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Raíz cuadrada de 7

El rectángulo que limita un triángulo equilátero de lado 2, o un hexágono regular de lado 1, tiene tamaño raíz cuadrada de 3 por raíz cuadrada de 4 , con una diagonal de raíz cu...

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El rectángulo que limita un triángulo equilátero de lado 2, o un hexágono regular de lado 1, tiene tamaño raíz cuadrada de 3 por raíz cuadrada de 4 , con una diagonal de raíz cuadrada de 7.
Una regla de cálculo Darmstadt del sistema Logarex con 7 y 6 en las escalas A y B, y raíces cuadradas de 6 y de 7 en las escalas C y D, que pueden leerse como un poco menos de 2,45 y un poco más de 2,64, respectivamente.

La raíz cuadrada de 7 es el número real positivo que, al multiplicarse por sí mismo, da como resultado el número primo 7. Se le llama más precisamente raíz cuadrada principal de 7 para distinguirlo del número negativo con la misma propiedad. Este número aparece en varios contextos geométricos y de teoría de números. Se puede denotar en forma irracional como: [1]

7 , {\displaystyle {\sqrt {7}}\,,}

y en forma exponencial como:

7 1 2 . {\displaystyle 7^{\frac {1}{2}}.}

Es un número algebraico irracional . Los primeros sesenta dígitos significativos de su desarrollo decimal son:

2.64575 13110 64590 59050 16157 53639 26042 57102 59183 08245 01803 6833... . [2]

que se puede redondear a 2,646 con una precisión de aproximadamente el 99,99 % (aproximadamente 1 parte en 10 000); es decir, difiere del valor correcto en aproximadamente ⁠1/4.000⁠ . La aproximación ⁠127/48⁠ (≈ 2.645833...) es mejor: a pesar de tener un denominador de solo 48, difiere del valor correcto en menos de ⁠1/12.000⁠ , o menos de una parte en 33.000.

Se han publicado más de un millón de dígitos decimales de la raíz cuadrada de siete. [3]

Aproximaciones racionales

Explicación de cómo extraer la raíz cuadrada de 7 a 7 cifras y más, de Hawney, 1797

La extracción de aproximaciones de fracciones decimales a raíces cuadradas por varios métodos ha utilizado la raíz cuadrada de 7 como ejemplo o ejercicio en los libros de texto durante cientos de años. Se muestran diferentes cantidades de dígitos después del punto decimal: 5 en 1773 [4] y 1852, [5] 3 en 1835, [6] 6 en 1808, [7] y 7 en 1797. [8] En 1922 se ilustró una extracción por el método de Newton (aproximadamente), concluyendo que es 2,646 "a la milésima más cercana". [9]

Para una familia de buenas aproximaciones racionales, la raíz cuadrada de 7 se puede expresar como la fracción continua

[ 2 ; 1 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 1 , 4 , … ] = 2 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 4 + 1 1 + … . {\displaystyle [2;1,1,1,4,1,1,1,4,\ldots ]=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+\dots }}}}}}}}}.} (secuencia A010121 en la OEIS )

Las evaluaciones parciales sucesivas de la fracción continua, que se denominan sus convergentes , se aproximan a : 7 {\displaystyle {\sqrt {7}}}

2 1 , 3 1 , 5 2 , 8 3 , 37 14 , 45 17 , 82 31 , 127 48 , 590 223 , 717 271 , … {\displaystyle {\frac {2}{1}},{\frac {3}{1}},{\frac {5}{2}},{\frac {8}{3}},{\frac {37}{14}},{\frac {45}{17}},{\frac {82}{31}},{\frac {127}{48}},{\frac {590}{223}},{\frac {717}{271}},\puntos }

Sus numeradores son 2, 3, 5, 8, 37, 45, 82, 127, 590, 717, 1307, 2024, 9403, 11427, 20830, 32257…(secuencia A041008 en la OEIS ), y sus denominadores son 1, 1, 2, 3, 14, 17, 31, 48, 223, 271, 494, 765, 3554, 4319, 7873, 12192,…(secuencia A041009 en la OEIS ).

