tanto, el método converge cuadráticamente . ${\displaystyle x^{2}-6}$${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})/f'(x_{n}),}$${\displaystyle (x_{n}+6/x_{n})/2}$${\displaystyle f(x)=x^{2}-6}$

En geometría plana , la raíz cuadrada de 6 se puede construir mediante una secuencia de rectángulos dinámicos , como se ilustra aquí. ^{[6] [7] [8]}

En geometría sólida , la raíz cuadrada de 6 aparece como la distancia más larga entre las esquinas ( vértices ) del cubo doble, como se ilustra arriba. Las raíces cuadradas de todos los números naturales inferiores aparecen como las distancias entre otros pares de vértices en el cubo doble (incluidos los vértices de los dos cubos incluidos). ^[8]

La longitud de los bordes de un cubo con un área de superficie total de 1 es o la raíz cuadrada recíproca de 6. Las longitudes de los bordes de un tetraedro regular ( t ), un octaedro regular ( o ) y un cubo ( c ) con áreas de superficie totales iguales satisfacen . ^{[3] [9]}${\displaystyle {\frac {\sqrt {6}}{6}}}$${\displaystyle {\frac {t\cdot o}{c^{2}}}={\sqrt {6}}}$

La longitud de la arista de un octaedro regular es la raíz cuadrada de 6 veces el radio de una esfera inscrita (es decir, la distancia desde el centro del sólido hasta el centro de cada cara). ^[10]

La raíz cuadrada de 6 aparece en varios otros contextos geométricos, como la longitud del lado del cuadrado que encierra un triángulo equilátero de lado 2 (ver figura). ${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{2}}}$

La raíz cuadrada de 6, con la raíz cuadrada de 2 agregada o restada, aparece en varios valores trigonométricos exactos para ángulos múltiplos de 15 grados ( radianes). ^[11]${\displaystyle \pi /12}$

La construcción del siglo XIII de Villard de Honnecourt de un "arco de quinto punto" gótico con arcos circulares de radio 5 tiene una altura del doble de la raíz cuadrada de 6, como se ilustra aquí. ^{[12] [13]}

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