Cada convergente es una mejor aproximación racional de ; en otras palabras, está más cerca de que cualquier racional con un denominador menor. Los equivalentes decimales aproximados mejoran linealmente (número de dígitos proporcional al número convergente) a una tasa de menos de un dígito por paso: 7 {\displaystyle {\sqrt {7}}} 7 {\displaystyle {\sqrt {7}}}

2 1 = 2.0 , 3 1 = 3.0 , 5 2 = 2.5 , 8 3 = 2.66 … , 37 14 = 2.6429... , 45 17 = 2.64705... , 82 31 = 2.64516... , 127 48 = 2.645833... , … {\displaystyle {\frac {2}{1}}=2.0,\quad {\frac {3}{1}}=3.0,\quad {\frac {5}{2}}=2.5,\quad {\frac {8}{3}}=2.66\puntos ,\quad {\frac {37}{14}}=2.6429...,\quad {\frac {45}{17}}=2.64705...,\quad {\frac {82}{31}}=2.64516...,\quad {\frac {127}{48}}=2.645833...,\quad \ldots }

Cada cuarto convergente, comenzando con ⁠8/3⁠ , expresado como ⁠incógnita/y⁠ , satisface la ecuación de Pell [10]

incógnita 2 − 7 y 2 = 1. {\displaystyle x^{2}-7y^{2}=1.}

Cuando se aproxima con el método babilónico , comenzando con x 1 = 3 y utilizando x n +1 = ⁠ 7 {\displaystyle {\sqrt {7}}} 1/2⁠ ( x n + ⁠7/xn​⁠ ) ​​, el n º aproximador x n es igual al 2 n º convergente de la fracción continua:

incógnita 1 = 3 , incógnita 2 = 8 3 = 2.66... , incógnita 3 = 127 48 = 2.6458... , incógnita 4 = 32257 12192 = 2.645751312... , incógnita 5 = 2081028097 786554688 = 2.645751311064591... , … {\displaystyle x_{1}=3,\quad x_{2}={\frac {8}{3}}=2.66...,\quad x_{3}={\frac {127}{48}}=2.6458...,\quad x_{4}={\frac {32257}{12192}}=2.645751312...,\quad x_{5}={\frac {2081028097}{786554688}}=2.645751311064591...,\quad \dots }

Todos ellos, excepto el primero, satisfacen la ecuación de Pell anterior.

El método babilónico es equivalente al método de Newton para hallar raíces aplicado al polinomio . La actualización del método de Newton es igual a cuando . Por lo tanto, el método converge cuadráticamente (número de dígitos decimales exactos proporcional al cuadrado del número de pasos de Newton o de Babilonia). x 2 − 7 {\displaystyle x^{2}-7} x n + 1 = x n − f ( x n ) / f ′ ( x n ) , {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})/f'(x_{n}),} ( x n + 7 / x n ) / 2 {\displaystyle (x_{n}+7/x_{n})/2} f ( x ) = x 2 − 7 {\displaystyle f(x)=x^{2}-7}

Geometría

Los rectángulos raíz ilustran una construcción de la raíz cuadrada de 7 (la diagonal del rectángulo raíz-6).

En geometría plana , la raíz cuadrada de 7 se puede construir a través de una secuencia de rectángulos dinámicos , es decir, como la diagonal más grande de los rectángulos ilustrados aquí. [11] [12] [13]

El rectángulo mínimo que encierra un triángulo equilátero con una longitud de arista de 2 tiene una diagonal de la raíz cuadrada de 7. [14]

Debido al teorema de Pitágoras y al teorema de los tres cuadrados de Legendre , es la raíz cuadrada más pequeña de un número natural que no puede ser la distancia entre dos puntos de una red cúbica de números enteros (o equivalentemente, la longitud de la diagonal espacial de un cuboide rectangular con lados de longitudes enteras). es el siguiente número más pequeño de ese tipo. [15] 7 {\displaystyle {\sqrt {7}}} 15 {\displaystyle {\sqrt {15}}}

Fuera de las matemáticas

Escaneo del reverso de un billete de dólar estadounidense con anotación rectangular de raíz 7

En el reverso del actual billete de un dólar estadounidense , la "caja interior grande" tiene una relación largo-ancho de la raíz cuadrada de 7 y una diagonal de 6,0 pulgadas, con una precisión de medición aceptable. [16]

Véase también

Referencias

  1. ^ Darby, John (1843). Aritmética práctica, con notas y demostraciones de las reglas principales, ... Londres: Whittaker & Company. pág. 172. Consultado el 27 de marzo de 2022 .
  2. ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A010465 (Expansión decimal de la raíz cuadrada de 7)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
  3. ^ Robert Nemiroff; Jerry Bonnell (2008). La raíz cuadrada de 7. Recuperado el 25 de marzo de 2022 – vía gutenberg.org.
  4. ^ Ewing, Alexander (1773). Institutos de aritmética: para uso de escuelas y academias. Edimburgo: T. Caddell. pág. 104.
  5. ^ Ray, Joseph (1852). Álgebra de Ray, segunda parte: un tratado analítico, diseñado para escuelas secundarias y academias, segunda parte. Cincinnati: Sargent, Wilson & Hinkle. pág. 132. Consultado el 27 de marzo de 2022 .
  6. ^ Bailey, Ebenezer (1835). Primeras lecciones de álgebra, una introducción fácil a esa ciencia... Russell, Shattuck & Company. pp. 212–213 . Consultado el 27 de marzo de 2022 .
  7. ^ Thompson, James (1808). The American Tutor's Guide: Being a Compendium of Arithmetic. In Six Parts. Albany: E. & E. Hosford. pág. 122. Consultado el 27 de marzo de 2022 .
  8. ^ Hawney, William (1797). El medidor completo: o todo el arte de medir. En dos partes. Parte I. Enseñanza de la aritmética decimal... Parte II. Enseñanza de la medición de todo tipo de superficies y sólidos... Decimotercera edición. A la que se añade un apéndice. 1. De la medición de la tierra. Londres. págs. 59–60 . Consultado el 27 de marzo de 2022 .
  9. ^ George Wentworth; David Eugene Smith; Herbert Druery Harper (1922). Fundamentos de matemáticas prácticas. Ginn and Company. pág. 113. Consultado el 27 de marzo de 2022 .
  10. ^ Conrad, Keith. "Ecuación de Pell II" (PDF) . uconn.edu . Consultado el 17 de marzo de 2022 .
  11. ^ Jay Hambidge (1920) [1920]. Simetría dinámica: el jarrón griego (reimpresión de la edición original de Yale University Press). Whitefish, MT: Kessinger Publishing. págs. 19-29. ISBN  0-7661-7679-7Rectángulos raíz de simetría dinámica .
  12. ^ Matila Ghyka (1977). La geometría del arte y la vida . Courier Dover Publications. págs. 126-127. ISBN  978-0-486-23542-4.
  13. ^ Fletcher, Rachel (2013). Medida infinita: aprender a diseñar en armonía geométrica con el arte, la arquitectura y la naturaleza. George F Thompson Publishing. ISBN 978-1-938086-02-1.
  14. ^ Blackwell, William (1984). Geometría en la arquitectura. Key Curriculum Press. pág. 25. ISBN 978-1-55953-018-7. Recuperado el 26 de marzo de 2022 .
  15. ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A005875". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
  16. ^ McGrath, Ken (2002). La geometría secreta del dólar. AuthorHouse. pp. 47–49. ISBN 978-0-7596-1170-2. Recuperado el 26 de marzo de 2022 .
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